精品解析：四川省宜宾市2024届高三下学期高考适应性考试（三模）文科数学试卷

宜宾市普通高中2021级高考适应性考试 文科数学 （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足且是z的共轭复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则对于以下数据：，，，，下列选项正确的是（ ） A. 平均数是，方差是6 B. 平均数是，方差是 C. 平均数是5，方差是 D. 平均数是5，方差是12 4. 若曲线的一条切线方程是，则（ ） A. B. 1 C. D. e 5. 明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n＝（ ） A. 72 B. 75 C. 78 D. 80 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（ ） A. 89.5 B. 90.5 C. 92.5 D. 94.5 8. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（ ） A. 一条抛物线 B. 一个圆 C. 一条直线 D. 一段线段 11. 定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ） A. 截面多边形不可能是平行四边形 B. 截面多边形的周长是定值 C. 截面多边形的周长的最小值是 D. 截面多边形的面积的取值范围是 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 已知 ，则 的最小值为 ______． 14. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为__________. 15. 已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 16. 已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时，______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分． 17. 某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下： 女性 男性 每周运动超过2小时 60 80 每周运动不超过2小时 40 20 （1）根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？ （2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段上，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 20. 已知函数． （1）当时，求函数过原点的切线方程； （2）若有三个零点，求a的取值范围． 21. 已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且． （1）求直线与的交点N的轨迹M的方程； （2）若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． （二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修4-4：坐标系与参数方程］ 22. 在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线与曲线相交于两点. （1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）若成等比数列，求实数的值. ［选修4-5：不等式选讲］ 23. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市普通高中2021级高考适应性考试 文科数学 （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由，，得， 故选：C 2. 已知复数z满足且是z的共轭复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦达定理即可求解. 【详解】由求根公式可知，若为方程的根，则其共轭复数也是该方程的根， 故由韦达定理可知，. 故选：A. 3. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则对于以下数据：，，，，下列选项正确的是（ ） A. 平均数是，方差是6 B. 平均数是，方差是 C. 平均数是5，方差是 D. 平均数是5，方差是12 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数以及方差的性质即可求解. 【详解】由于数据，，，，的平均数是，方差是，故数据：，，，，的平均数是，方差是， 故选：D 4. 若曲线的一条切线方程是，则（ ） A. B. 1 C. D. e 【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用切点处的导数值等于切线的斜率求解切点坐标，把切点坐标代入切线方程求值． 【详解】由，得， 设切点坐标为，由，得， 切点坐标为，代入，得，即． 故选：A． 5. 明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n＝（ ） A. 72 B. 75 C. 78 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】分析程序框图的功能再列式计算即可. 【详解】由框图易得,该框图设大僧为人,小僧为人,功能为计算小僧的人数. 故,解得 故选：B. 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式进行变换求值即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A． 7. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（ ） A. 89.5 B. 90.5 C. 92.5 D. 94.5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得样本中心点的坐标，进一步得，由此即可预测求解. 【详解】由表中数据可知，， 所以，解得， 所以当宣传费用时，销售额y的估计值为. 故选：B. 8. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 9. 在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解. 【详解】 设，因为，所以由棱柱的性质可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 点P在四边形内（含边界）运动，当时， ，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动， 该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得， 所以该三棱柱的表面积为. 故选：C. 10. 已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（ ） A. 一条抛物线 B. 一个圆 C. 一条直线 D. 一段线段 【答案】C 【解析】 【分析】设，切点为，利用导数的几何意义以及两点斜率公式可得是关于的方程的两根，结合垂直，可得，结合韦达定理可得，对比即可得解. 【详解】 设，显然抛物线C：的切线斜率不为0， 而两条相互垂直的切线，它们的斜率不为0，且一定存在，故切点不可能是原点， 设切点为， 或， 当时，，当时，， 所以无论如何都有， 所以，同理，注意到， 所以是关于的方程的两根，， 一方面：因为垂直，所以， 另一方面：由韦达定理有， 综合以上两方面，有，这意味着点在定直线上运动，此时满足，符合题意. 故选：C. 11. 定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件单调函数，对任意的都有，故必有 ，且，即可求得，再根据导数研究函数的性质，求得方程 有两个不同的实根满足的条件，求得的取值范围. 【详解】由于函数为单调函数，则不妨设，则， 且，解得，所以. 设， 则方程有两个不同的实数根等价于函数与有两个不同的交点. ， 易得当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. 又，且当时，. 故函数与有两个不同的交点则. 故选：B 12. 已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ） A. 截面多边形不可能是平行四边形 B. 截面多边形的周长是定值 C. 截面多边形的周长的最小值是 D. 截面多边形的面积的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断A；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断BC；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断D. 【详解】对于A，当平面过或时，截面为三角形. 易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时， 由对称性可知，此时平面与交于点，且， 此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足， 且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误； 对于BC，设，由余弦定理得， ， 由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和， 当三点共线时取得最小值， 由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值， 所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误； 对于D，记与的交点为，由对称性，， 所以，， 因为， 所以，所以， 记， 则， 因为， 所以 ， 由二次函数性质可知，，即， 所以，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是找到正四面体的对称性，根据对称性判断截面形状，利用余弦定理求周长，利用空间向量求距离，然后可得面积，题目综合性强，对学生的直观想象能力有较高的要求. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 已知 ，则 的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】已知 ，根据基本不等式可得， 当且仅当，即 时取等号. 故答案为：4. 14. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设数列公差为，再根据成等比数列求解可得，进而可得的通项公式求解即可. 【详解】设数列公差为，由成等比数列可得， 即，即，因为公差不为0，故. 故. 故前6项的和为. 故答案为： 15. 已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义，得到，则，当三点共线时，取得最大值，结合直线的斜率小于渐近线的斜率，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即， 则， 当三点共线时，取得最大值， 由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 16. 已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量运算得出边长，再应用余弦定理结合基本不等式即可求出边长. 【详解】因为，, 所以, 在中，设， 所以, 当余弦值最小时，最大， 当且仅当，即，最大， 所以满足条件. 故答案为：. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分． 17. 某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下： 女性 男性 每周运动超过2小时 60 80 每周运动不超过2小时 40 20 （1）根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？ （2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二联表求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）列举基本事件，即可由古典概型的概率个数求解. 【小问1详解】 由题意可得 女性 男性 每周运动超过2小时 60 80 140 每周运动不超过2小时 40 20 60 总计 100 100 200 由． 知：有99%把握认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关． 【小问2详解】 在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人 在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人，则女性抽取4人，记为：，，，，男性抽取2人，记为：，，从这6人中随机抽取2人，抽法有： ，，，，，，，，，，，，，，共15种， 这两人中至少有一人是女性的抽法有： ，，，，，，，，，，，，，共14种，故两人中至少有一人是女性的概率 18. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明:由题可知：，又， 故是首项为2，公比为2的等比数列，，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，再裂项相消可知，进而求解二次不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，且当趋于时，趋近于1， 所以由恒成立，可知，解得. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段上，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：在正方形中，，又，∴ 在中，点E为线段PC的中点，，DE平分， 在中，， 过E作交CD于H，连接FH，则， 在正方形中，，∴四边形AFHD是矩形， ∴，又，，平面， ∴平面，又平面，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直去证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2）利用线面垂直证明面面垂直，再作出线面垂直，即可得到棱锥的高，从而求出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：在中，∵，，∴， 在正方形中，，而，CD，平面， ∴平面，平面，∴平面平面， 平面平面，过P作交CD于Q，∴平面， ∵，∴，， ， 法二：在中，∵，，∴， 在正方形中，，而，CD，平面， ∴平面，， ． 20. 已知函数． （1）当时，求函数过原点的切线方程； （2）若有三个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据切点求解切线方程，代入原点坐标可得，即可求解， （2）求导，即可根据函数的单调性，进而根据零点个数，得，代入即可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 设切点 切线方程： 由于切线过原点，所以，解得， ∴切线方程： 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增，至多一个零点； 当时，令，得，令，得， 令，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增． 有三个零点，则，即，解得， 当时，， 且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知a的取值范围为 21. 已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且． （1）求直线与的交点N的轨迹M的方程； （2）若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（且） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）设：，：，直线与的交点是N，且，消去即可得解； （2）通过得到，然后求解点的坐标. 【小问1详解】 由已知，，则：，：， ∴点满足，即，∴①②， ∴点N的轨迹方程是（）， 又依题意可知， 综上可知：直线与的交点N的轨迹M的方程为：（且）； 【小问2详解】 由题意知直线：，与椭圆方程联立， 消元得，， ， 同理可得， 所以，即． 由（1）知，所以，令点，，解得， ∴存在或满足题意． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是先通过韦达定理，把转化成，然后即可求出点的坐标. （二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修4-4：坐标系与参数方程］ 22. 在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线与曲线相交于两点. （1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）若成等比数列，求实数的值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）直线的参数方程消参得到普通方程，用公式得到曲线的直角坐标方程. （2）成等比数列，利用参数几何意义，，解方程，即可得到答案. 【小问1详解】 曲线的直角坐标方程为， 消去参数，得到直线的普通方程为：. 【小问2详解】 将直线的参数方程（为参数） 代入曲线的直角坐标方程得： 化简整理得到：， 且恒成立. 设交点对应的参数分别为.则 若成等比数列，则，则 ，即， 即即， 解得或（舍）所以满足条件的. ［选修4-5：不等式选讲］ 23. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论，去掉绝对值，结合一次函数的单调性即可得解； （2）结合（1）中结论，作出与的大致图象，求得恒成立的临界情况对应的值，从而得解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时； 当时，，此时，即； 当时，，此时； 综上，的最小值为. 【小问2详解】 记，作出与的大致图象， 要使恒成立， 则只需当函数的图象过点或时，为临界情况（如图）， 由，得或（舍去）， 由，得或（舍去）， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $