第14讲 平行四边形的判定(1)-2024-2025学年八年级数学下册（北师大版）

第14讲 平行四边形的判定 教学目标：1、掌握平行四边形的判定方法。 2、能够灵活应用平行四边形的判定方法解题。 教学重点：平行四边形的性质和判定。 教学难点：性质和判定的综合应用。 考点一：平行四边形的判定 知识点再现及解析 平行四边形的判定： 边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 例1：（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC。 （1）证明四边形ABDF是平行四边形； （2）若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长。 变式练习1：如图，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE。 （1）求证：四边形BCED′是平行四边形； （2）若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2。 解题套路归纳： 例2：（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）已知如图，在平行四边形ABCD中，BN＝DM，BE＝DF。求证：四边形MENF是平行四边形。 变式练习2：已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE。 求证：四边形ABCD为平行四边形。 解题套路归纳： 例3：（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，连接DE，DF，BE，BF。四边形DEBF为平行四边形。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 变式练习3：在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF。求证：四边形BEDF是平行四边形。 解题套路归纳： 例4：（对角线互相平分的四边形是平行四边形）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F。 （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积。 变式练习4：如图所示，在ABCD中，AC、BD相交于点O.E、F分别在OB、OD上，且OE=OF，又OC= ，所以 是平行四边形，理由是 . 解题套路归纳： 例5：（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）如图，□ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，你认为四边形AFCE是平行四边形吗？如果是，请说明理由。 解题套路归纳： 例6：（综合运用）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF． （1）求证：四边形BDEF为平行四边形； （2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离． 变式练习6：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E，F分别在边BC，CD上， 且BE=DF=AD，AF与DE交于点G． （1）求证：AB=BF． （2）当AB=5，AD=2，求DG的长． 解题套路归纳： 例7：（综合运用）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E． （1）求证：AF⊥BG，DF=CG； （2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度． 变式练习7：如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？ 解题套路归纳： 课后作业 1．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE． （1）求证：△AGE≌△BGF； （2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由． 2．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． （1）求证：△ABG≌△CDE； （2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想； （3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积． 3．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE． 求证：AF∥CE． 4．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE=4，FN=3，求BN的长． 5．已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF． （1）如图，若PE=，EO=1，求∠EPF的度数； （2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3﹣4，求BC的长． 6．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点． 求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $$