11.4.1直线与平面垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11．4.1　直线与平面垂直 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 课程标准 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明． ◆如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 2．从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的关系，归纳出以下判定定理． ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 3．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 4．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　直线与直线所成角 (1) 两条相交直线所成的角 两条相交直线所成的角的大小指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小． (2)异面直线所成角的定义 一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b____________的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． (3)两条直线垂直 空间中两条直线_________________时，称这两条直线垂直． 平行或重合 所成角的大小为90° 状元随笔　(1)在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？ [提示]　根据等角定理可知，a ′与b ′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)． (2)研究范围推广到空间后，直线与直线垂直的含义有变化吗？有什么变化？ [提示]　有变化．空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况． (3)两条异面直线所成角θ的范围是什么？两条直线夹角φ的范围是什么？ [提示]　两条异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°；两条直线夹角φ的范围是0°≤φ≤90°. 知识点二　直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 ________ 任意一条 l⊥α 知识点三　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的_____________垂直，则这条直线与这个平面垂直 两条相交直线 状元随笔　一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？ [提示]　相交或平行或直线在平面内． 知识点四　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________ 符号语言 ________ 图形语言 文字语言 如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 符号语言 ________ 平行 a∥b b⊥α 知识点五　直线与平面垂直的应用 1．斜线段、斜足的定义：如果A是平面α外一点，C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的________(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足． 2．直线在平面内的射影、直线与平面所成的角：设AB是平面α的垂线段，B是垂足；AC是平面α的斜线段，C是斜足，则直线BC称为直线AC在平面α内的射影．特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角． 斜线段 状元随笔　(1)线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据，你能想到其他转化依据吗？ [提示]　①⇒b⊥α；②⇒a⊥β；③⇒α∥β. (2)若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？ [提示]　需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角． 基 础 自 测 1．在正方体ABCD­-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(　　) A．1　　 　B．2 C．3　　 　D．6 答案：B 解析：正方体ABCD - A1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1. 2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 答案：A 解析：由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行． 3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 答案：C 解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB＝O，OB⊂平面OBC，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC. 4．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l，m的位置关系是________． l⊥m 解析：由题意可知l⊥α，所以l⊥m. 课堂探究·素养提升 题型1　线线角、线面角的求解、线面垂直的定义及判定定理的理解(数学运算、直观想象) 例1　(1)下列说法中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 【答案】　D 【解析】　由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________； 【解析】　如图，B1D与CC1所成的角为∠BB1D.  因为△DBB1为直角三角形，所以tan ∠BB1D＝＝. (3)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】　B 【解析】　在正方体ABCD - A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中，∠BC1B1＝45°. 方法归纳 1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内． 2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线． 3．求异面直线所成角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求． 4．求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 跟踪训练1　(1)下列说法中错误的个数是(　　) ①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α； ②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交； ③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直； ④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直． A．0　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 答案：C 解析：①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确． (2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________. 60° 解析：连接BC1，AD1，AB1，可知EF为△BCC1的中位线， 所以EF∥BC1. 又因为AB∥CD∥C1D1， 所以四边形ABC1D1为平行四边形． 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1. 所以∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角． 在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1， 所以△AB1D1为正三角形，所以∠AD1B1＝60°. 所以EF与B1D1所成的角为60°. (3)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________. 45° 解析：因为PA⊥平面ABC， 所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，又PA＝AB， 所以∠PBA＝45°. 题型2　线面垂直判定定理的应用 例2　如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. (1)求证：PC⊥平面AEF； (2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD. 【证明】　(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA＝A， 所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC. 又AE⊥PB，PB＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC. 又因为PC⊥AF，AE＝A， 所以PC⊥平面AEF. (2)由(1)知PC⊥平面AEF， 所以PC⊥AG， 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD， 又底面ABCD为矩形， 所以AD⊥CD， 又PA＝A， 所以CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，PC＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD. 状元随笔　PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC⇒直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线． 方法归纳 证线面垂直的方法 (1)线线垂直证明线面垂直 ①定义法(不常用)； ②判定定理最常用(有时作辅助线)． (2)平行转化法(利用推论) ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 跟踪训练2　(1)若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.   (2)若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG. 证明：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA， 因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA＝A， 所以BD⊥平面PAC，FH⊂平面PAC，所以BD⊥FH. (2)因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 所以DC⊥PA, 又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA＝A， 所以DC⊥平面PAD，又AG⊂平面PAD，所以AG⊥DC， 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD，又DC＝D，所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG， 又因为PC⊥AF，AG＝A，所以PC⊥平面AFG. 题型3　线面垂直性质定理的应用 【思考探究】　将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触). 观察折痕AD与桌面的位置关系． 1．折痕AD与桌面一定垂直吗？ [提示]　不一定． 2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？ [提示]　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直． 例3　如图所示，在正方体AB-CD­-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1. 【证明】　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 因为A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 状元随笔　两直线垂直于同一平面⇒两直线平行． 跟踪训练3　本例中条件不变，求证：M是AB中点． 证明：连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC. 所以ON綊CD綊AB，所以ON∥AM. 又因为由本例可知MN∥OA， 所以四边形AMNO为平行四边形， 所以ON＝AM.因为ON＝AB， 所以AM＝AB， 所以M是AB的中点． 题型4　直线与平面垂直的判定与性质的综合应用(逻辑推理、直观想象) 例4　(1)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D，F分别是A1B1，BB1的中点． ①求证：C1D⊥AB1； ②求证：AB1⊥平面C1DF. 【解析】　证明：①因为ABC - A1B1C1是直三棱柱， 所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又 D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1， 因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， 所以AA1⊥C1D，又因为AA1＝A1， 所以C1D⊥平面AA1B1B，又因为AB1⊂平面AA1B1B， 所以C1D⊥AB1. ②连接A1B， 因为D，F分别是A1B1，BB1的中点， 所以DF∥A1B. 又直角三角形A1B1C1中， ， 所以A1B1＝，所以A1B1＝AA1， 即四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B， 即AB1⊥DF， 又①已证C1D⊥AB1，又DF＝D， 所以AB1⊥平面C1DF. 状元随笔　①要证C1D⊥AB1，需证C1D⊥平面AA1B1B，需证C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，由已知可证． ②要证AB1⊥平面C1DF，需证AB1⊥DF，需证A1B⊥AB1，需证四边形AA1B1B为正方形，由已知可证． (2)如图，在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，则点B到平面ACD的距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】　B 【解析】　因为AB⊥BC，AB⊥BD， 所以AB⊥平面BCD，故AB⊥CD， 因为CD⊥BE，CD⊥AB，可得CD⊥平面ABE， 则AB在平面ADC上的射影与AE在一条直线上， 故直线AB与平面ACD所成角即为∠BAE. 在Rt△ABE中，BE＝，sin ∠BAE＝，故可得AE＝3，AB＝4，故VA - BCD＝VB - ACD，设点B到平面ACD的距离为x，则S△BCD×AB＝S△ACD×x， 整理得2AB＝6h，解得h＝. 方法归纳 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面． (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来． (3)距离问题一直是高考的重点与热点问题，本题考查了各种距离，其中求点到平面的距离关键是作出点到平面的垂线，线到面的距离关键是转化为点到面的距离，各种距离的基础是点与点的距离． 跟踪训练4　(1)如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证：AB⊥PC.   解析：证明：∵PO⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，∴PO⊥AB. ∵O在CD上，∴PO＝O. 又CD⊥AB， ∴AB⊥平面POC. ∵PC⊂平面POC，∴AB⊥PC. (2)已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形， PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点D到平面PAC的距离为d2，BC到平面PAD的距离为d3，则d1，d2，d3三者之间的大小关系是________. d2<d1<d3 解析：如图，点C到平面PAB的距离就是点D到平面PAB的距离， 过点D作DE⊥PA，则DE⊥平面PAB， 所以DE的长就是点D到平面PAB的距离， 故d1＝DE＝； 令AC＝M，在平面PDB内作DF⊥PM， 则DF⊥平面PAC，所以点D到平面PAC的距离d2＝DF＝； BC到平面PAD的距离，即C到平面PAD的距离，所以d3＝1， 故有d2<d1<d3. 方法归纳 平行关系与垂直关系之间的相互转化 教材反思 1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关线面垂直的问题．难点是直线与平面垂直关系的判定与证明． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)线面垂直的定义及应用． (2)线面垂直的判定定理及应用． (3)线面垂直的性质定理及应用． 3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时易漏掉两条直线相交这一条件． $$