第9讲 因式分解（二）-2024-2025学年八年级数学下册（北师大版）

因式分解（二） 教学目标：学习因式分解的方法，培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的实事求是精神。 教学重点：理解换元法、待定系数法、添项拆项法的意义及原理。熟练掌握因式分解的方法。 教学难点：熟练掌握换元法、待定系数法、添项拆项法分解因式。 考点一、在实属范围内分解因式 知识点再现及解析 1、 在实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（既可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式。 例1、在实数范围内分解因式： 1、 2、 3、 变式练习：在实数范围内分解因式 （1） （2） （3） （4） 考点二、换元法 知识点再现及解析 引辅助未知元来代替重复出现的数或式子的解题方法称为换元法。 换元的实质是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。 换元法的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，把未知问题转化为已知问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 换元法的一般步骤： 例1、分解因式： 变式练习： 例2、 变式练习: 例3、计算： 变式练习： （1）分解因式： （2）证明：四个连续正整数的乘积加1是整数的平方。 （3） （4）若，是整数，求证：是一个完全平方数. 考点三、待定系数法 知识点再现及解析 一、待定系数法 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即，如果 那么，，…，，. 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 例1． 分解因式 变式练习：分解因式 2、 例2、若多项式能被 整除，则n=_______. 变式练习： 1、多项式 能分解为两个一次因式的积，则k=_____. 2、的一个因式是，则的值是 。 3、多项式能被整除，则. 4、 已知均为实数，且多项式能够被整除。 （1）求的值；（2）求的值； 考点四、拆项添项法 拆项添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解 例1、分解因式：x3-9x+8 变式练习：(添项法) 例2、分解因式x3+3x24（拆添项法） 变式练习：（拆项法） 例3、分解因式x2-y2+4x+2y+3（拆项后再分组） 变式练习： 例4、分解因式．（添项后再分组） 变式练习：1.（拆项法） 2.（添项法） 3.（拆项法） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$