阿氏圆习题课 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《阿氏圆习题课》课堂实录及教学启示 摘要:以阿氏圆习题为例,带领学生回归教材,从教材中寻找解题方法,并进行深度思考,探讨如何运用教材进行有效的复习备考,从而更好地对接新高考,达到立德树人的育人目标. 关键词:阿氏圆;回归教材;复习备考 一、引言 新高考实施以来,如何更好地以新教材为载体进行复习备考,成为摆在一线教师面前的重大课题.近几年的高考试题,呈现一个显著特点,即从教材例题,习题进行深度的改编.因此,新教材的例题是高考复习备考的重要依据.以一道阿氏圆试题为例,阐述如何于课堂教学中引导学生应用新教材例题进行复习备考,探索使用新教材对接新高考的方式方法. 二、课堂实录 1.试题呈现,初步求解 湖北省鄂东南教改联盟2024高三期中联考第8题 在中,,的面积为1,则的最小值为 师：本题以三角形为载体考查学生是否掌握运用正弦定理,余弦定理等解决三角形问题.由于要求线段的最小值,常规解法是将线段表示成某一个变量的函数关系,再借助函数求最值的方法求出最小值. 生:独立思考并给出解法 设,,,则,即. 在中,由余弦定理可得 令,则, 故,所以,则. 从而的最小值为. 【设计意图】抛出例题,学生独立思考,借助三角形的相关性质定理解决问题.此时学生虽然初步解决了问题,但是思维停留在静态,无法进一步提升思维,达不到深度课堂的要求. 2.引发认知冲突,回归课本 师:在上述解法中,我们在中借助余弦定理和面积公式解决问题,将线段表示成的函数,再运用三角函数的知识求出最小值.同学们可否换个角度思考问题：从运动变化的观点思考？ 生(众):思考…. 师:引导学生回顾湘教版数学选择性必修第一册第2.7节例2 到两个定点,的距离之比为定值的所有的点组成什么形状的曲线？ 解:以为原点,建立平面直角坐标系.,,其中. 设是平面上任意一点,由,得,化简得 , 当,曲线方程为,即,这是线段的垂直平分线 当时,可化为,这是圆的标准方程 可知当时,曲线是圆. 师:通过以上探究不难发现,当动点到两个定点的距离之比为定值且该定值不是1时,点的轨迹是圆,这样的圆在数学上叫做阿氏圆.显然圆心与两个定点共线,且两个定点一个在圆内,一个在圆外,明白了这些有助于我们画出图形辅助分析问题.同学们可否利用这个知识点来解决本道试题呢？ 生:由题目条件“”可知点如果将,两点固定,则点的轨迹是圆. 以为坐标原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,则,,设,由,得,化简得, 故点在以为圆心,半径为的圆上运动,则. 又的面积为1,所以,即 又,所以,即的最小值为. 师：显然,上述解法与原解法相比,不仅计算量小很多,更是在思维上技高一筹,凸显了深刻的数学思维,大道至简.同学们能够意识到本题实际上是动态问题,将思维由静态转化为动态,有一种豁然开朗的感觉. 【设计意图】在环节1当中,虽然学生解决了问题,但是思维局限在静态,无法从动态的角度理解本道试题.此时教师引导学生回顾课本的例题,重温阿氏圆的探究过程,启发学生从动态的角度分析本道试题,从而给出基于深度思维的解答,提高了学生的数学思维能力. 3.强化训练,提升思维 师:请同学们完成练习1 练习1: 2023年皖东名校联盟高三9月第二次数学质检 已知,,又点在圆上且满足（）,则 生（众）：设,则 整理得,与比较系数得 ,故 师:同学们基本掌握了求阿氏圆方程的方法,并顺利解决问题.大家再开动脑筋想想,如果不设点,不求圆的方程,可以解决问题吗？ 生：观察题目条件,不难发现,不需要求出圆的方程,只需找两个特殊的点,列出两个等量关系求解. 图(1) 师:找哪两个点比较合适呢？ 生:找直线与圆的两个交点 解:如图(1)所示,,,,,,则 .......(1) ,, 因为,即,代入(1)得. 【设计意图】在环节2当中,学生已经较好地掌握了阿氏圆的求解,在此基础上,给出练习1,学生由于受到先前思维的影响,会想到用设点求出圆方程的方法解决问题.此时教师不失时机地引导学生思考,一定要求出圆的方程吗？可否有更简便的方法？学生通过观察图形,发现只需在图形中寻找到两个特殊点即可解决问题,从而拓展了自己的思维,进一步提升了解题能力,收获到成功的喜悦. 练习2:清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学第7题 已知中,,角的平分线交于,若,则面积的最大值为 师:本题中,题目没有给出动点与两个定点,的距离之比,如何得到这个距离之比？ 生:可以借助内角平分线定理和条件得到. 图(2) 解:如图(2)所示,,,,故点的轨迹是圆,且圆过点.由于,所以,故.则,,所以,故.所以,即圆的半径为2,所以面积的最大值为. 【设计意图】在本题中,题目条件并没有给出这样的条件,而是隐含在内角平分线当中.学生必须结合三角形的内角平分线定理挖掘出来才能顺利求解.这就训练了学生分析问题,解决问题的能力. 练习3： 已知为坐标原点,,在直线上,,动点满足,则的最小值为 图(3) 解:如图(3)所示,由已知点的轨迹是一个圆,设半径为,,, 则,,,解得,,. 点到直线的距离,的最小值为. 【设计意图】本题巧妙地将阿氏圆与圆外定点到圆上动点距离最值问题结合起来,体现了知识的交汇,这也是高考命题的一个重要原则.学生通过动脑思考,动手尝试,真正感受到试题的本质,提高了自己的数学思维,促进了深度学习. 4.拓展思维,提升素养 师:通过刚才大家的共同探究,同学们对阿氏圆的应用有了较为深刻的认识.阿氏圆是平面解析几何一个重要内容,事实上,在立体几何中,也有相关的考查. 练习4:深圳实验学校2023--2024学年高二数学第16题 已知正方体的棱长为2,点是正方体表面上上一个动点,且,则点形成的轨迹的长度为 图(4) 解:如图(4)所示,若面,设,则,所以,故 所以点在以为圆心,为半径的圆弧上,所以弧长为 若面,设圆心为,则,, 设半径为,则,, 由得,所以. 设圆与交于点,易知为正三角形, 所以弧的长度为 同理,当面时,所得弧长的长度为 故点形成的轨迹的长度为 【设计意图】将学生的思维从二维的平面提升至三维的立体,极大地拓展了学生的知识面,让学生的思维插上想象的翅膀,闪耀出智慧的火花.真正达到了素养的培育和能力的提升. 3、 教学启示 通过一道阿氏圆试题,引导学生回归课本,以教材例题为载体提炼出方法,进而解决陌生问题,引领学生的思维从低阶向高阶发展.在高中的数学教学中,要善于以课本例题为载体,进行小切口的深挖掘,使得学生会一题即会一类,从而较好地培养学生的数学思维能力,避免陷入题海战术.这也是新教材新高考的必然要求. 数学课堂的首要任务是培养学生的数学思维，避免学生陷入题海.高考考查的是学生的思维,而不是硬背.从教材中的例题出发,提炼出解题方法,之后应用于复杂陌生的情境当中,让学生学会知识的正迁移,从而提升思维,提高学生解决问题的能力,从而更好地适应新高考要求. 学科网（北京）股份有限公司 $$