4.3对数7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.3对数7题型分类 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.　 　　　　 （一） 对数的概念 对数有意义的两个条件： ①底数大于零且不等于1； ②对数的真数必须大于零． 题型1：对数的概念 1-1．（2024高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 1-2．（2024高一上·全国·课后作业）在中，实数a的取值范围是 A．B． C． D． 1-3．（2024高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 1-4．（2024高一上·上海虹口·期中）使得表达式有意义的x范围是 ． （二） 指数式与对数式的互化 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 题型2：指数式与对数式互化 2-1．（2024高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2-2．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)． 2-3．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). （三） 利用指数式与对数式的关系求值 指数式与对数式的关系求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． ③指数式与对数式的关系求值基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．　　 题型3：利用指数式与对数式的关系求值 3-1．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知，则 . 3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，计算= 3-3．（2024高一·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 3-4．（2024高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 3-5．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． （四） 对数的性质及对数恒等式 1、利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2、性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 题型4：对数的性质及对数恒等式 4-1．（2024高三·全国·专题练习），则 . 4-2．（2024高一·全国·课后作业）若，则 ． 4-3．（2024高二下·河北张家口·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4-4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 4-5．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 4-6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． （五） 对数运算性质的应用 1、对数运算基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2、对数的运算两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型5：对数的运算 5-1．（2024高一·江苏·假期作业）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4). 5-2．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 5-3．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11)， (12)， 5-4．（2024高三·全国·专题练习）计算： (1); (2) （六） 换底公式的应用 1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 2、利用换底公式求值的思想与注意点 题型6：换底公式的应用 6-1．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 6-2．（2024·山东济宁·三模）若且，则（ ） A． B． C． D． 6-3．（2024高三·全国·专题练习）设，求证：. 6-4．（2024高一·全国·课后作业）设，那么的值所在区间为（    ） A． B． C． D． 6-5．（2024高一上·浙江丽水·期末）若，，则 ． 6-6．（2024高一·江苏·假期作业）计算： (1)； (2). 6-7．（2024高一·江苏·假期作业）已知，，求.（用表示） （七） 对数运算的综合与实际应用 1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2、解决对数应用题的一般步骤 题型7：对数运算的综合与实际应用 7-1．（2024·福建三明·三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ） A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 7-2．（2024高三上·江苏南通·开学考试）已知声强级（单位：分贝），其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 7-3．（2024高三上·湖南长沙·开学考试）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 7-4．（2024·江苏徐州·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（    ） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·课后作业）的值是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2024·天津河西·三模）已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 4．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·湖南衡阳·学业考试）已知，那么（    ） A．2 B． C． D． 6．（2024高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2024高一·全国·课后作业）下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 8．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·天津·期末）已知，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 10．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2024高二下·浙江绍兴·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（    ） A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍 12．（2024高二下·辽宁本溪·阶段练习）2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（    ）（参考数据：） A．308 B．309 C．1023 D．1024 13．（2024高一上·甘肃天水·期末）地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（    ）倍． A．1000 B．100 C．2 D． 14．（2024·海南海口·模拟预测）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（   ）（参考数据：） A．187% B．230% C．530% D．430% 15．（2024·天津河西·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二·天津·学业考试）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 17．（2024·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 18．（2024·广西·三模）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知，，设，则N所在的区间为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·广西·模拟预测）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，，） A．9 B．15 C．25 D．35 20．（2024高一上·全国·课后作业）已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 二、多选题 21．（2024高一·江苏·假期作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·山东菏泽·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一上·全国·课后作业）下列正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 24．（2024高一下·福建·期末）已知，则正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 25．（2024高一·全国·课后作业）计算： ； . 26．（2024高一上·全国·课后作业）若，则x的值为 ． 27．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）计算：   . 28．（2024高一·全国·课后作业）的值是 ． 29．（2024高三·全国·专题练习）若，，用a，b表示 30．（2024高一下·上海黄浦·期末）已知，，若用、表示，则 ． 31．（2024高二下·天津南开·期末）计算： . 32．（2024高三·全国·专题练习）化简： ． 33．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）已知，则的值为 . 34．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，则的值为 ． 35．（2024高三上·广东·阶段练习）已知，则 . 36．（2024·四川宜宾·三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 37．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足且，则m＝ . 38．（2024高一·全国·课后作业）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为 . 39．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab= . 40．（2024高二上·上海浦东新·期末）定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 41．（2024·天津津南·模拟预测）已知，，且，则ab的最小值为 ． 四、解答题 42．（2024高一下·广西崇左·阶段练习）计算下列各式的值（或的值）： (1) (2) (3) (4) 43．（2024高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知，计算； （2）． 44．（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). 45．（2024高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1) (2) 46．（2024高一·全国·课后作业）求值： (1)； (2)的值． 47．（2024高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.3对数7题型分类 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.　 　　　　 （一） 对数的概念 对数有意义的两个条件： ①底数大于零且不等于1； ②对数的真数必须大于零． 题型1：对数的概念 1-1．（2024高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【详解】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 1-2．（2024高一上·全国·课后作业）在中，实数a的取值范围是 A．B． C． D． 【答案】C 【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【详解】由对数的定义知， 解得 或 . 故选C． 【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题． 1-3．（2024高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得，解出即可. 【详解】根据真数大于0得，解得， 故答案为：. 1-4．（2024高一上·上海虹口·期中）使得表达式有意义的x范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0求解即可. 【详解】式子要有意义，则， 解得， 所以x范围是. 故答案为：. （二） 指数式与对数式的互化 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 题型2：指数式与对数式互化 2-1．（2024高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 2-2．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】根据对数式和指数式的概念进行转换. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. （5），可得. （6），可得. （7），可得. （8），可得. （9） （10） （11） （12） 2-3．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5)； (6)； (7). 【分析】利用指数式和对数式的概念进行转换. 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. （三） 利用指数式与对数式的关系求值 指数式与对数式的关系求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． ③指数式与对数式的关系求值基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．　　 题型3：利用指数式与对数式的关系求值 3-1．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知，则 . 【答案】 【解析】利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得的值. 【详解】，，因此，. 故答案为：. 3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，计算= 【答案】 【分析】根据对数式与指数式的互化结合指数幂的运算进行计算即可. 【详解】∵，， ∴，， ∴. 故答案为：. 3-3．（2024高一·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】根据指对数互化及指数幂的运算即得. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：9. 3-4．（2024高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可； （2）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可； （3）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可. 【详解】（1）∵， ∴，∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）由可得，， 故，所以. 3-5．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 故选：B. （四） 对数的性质及对数恒等式 1、利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2、性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 题型4：对数的性质及对数恒等式 4-1．（2024高三·全国·专题练习），则 . 【答案】或 【分析】设，解一元二次方程求，再求. 【详解】设，原方程可化为， 所以或， 所以或， 所以或. 故答案为：或. 4-2．（2024高一·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质得到，直接代入即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 4-3．（2024高二下·河北张家口·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可得，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为，，由，可得， 所以，“”“”；但“”“”. 所以，已知，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4-4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】依题意，由韦达定理得，解等式即可. 【详解】因为是方程的两个实根 所以 即 所以 故选：C 4-5．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】4 【分析】由已知结合对数运算法则可得，接着先由解得和，再由舍去即可得解. 【详解】因为，故， 所以，由得或， 又，所以舍去，故，则. 故答案为：. 4-6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． 【答案】 【分析】应用对数运算及已知化简表示即可. 【详解】∵，， ∴ ． （五） 对数运算性质的应用 1、对数运算基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2、对数的运算两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型5：对数的运算 5-1．（2024高一·江苏·假期作业）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据对数的运算性质计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3） （4） 5-2．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5)3 【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案. 【详解】（1）解法一： 原式. 解法二：原式. （2）原式 . （3）原式 （4）原式 （5） ． 5-3．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11)， (12)， 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5) (6)2 (7) (8) (9) (10)-2 (11) (12)3 【分析】利用指数运算和对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4）； （5） ； （6） ； （7）； （8） ； （9） ； （10）； （11） ； （12） 5-4．（2024高三·全国·专题练习）计算： (1); (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数的运算法则，注意利用； （2）根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式＝. （2）原式 . （六） 换底公式的应用 1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 2、利用换底公式求值的思想与注意点 题型6：换底公式的应用 6-1．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)13 【分析】（1）根据对数的运算性质结合对数的定义运算求解； （2）方法一：以2和5为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案；方法二：以10为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 6-2．（2024·山东济宁·三模）若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化可得出、的表达式，结合换底公式可求得的值. 【详解】因为且，所以，且，所以，且， 且有，，所以，，， 所以，，则， 又因为且，解得. 故选：B. 6-3．（2024高三·全国·专题练习）设，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，则表示出，然后利用对数的运算性质计算和，即可得结论. 【详解】证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 6-4．（2024高一·全国·课后作业）设，那么的值所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用换底公式以及对数的运算整理得，再根据对数的概念求取值范围. 【详解】由题意可得：， 且所以. 故选：D. 6-5．（2024高一上·浙江丽水·期末）若，，则 ． 【答案】1 【分析】将转化为对数式，然后利用换底公式和对数运算化简可得. 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：1 6-6．（2024高一·江苏·假期作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】 （1）利用换底公式和对数的运算性质求解即可； （2）利用换底公式的逆应用，结合对数运算的相关公式求解即可. 【详解】（1）由换底公式可得，； （2） 原式 . 6-7．（2024高一·江苏·假期作业）已知，，求.（用表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算律，整理条件，利用换底公式，可得答案. 【详解】∵，所以，又 ∴， ； ∴． 故答案为：． （七） 对数运算的综合与实际应用 1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2、解决对数应用题的一般步骤 题型7：对数运算的综合与实际应用 7-1．（2024·福建三明·三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ） A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 【答案】D 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由已知可得. 故选：D 7-2．（2024高三上·江苏南通·开学考试）已知声强级（单位：分贝），其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】根据题干列式，再应用对数运算律计算即可. 【详解】，则， 所以，∴. 故选：D. 7-3．（2024高三上·湖南长沙·开学考试）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 【答案】A 【分析】设，然后根据对数的运算解出即可. 【详解】万年用掉个二维码，大约能用万年，设， 则 即万年， 故选：A 7-4．（2024·江苏徐州·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（    ） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 【答案】B 【分析】根据题意列出方程解出未知量即可. 【详解】设原始量为，每年衰变率为， ， ， ， ， . 故选：B. 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】解：对数函数（且），其中为常数，为自变量． 对于选项A，符合对数函数定义； 对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数； 对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数； 对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数． 故选：A． 2．（2024高一·全国·课后作业）的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据换底公式的结论运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 3．（2024·天津河西·三模）已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 【答案】A 【分析】由指对互换，表示出，代入原式即可. 【详解】由， . 故选：A. 4．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 5．（2024高二·湖南衡阳·学业考试）已知，那么（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算的知识求得，进而求得. 【详解】依题意，， 所以，所以， 所以. 故选：C 6．（2024高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0. 【详解】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 7．（2024高一·全国·课后作业）下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案. 【详解】因为，所以A不对； 因为，所以B不对； 因为，所以C不对； 因为，D正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题. 8．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由对数的运算可知，即可得到结果. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：C 9．（2024高二下·天津·期末）已知，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由，得到，然后由求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：C 10．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：D. 11．（2024高二下·浙江绍兴·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（    ） A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍 【答案】B 【分析】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为，由题意可推得，根据对数的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案. 【详解】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为， 由题意可知，， 即，所以. 故选：B. 12．（2024高二下·辽宁本溪·阶段练习）2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（    ）（参考数据：） A．308 B．309 C．1023 D．1024 【答案】B 【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数，根据对数的运算性质可得，根据已知数据，即可得出答案. 【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态， 所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态. 两边取以10为底的对数得， 所以. 由于，故是一个309位的数，即. 故选：B. 13．（2024高一上·甘肃天水·期末）地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（    ）倍． A．1000 B．100 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用，求得，代入，从而求得结果. 【详解】解：依题意，，则，即 则,则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍. 故选：B. 14．（2024·海南海口·模拟预测）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（   ）（参考数据：） A．187% B．230% C．530% D．430% 【答案】D 【分析】根据题干定义分别求提升前和提升后的信息传送速度，最后再计算信息传递速度增加律. 【详解】提升前的信息传送速度， 提升后的信息传送速度， 所以信息传递速度大约增加了． 故选：D. 15．（2024·天津河西·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解. 【详解】， ， ， ，即或（舍去） 故选：C 16．（2024高二·天津·学业考试）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求得x的值，再利用对数运算性质即可求得的值. 【详解】由，可得， 则 故选：B 17．（2024·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先根据对数的运算得，再利用基本不等式求解． 【详解】由正数，满足，得， 所以，，结合，，得， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 18．（2024·广西·三模）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知，，设，则N所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需计算的值即可解决. 【详解】计算，对选项中的区间端点值同样取以10为底的对数值，可知B正确. 故选：B 19．（2024·广西·模拟预测）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，，） A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【分析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出的值即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， ∴， 故选：D． 20．（2024高一上·全国·课后作业）已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合可求得结果. 【详解】令，则， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 因为，所以或， 所以或， 所以或， 故选：D 二、多选题 21．（2024高一·江苏·假期作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数运算法则和换底公式进行计算. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 22．（2024高一上·山东菏泽·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由对数式的运算规则，检验各选项的运算结果. 【详解】，故选项A正确； ，故选项B错误； 根据对数恒等式可知，，选项C正确； 根据换底公式可得：，故选项D错误． 故选：AC 23．（2024高一上·全国·课后作业）下列正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，则，所以，，C对； 对于D选项，因为，则，所以，，D对. 故选：BCD. 24．（2024高一下·福建·期末）已知，则正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先把指数式化为对数式可得，，可判断A，由对数的运算性质可判断D，由基本不等式可判断BC． 【详解】，，，，，故正确， ，故D不正确， ，当且仅当时取等号，，，故B正确， （因为，故等号不成立），，故C正确. 故选： 三、填空题 25．（2024高一·全国·课后作业）计算： ； . 【答案】 8 【分析】直接利用对数与指数的运算性质求解即可. 【详解】 , 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数与指数的运算性质，属于基础题. 26．（2024高一上·全国·课后作业）若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 27．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）计算：   . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则，即可求解. 【详解】根据对数的运算法则，可得. 故答案为：. 28．（2024高一·全国·课后作业）的值是 ． 【答案】/0.2 【分析】由对数的概念直接计算即可. 【详解】由对数的概念可得， 故答案为： 29．（2024高三·全国·专题练习）若，，用a，b表示 【答案】 【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】因为，所以， . 故答案为：. 30．（2024高一下·上海黄浦·期末）已知，，若用、表示，则 ． 【答案】/ 【分析】将指数式化为对数式，在利用换底公式及对数的运算法则计算可得. 【详解】因为，，所以，， 所以. 故答案为： 31．（2024高二下·天津南开·期末）计算： . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则结合换底公式求解. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：. 32．（2024高三·全国·专题练习）化简： ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质即可化简求值. 【详解】 ． 故答案为： 33．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】首先求出，又，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 34．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由对数的定义先求出，再进行对数化简求值. 【详解】因为，，所以，， 所以． 故答案为：2 35．（2024高三上·广东·阶段练习）已知，则 . 【答案】2 【分析】先根据对数的定义求出，再根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得，，则，， 故. 故答案为：2. 36．（2024·四川宜宾·三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 【答案】0 【分析】根据条件求出和，再求的值. 【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，， 由题意，，， . 故答案为：0. 37．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足且，则m＝ . 【答案】100 【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解 【详解】由可得， 又，即， 所以，即 故答案为： 38．（2024高一·全国·课后作业）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为 . 【答案】2567 【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案. 【详解】由题可知，． 因为，所以， 所以的整数部分为2567． 故答案为：2567. 39．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab= . 【答案】 【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得. 【详解】依题意，，所以是线段的三等分点， 而，所以， 所以， . 故答案为： 40．（2024高二上·上海浦东新·期末）定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 【答案】4107 【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案. 【详解】 根据已知可得： ， ， ， ，共4个， ，共8个（由之间含多少个奇数决定）， ，共16个， ，共32个， ，共64个， ，共128个， ，共256个， ， 则， 故答案为：4107. 41．（2024·天津津南·模拟预测）已知，，且，则ab的最小值为 ． 【答案】16 【分析】根据给定条件，利用换底公式变形，再利用均值不等式求解作答. 【详解】因为，，则，由，得， 则有，当且仅当，即时取等号， 于是，， 所以当时，ab取得最小值16. 故答案为：16 四、解答题 42．（2024高一下·广西崇左·阶段练习）计算下列各式的值（或的值）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把对数式先化成指数式，再进一步运算求得结果； （2）根据对数恒等式或者两边取以10为底对数，进一步化简求得结果； （3）先由外层对数值求解真数，再以此类推求得结果； （4）由对数运算法则、对数恒等式、换底公式求得结果. 【详解】（1）由，得，所以； （2）由两边取以10为底对数，得，即，解得； （3）由，得， 所以，即； （4）. 43．（2024高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知，计算； （2）． 【答案】4，10 【分析】（1）根据指数幂的运算平方即可求解， （2）根据对数的运算性质即可化简求解. 【详解】（1）由可得，将其平方得，将平方可得，所以， （2） 44．（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数和对数运算法则直接化简求解即可. 【详解】（1）. （2）. 45．（2024高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可； （2）利用对数式与指数式的关系化简即可. 【详解】（1）由可得，， 则， 所以. （2）由可得，， 故，所以. 46．（2024高一·全国·课后作业）求值： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】根据对数的概念及运算性质求解. 【详解】（1）由题意可得 . （2）由题意可得： ， 因为， 所以. 47．（2024高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$