第四章数学建模建立函数模型解决实际问题：探究茶水温度与时间的关系-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版高中数学必修第一册《数学建模 建立函数模型解决实际问题》：探究茶水温度与时间的关系 一、使用教材 人民教育出版社普通高中教科书A版数学必修第一册《数学建模 建立函数模型解决实际问题》 授课内容：数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系 授课年级：高一年级 二、实验器材 茶叶、水、电子天平、量杯、温度传感器、秒表、纸笔。 三、教材及学情分析 （一）实验教学内容分析 本节课是选自高中数学必修第一册（人教A版）《数学建模 建立函数模型解决实际问题》的一节实验探究课。在知识层面上要求学生运用已有函数的知识解决实际问题，体会建立函数模型的过程，感受函数在生活中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。 1. 政策导向：2018年，教育部颁布了《教育信息化2.0行动计划》，其中明确提出深化信息技术与学科课程深度融合，以新型智能技术推动“互联网+教育”的发展。 2. 素养导向：在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提出，数学建模是作为数学学科核心素养之一，里面指出数学建模实验活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程，是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，强调数学与生活以及其他学科的联系，旨在提升高中生应用数学解决实际问题的能力。 本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想。 （二）学情分析 1.有利因素：高一学生思维活跃、求知欲强，本节课研究的内容是有关茶水温度，操作比较简单，容易激起学生兴趣，各个层次的学生都能参与到其中。 2.不利因素：高中阶段的数学建模实验活动对于高一学生来说接触较少，经验不够丰富，在实验探究中容易出现问题，不同学生的差异性容易产生不同的学习效果。 四、实验教学目标 1.了解温度变化的基本原理，理解实验设计中的控制变量的概念。 评价：学生课前查阅资料后，能否准确回答温度变化的理论问题，评价对知识的理解程度。 2.掌握实验操作的基本技能，包括记录数据和绘制温度变化散点图。 评价：观察实验操作过程，根据实验器材使用的正确性、数据记录的规范性给予评价。 3.能够从实验数据中提取有意义的结论，培养学生数据分析核心素养。 评价：诊断并发展学生获取信息能力、问题解决能力。 4.培养科学探究精神，激发对科学实验的兴趣。 评价：诊断并培养学生严谨的科学态度、实验中的细节和数据的准确性。 教学重点：数据采集过程及绘制散点图 教学难点：1.实验操作的规范性2.从实际问题中抽象出数学问题3.函数模型的选择和修正 难点突破策略： 1.在课前进行预实验，对实验中器材、信息技术SPSS、Excel公式的使用进行演示操作； 2.以问题串的形式引导，强调情境中的关键词； 3.通过问题驱动回顾以前的基本初等函数图象及性质，为建立模型中函数拟合做好准备。 教学方法：实验探究法 问题引导法 多媒体辅助教学法 学习方法：合作探究法 讨论法 归纳总结法 交流展示法 五、实验创新要点/改进要点 （一）创新点 1.将STEAM教育理念融入数学建模实验探究课，培养学生多学科知识学习的综合能力，体现了育人价值； （1）科学素养：从茶水口感提出问题，用科学的手段测量温度并收集数据，再用数学的方法分析数据，学会用科学的眼光观察世界，树立严谨求实的科学精神。 （2）技术素养：用温度传感器测量茶水温度的变化并作记录，融合物理知识，并利用信息技术的手段分析和处理数据，提高动手操作能力，感受信息技术在问题解决中的应用。 （3）工程素养：本节课学习是处于一个完整问题解决情境当中的，经历构建模型解决问题的全过程，形成良好的工程思维，为后续学习和发展奠定基础。 （4）艺术素养：本节课内容是从品茶引发的数学问题，感受我国茶文化的博大精深，陶冶情操。 （5）数学素养：在模型的构建、数据的处理和求解数学模型等方面都是数学在解决问题上的应用，体现了数学运算、数据处理的核心素养，感受数学源于生活，并服务于生活。 2.运用SPSS、Excel辅助教学，让学生深刻体会信息技术辅助知识学习的工具作用； 3.教学形式上将演示—探究—评价有机结合，教学评一体化，推动问题解决。 （二）实验改进 1.实验准备阶段：未进行实验假设或控制变量（见图1），可能导致结果产生误差 图1 器材准备 改进措施：控制变量 （1）初始温度：确保每次实验中热水的初始温度均为85℃（2）水量：确保每个杯子中茶水的体积均为150ml （3）环境温度：在相同的室温条件下进行实验 2.收集数据：采集数据偏少（见图2），不容易看出温度变化规律 图2 数据采集 改进措施：增加数据采集时间为15分钟（见图3） 图3 数据采集修改表 3.求解指数型模型中a的值：计算过程（见图4）繁琐，费时费力 图4 计算a值 改进措施：利用Excel公式功能求解，见图5 图5 Excel公式 六、实验原理/实验设计思路 （一）原理 遵循牛顿冷却定律：英国物理学家和数学家牛顿（Issac Newton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。牛顿发现同一物体在外部介质性质及温度相同，本身性质及表面积相同时，物体冷却的速率只与外部与物体的温差有关。如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间t后物体的温度将满足： ， 其中k为正的常数。冷却定律推导出来，在忽略表面积以及外部介质性质和温度的变化，物体温度变化是越来越慢的。 （二）设计思路 1.信息技术软件：SPSS、Excel 2.实验步骤 （1）准备工作：先在量中投放3g绿茶，将热水烧开确保初始温度一致（85°C）； （2）倒入热水：将相同体积的热水倒入相同材质的杯子中，确保每个杯子的水量一致； （3）测量初始温度：使用温度计测量每个杯子中茶水的初始温度，确保所有杯子的初始温度尽量一致； （4）记录温度变化：每隔1分钟使用温度传感器测量并记录茶水的温度，持续15分钟；重复多次测量，以减少误差，确保数据的准确性； （5）数据记录与分析：绘制温度随时间变化的散点图，观察杯子中茶水的降温规律；进行数据分析，建立茶水温度随时间变化的函数模型。 七、教学过程 （一）创设情境，提出问题 竹叶青（见图6）产于四川峨眉山，含有较多的叶绿素，滋味清醇爽口，饮后余香回甘，是形质兼优的茶中珍品。古往今来我国的茶文化源远流长，博大精深，为中华民族之国粹。茶叶中含有咖啡碱，肌醇，叶酸，泛酸等营养物质，长期饮茶可以解除油腻，帮助消化，还可以对心血管疾病如高血压，冠心病等有一定的防治作用。 茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明某种绿茶用85℃的热水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感。图6 竹叶青 【问题1】针对以上实例我们能提出什么问题呢？ 解答：经过多长时间茶水可以达到最佳饮用口感。 请同学们就这一问题进行思考，小组讨论确定实验方案。 【问题2】在这个问题中变量是什么？ 解答：茶水温度、放置时间。 【问题3】如何建立两者之间的函数模型呢？ 学生活动：思考并回答教师提问。 教师活动：用生活实例调动学生学习兴趣，引导学生逐步将生活问题抽象化、数学化，最后提出问题3，过渡到下一环节。 【设计意图】给出所要研究问题的背景，体验感受中国的茶文化，以问题串的形式，逐渐引导学生将实际问题转化为数学问题，从而让学生体会意识到建立茶水温度和时间函数模型的必要性。 （2） 选定对象，采集数据 课前介绍实验器材，包括温度传感器的使用方法。 准备：每组准备初始温度相同的茶水一杯，温度传感器一台，秒表或手表一支。 要求：先用电子天平称量3g茶叶放入烧杯中，再用量杯称量150ml水，煮沸后待温度降至85℃时泡制绿茶，每隔1min测量茶水温度，并记录数据。 分工：以3人为一小组，其中一人负责用计时器（秒表）读时间，一人负责读取温度，一人负责填写《数据采集记录表》。 实验过程中提出问题：数据表明随着时间的推移茶水温度有怎样的变化规律？ 学生活动：小组合作探究、进行实验操作 图7 学生实验操作 教师活动：巡视小组讨论情况，并为减少数据误差做相关指导。 【设计意图】让数学经历数学建模的初始阶段，体会到数据采集这一环节的重要性，为后面对数据的处理分析有重要的指导意义。 （3） 直观呈现，散点作图 1. 画散点图 【问题4】得到这些数据要怎么处理？ 【问题5】数据表明随着时间的推移茶水温度有怎样的变化规律？ 解答：利用采集的数据绘出散点图（时间x为自变量，茶水温度y为因变量），见图8，根据散点观察水温随时间的变化规律，进一步向学生追问如何确定对应的函数模型。 学生活动：动手绘图，并对数据进行分析处理。 教师活动：巡视小组作图情况，从中挑选几组代表进行实物投影，并对所画散点图进行点评。 图8 散点图 【设计意图】让学生经历散点作图的过程，体会散点图的作用，数少形时缺直观的思想。 （4） 选择模型，求解模型 1. 选择模型 根据散点图的走势，你会选择建立怎样的函数模型？小组交流3-5分钟，并将答案呈现在学案上。 图9 结果展示 【问题6】变量间关系可以建立一次函数y=kx+b模型吗？考虑泡茶时的室温是恒定的，温度会一直降低下去吗？ 解答：若是一次函数，图像将近似是一条直线，若自变量时间足够大，温度就将变成负值，不符合实际情况。 考查变量间的关系时我们要考虑实际情况，泡茶时间和温度的关系不可能是一次函数关系，同理，二次函数，对数函数也不符合。 【设计意图】让学生回顾以前所学习过的函数模型，培养学生数据分析的核心素养，为后面模型的选择做准备，完成教学目标二。 【问题7】可以建立指数函数模型吗？ 解答：想一下指数函数的性质，无论底数如何指数函数恒过定点（0，1），显然不可以是指数函数。 【问题8】是这种形式吗？ （注：我们可以把称为指数型函数） 解答：该函数虽然满足过初始点（0，85），但是这种类型的函数当自变量趋于无穷大时，会无限地接近于x轴，考虑到茶水温度会越来越低越来越接近于室温，显然不符合实际情况。 通过不断校正，此次建模采用可采用指数型函数模型：和反比例型函数模型： 根据选择的函数模型与采集数据，求解函数模型，以指数型函数模型为例，由初始温度85℃知，k=59，如何求a的值呢？ 将五组数据带入，求得解析式或利用五个a的值的算术平均数求得解析式，都可以近似的反应温度变化和时间变化的关系，在要求结果不是很精确地情况下，选择哪一个a都是可以的。 学生活动：小组合作，列举熟悉的函数模型，思考并回答问题，并派一名代表交流成果。 图10 学生交流展示 教师活动：组织小组进行汇报，在学生不确定模型的选择是否正确时，通过理论分析加以引导得到拟合度较好的函数模型。 2.求解模型：若选择指数型，学生利用Excel公式求解a的平均值： 图11 Excel结果演示 计算a的平均值：，得到指数型模型： 同理利用相邻的两组数据，计算参数的平均值，得到反比例型函数模型： 3.模型优化 【问题9】两种函数模型均符合实际情况，哪一种模型拟合效果更好一些？ 教师对统计软件进行简单介绍：SPSS是一款强大的统计分析工具，可用于拟合各种函数，例如可以求解线性方程的系数和相关统计信息，判断两个变量之间的关系强度。同时利用SPSS，演示拟合的函数结果，对比两函数模型拟合的效果。 图12 两种函数拟合结果 图13 统计结果 通过相关指数的大小发现指数型函数拟合结果优于反比例型函数，故选择指数型函数模型进行预测。 学生活动：思考并解答问题 教师活动：提出问题，用SPSS演示数据拟合过程，并对拟合结果和学生计算结果进行误差比较，总结评价。 【设计意图】拟合对学生而言是全新的概念，拟合的结果对于建立函数模型的优劣有重要的参考意义，由于高一学生知识储备不足，故采取多次实验减少偶然误差并结合信息技术软件的使用，使模型尽可能精确。利用SPSS软件拟合函数，让学生体会信息技术和数学学科的融合特点。 （5） 利用模型，解决问题 1.求解问题：经过多长时间茶水可以达到最佳饮用口感？ 将y=60带入函数：得：，左右两边同时取对数得：所以，泡制一杯最佳口感的茶水大约需要9分钟。 【设计意图】通过实际问题的最终解决，让学生感受到数学建模的意义和价值。 （6） 归纳小结，课后思考 【问题10】通过本小节课的学习，你能否尝试归纳数学建模的一般步骤是什么吗？ 图14 数学建模步骤 课后探究活动 1. 请同学们小组合作，探究建立其他函数模型的可行性？ 建模实践：组成3-5人的研究小组，仿照茶水最佳饮用问题研究过程，自主选题，开展一次建立函数模型解决实际问题的活动，撰写并提交一份研究报告。 【设计意图】通过小结，让学生更加清楚建立两个变量模型的方法和步骤，通过课后探究活动，进一步体会模型的优化问题，自主探究的建模实践让学生感受到数学建模在实际生活中应用的重要意义，提高高中生数学建模核心素养。 八、实验效果评价及教学反思： （一）实验效果 为了掌握学生在本次实验学习中的效果，设计了关于探究茶水温度与时间的关系学生问卷调查（见附录二），由全班48名学生课下完成，统计结果如下： 表1 学习兴趣与态度 表2 知识理解与掌握 表3 学习方法与技能 表4 学习收获与应用 效果评价： 1. 通过本实验提高了学生的积极性和参与度； 2. 提高了学生动手实践能力以及观察、分析、解决问题的能力；培养了学生实验态度认真、严谨，对实验数据的真实性和准确性的责任心； 3. 能够将实验中获得的知识和方法应用到生活中，解释温度与时间相关的现象。 （二）评价量表 表5 评价量表 课堂评价量表（单项10分） 第（ ）组 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分 对应目标 课前准备课堂动手实验                     1.能够争取搭建仪器，提升实验操作能力，培养合作精神。 数据观察                   1.能够了解初等函数的图象、性质特点；2.能够应用函数图象、性质解决实际问题；3.能够借鉴函数性质特点进行知识迁移，解决实际问题。 数据分析                     数学内容猜想                     1.能够结合所学函数知识对实验数据进行合理的、深入的研究；2.能够利用计算机工具画出散点图，并利用图象特点找到适合的函数模型。 建立函数模型                     小组讨论                     1.能够在与他人合作过程中，培养合作精神，取长补短，相互提升。 课堂表现自评 互评 总分   （三）教学反思 1.融合其他学科知识和实验、信息技术等，调动了学生积极性，体现了新课程标准所倡导的数学建模素养。 2．由于本节课是学生高中阶段第一次参与统一的建模活动，这个阶段的学生还没有完全适应高中课程，所以采取了全班统一选题，师生共同探索以降低难度，开放性不够强。 3.后续优化措施：（1）加强理论与实践相结合：在课程引入和总结阶段，更多地结合实际生活中的例子，帮助学生更好地理解理论知识。 （2）提高实验操作指导：加强对实验操作的示范和指导，特别是数据记录的准确性，避免因操作不当导致的实验误差。 （3）数学建模实验课的开展对于学生应用意识和动手能力的培养有重要的作用，后续可以依据学生的认知发展水平开展数学建模社团、数学建模竞赛、数学建模研究报告汇报等形式多样的数学建模教学活动。 板书设计： 数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系 一、提出问题 二、收集数据 三、绘制散点图，选择模型 y=kx+b 4、 求解模型 5、 解决实际问题 附录一：数据采集表 收集数据并建立函数模型——探究茶水温度与时间的关系 知识点 数据分析的依据 找出所有可能的函数表达式 小组决策 采集数据 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 温度/℃ 选择合适的函数模型，对数据进行处理，得出函数模型。 小组反思讨论，说明选择的理由 绘图 附录二：《探究茶水温度与时间的关系》问卷调查 《探究茶水温度与时间的关系》问卷调查 亲爱的同学： 你好！为了深入了解你在探究茶水温度与时间关系的学习过程中的效果和感受，我们特开展此次问卷调查。你的真实回答将对提升你的学习体验非常有帮助。请你放心作答，问卷结果仅用于研究目的，不会泄露你的个人信息。 一、个人基本信息 1. 你的性别： A. 男 B. 女 2. 你的年龄： A. 12 - 13 岁 B. 14 - 15 岁 C. 16 - 17 岁 二、学习兴趣与态度 1. 在参与探究茶水温度与时间关系的学习之前，你对这类科学探究活动的兴趣程度是： A. 非常感兴趣 B. 比较感兴趣 C. 一般 D. 不太感兴趣 E. 完全不感兴趣 2. 参与此次探究活动后，你对这类科学探究的兴趣有何变化？ A. 兴趣大大提高 B. 兴趣有所提高 C. 兴趣没有变化 D. 兴趣有所降低 E. 兴趣大大降低 三、知识理解与掌握 1. 在探究活动之前，你对温度、时间及其相互关系的了解程度是： A. 非常了解 B. 比较了解 C. 了解一点 D. 完全不了解 2. 经过这次探究，你对茶水温度随时间变化的规律的理解程度是： A. 完全理解，能清晰阐述 B. 基本理解，能大致说明 C. 部分理解，有些模糊 D. 不太理解 E. 完全不理解 3. 你认为以下哪些知识在此次探究中得到了巩固和拓展（可多选）？ A. 温度测量方法 B. 数据记录与分析 C. 实验设计与操作 D. 其他（请注明）________________ 四、学习方法与技能 1.对于实验数据的收集和处理，你的能力如何？ A. 熟练掌握，准确无误 B. 基本掌握，偶有错误 C. 不太熟练，需要帮助 D. 完全不会 2. 通过这次探究，你在观察、分析和解决问题方面的能力是否有所提升？ A. 提升很大 B. 有一定提升 C. 提升不明显 D. 没有提升 五、学习收获与应用 1. 你觉得此次探究活动对你的日常生活有帮助吗？ A. 很有帮助，能解释很多生活现象 B. 有一些帮助，偶尔能用到 C. 帮助不大 D. 没有帮助 2. 你是否能够将探究中所学的方法和知识应用到其他类似的科学问题中？ A. 完全能够，轻松应用 B. 基本能够，稍加思考 C. 有些困难，需要复习 D. 完全不能 3. 请举例说明你在生活中如何运用此次探究学到的知识。 1.在参与探究茶水温度与时间关系的学习之前，你对这类科学探究活动的兴趣程度是 非常感兴趣 比较感兴趣 一般 不太感兴趣 完全不感兴趣 0.3125 0.479166666666667 0.166666666666667 0.0416666666666667 0 2. 参与此次探究活动后，你对这类科学探究的兴趣有何变化？ 兴趣大大提高 兴趣有所提高 兴趣没有变化 兴趣有所降低 兴趣大大降低 0.291666666666667 0.5625 0.104166666666667 0.0416666666666667 0 3.在探究活动之前，你对温度、时间及其相互关系的了解程度是： 非常了解 比较了解 了解一点 完全不了解 0.0625 0.104166666666667 0.770833333333333 0.0208333333333333 4.经过这次探究，你对茶水温度随时间变化的规律的理解程度是： 完全理解，能清晰阐述 基本理解，能大致说明 部分 理解，有些模糊 不太理解 完全不理解 0.166666666666667 0.666666666666667 0.104166666666667 0.0625 0 5.通过这次探究，你在观察、分析和解决问题方面的能力是否有所提升？ 提升很大 有一定提升 提升不明显 没有提升 0.5 0.354166666666667 0.0833333333333333 0.0625 6.你觉得此次探究活动对你的日常生活有帮助吗？ 很有帮助，能解释很多生活现象 有一些帮助，偶尔能用到 帮助不大 没有帮助 0.145833333333333 0.604166666666667 0.166666666666667 0.0833333333333333 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$