第3讲 一元一次不等式（组）的解法-2024-2025学年八年级数学下册（北师大版）

第三讲 一元一次不等式（组）的解法 课程目标： 1、探索并掌握不等式的概念及基本性质. 2、理解不等式(组)的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集，并会用数轴确定其解集。 3、通过经历用数轴表示不等式(组)的解集的过程，体会数形结合思想。 4、能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理，发展应用意识。 教学重点： 1、不等式的基本性质及解法，学会解简单的一元一次不等式（组），并能正确地将不等式（组）的解集表示在数轴上； 2、建立不等关系 教学难点： 1、在运用不等式的性质求解一元一次不等式（组）时，在去分母及化系数为1，改变不等号的方向往往容易忽略； 2、从现实情境中建立不等关系； 3、求解一元一次不等式（组）。 考点1、不等式的定义和识别 知识点再现及解析： 1、不等式的定义：一般地，用符号 的式子叫做 。 2、常见不等式的基本语言： 不大于通常用符号 表示，“不小于”通常用符号 表示，“至少”通常用符号 表示，“不超过”通常用符号 表示。 如果x是正数表示为 ；x是负数表示为 ；x是非负数表示为 ；x是非正数表示为 ； 例1. 指出下列不等式中的一元一次不等式： 。 （1）2x＞y-3；（2）-1＜0；(3)x(x-3)≥0；(4)ax≥b(x是未知数)； （5）1+2＞1；（6）x2–x＜x2 变式训练： 1、下面给出了5个式子:①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x-1；⑤x+2≤3.其中不等式有(　　) A.2个 B.3个 C.4个　 D.5个 2、①a+3；②；③3x＜5；④y≤0；⑤x＜0；⑥x+2＞y+3中属于不等式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3、a是非负数的表达式是（ ） A．a＞0 B．≥0 C．a≤0 D．a≤0 考点2、不等式的基本性质 知识点再现及解析： 不等式的性质1：在不等式两边同时 同一个 ，不等号方向 （填空“改变”或“不改变”）。 不等式的基本性质2：在不等式两边同时 同一个 ，不等号方向 。（填空“改变”或“不改变”） 不等式的基本性质3：在不等式两边同时 同一个 ，不等号方向 。（填空“改变”或“不改变”）（注：不等式的两边不能乘以0） 例1、已知a＞b，下列不等式一定成立的是(　　) A． B． C． D． 变式练习： ①若a＞b，则a+1____b+1，a-2______b-2，根据：___________________________； ②若a＞b，则7a____7b，______，根据：_____________________________； ③若a＞b，则-2a_____-2b，-______-，根据：____________________________； ④若a＜b，c＞0，则ac bc，－______－，c－a c－b； ⑤若a＜b，c＜0，则ac bc，－_____－，c－a c－b； ⑥若a＞2，那么a+4____6；若c＜a＜b＜0，那么－_____0； ⑦若a＞b，c≠0，则 ， 。 ⑧若mx＜my，且x＞y，则 m_____0. 例2.若0＜m＜1，m、m2、由小到大排列为 。 变式练习： 1、给出四个命题:①若a＞b，c=d，则ac＞bd；②若ac＞bc，则a＞b；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若a（c2+1）＞b（c2+1），则a＞b.正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个. 2、讨论下列式子是否正确. （1）如果a＞b，那么a+c＞b+c； （ ） （2）如果a＞b，那么a-c＞b-c； （ ） （3）如果a＞b，那么ac＞bc； （ ） （4）如果a＞b，且c≠0，那么ac＞bc. （ ） （5）如果ac2＞bc2，那么ac＞bc； （ ） （6）如果a＜b，且c≠0，那么. （ ） 3．（2017春•巨野县期中）若0＜x＜1，则下列不等式成立的是（　　） A．x2＞＞x B．＞x2＞x C．x＞＞x2 D．＞x＞x2 4、已知a+b＜0，ab＜0，a＜b，请将a，a，b，b用“＜”由小到大排列为 。 例3.（2016秋•下城区期中）两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b，求：（1）求a的取值范围；（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围． 变式练习： 1、设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M＝，N＝，P＝，试比较M、N、P的大小． 2、在四个不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，且，则a+d与b+c的大小关系是什么？ 3、（2014•余姚市校级自主招生）已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0。 考点3、不等式关系 例1、下列不等关系一定正确的是（ ） A．＞0 B．－x2＜0 C．（x+1）2≥0 D．a2＞0 例2、小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是（ ） A．x≤2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 变式练习： 1、y的3倍与x的4倍的和是负数用不等式表示为（ ） 2、一所中学的男子百米赛跑的记录是11.7秒，假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒，如果这名运动员破记录，则__________；如果这名运动员没破记录，则________． 3、有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示为 ． 4、比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“＞”、“＜”或“＝”)． ⑴32＋42 2×3×4；⑵22＋22 2×2×2；⑶12＋ 2×1×； ⑷(－2) 2＋52 2×(－2)×5；⑸ ． 通过观察上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律． 5、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式（组）表示 为 ； 6、用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表，现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg，则x应满足的不等式为 . 例3、根据下面的数量关系，列不等式： （1）x的与x的5倍的和是非负数； （2）c与4的和的30％不大于－5； （3）x除以4的商加上，至多为5； （4）a与b的差的平方不大于4． 变式练习：根据下列数量关系，列出不等式： （1）x的3倍大于x； （2）m与1的相反数的和不小于； （3）a与-2的差不大于它的3倍； （4）a，b两数的平方和不小于它们的积的2倍． 考点4、不等式的解与解集 知识点再现及解析： （1）不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做 ． （2）不等式的解集：一个含有未知数不等式的 ，组成这个不等式的解集。 （3）不等式的解与不等式的解集的区别：不等式的解是指 ，而不等式的解集是指 。不等式的所有解组成了 ，也就是说不等式的解集包括这个不等式的每一个解。 不等式解集的数轴表示，要注意“两定”： ◆ 一是定边界点：若边界点含于解集，为 点，不含于解集为 点；（填“空心”和“实心”） ◆ 二是定方向：相对于边界点而言，“小于向 ，大于向 ” （填“左”和“右”）。 不等式的解集在数轴上的表示如下： ①当不等式的解集是 时.(如图1－1) 图1－1 ②不等式的解集是 时.(如图1－2) 图1－2 ③当不等式的解集是 时.(如图1－3) 图1－3 ④当不等式的解集是 时.(如图1－4) 图1－4 （4）一元一次不等式及其求解 ①一元一次不等式：含有一个 ，且未知项的最高次数是 的不等式； ②求不等式解集的过程叫 ； ③解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、 、 、 、化系数为； 例1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）5x≥2x+9； （2）－3≤2x＋1； 变式练习： 1、根据不等式的性质，把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式。 （1）x+1＞5； （2）3x-1≤x+3； 2、(2016·绍兴)不等式＞＋2的解集是 ． 例2、（1） （2） 变式练习： （1）＜ （2）＞ （3）≤ （4）＜ （5）（2017·嘉兴）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 例3、（2017春•大冶市期末）下列数值中是不等式2x+1＞7的解的是（　　） A．-3 B．0 C．3 D．4 变式练习：1．在下列各数中，使不等式x-1＞2成立的数为（　　） A． B． C． D． 2．若x＜-2是关于x的一元一次不等式ax-2＞0的解集，则关于y的方程ay+2=0的解为（　　） A．y=1 B．y=-1 C．y=2 D．y=-2 3．若实数a是不等式2x-1＞5的解，但实数b不是不等式2x-1＞5的解，则下列选项中，正确的是（　　） A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b 例4、解不等式：，并写出它的最大整数解。 变式练习：1、求不等式3－2x≥－4的解集，把解集表示在数轴上，并求它的非负整数解。 2、解不等式1−，把解集在数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 3、(2016·苏州)不等式组的最大整数解是 ． 例4、不等式-3＜x≤2的所有整数解的和是 ； 变式练习：1、满足－2002≤x＜2003的所有整数解的和是 ； 2．不等式组-1≤＜2的所有整数解的和是 ； 3、适合不等式-3≤x≤5且适合不等式-4≤x≤4的x的所有整数的解有 ； 4、(2016·怀化)不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例5、解不等式组：|x-5|-|x+2|＜1（利用“零点”分段法求解） 变式练习：已知：，求：|x-1|-|x-3|的最大值和最小值． 考点5、一元一次不等式组的概念与求解 知识点再现及解析： 1、一元一次不等式组： （1）定义：由含同一未知数的 组合在一起，叫做 。 （2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中 ，叫做这个一元一次不等式组的解集． （3）利用数轴求不等式组解集分以下四种情况．设。 不等式组的解集为 （两大取大） 不等式组的解集为 （两小取小） 不等式组的解集为 （大小小大中间找） 不等式组无解（即解集为空集）（大大小小解不了） 2、解一元一次不等式组的步骤： （1） ； （2） 。 例1、解不等式组 变式练习： （1） （2） （3） （4） 例2．解下列不等式（组），并在数轴上表示其解集 （1） （2） （3） （4） 变式练习：解下列不等式（组），并在数轴上表示其解集。 （1）－< （2） （3）2x＜1－x≤x＋5 （4） （5）[2017·枣庄]x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x≤2－x都成立？ （6）(2016·十堰)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x≤2－x都成立？ 考点6、求不等式组的特殊解 知识点再现及解析 先求出不等式组的 ，然后再 即可。 例1.解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解。 变式练习：（1）求不等式组的自然数解； （2）（2011年四川成都）解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解。 课后作业 1、下列说法正确的是(　　) A．x=1是不等式2x＜1的解 B．x=3是不等式x＜1的解集 C．x＞2是不等式2x＜1的解集 D．不等式x＜1的解集是x＜1 2、下列4种说法：①x=是不等式4x5＞0的解；②x=是不等式4x5＞0的一个解；③x＞是不等式4x5＞0的解集；④x＞2中任何一个数都可以使不等式4x5＞0成立，所以x＞2也是它的解集．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[来源 3、下列由题意列出的不等关系中，错误的是(　　) A．a不是负数，可表示为a＞0 B．x不大于3，可表示为x≤3 C．m与6的差是非负数，可表示为x6≥0 D．代数x2+3必大于3x7，可表示为x2+3＞3x7 4、用不等式表示： (1)x与3的和是负数；________________________ (2)x与5的和的28%不大于6；________________________ (3)m除以4的商加上3至多为5；________________________ (4)a与b两数和的平方不小于3；________________________ (5)三角形的两边a、b的和大于第三边c．________________________ 5、下列不等式组中，是一元一次不等式组的是(　　)[来源:www.shulihua.net] A． B． C． D． 6、已知a+b＜0，ab＜0，a＜b，请将a，a，b，b用“＜”由小到大排列为 ． 7、已知有理数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．|m|＞1 B．n＞1 C．mn＞0 D．mn＞0 8、实数a、b、c数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系中正确的是(　　) A．a+b+c＜0 B．a+b+c＞0 C．ab＜ac D．ac＞bc 9、某同学说a2 -1+3a一定比a2 -1大，你认为对吗？说说你的理由． 10、一辆公共汽车上有(5a-4)名乘客，到某一车站有(9-2a)名乘客下车，车上原来有多少名乘客？ 11、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 12、解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解 13、已知：，，如果a不小于，求满足条件的x的取值范围，并在数轴上表示出来。 17 学科网（北京）股份有限公司 $$