2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

导入 1、小红同学解方程: (1)x2+3x-4=0,(2)x2-5x-6=0 得到方程(1)的解为 方程(2)的解为 你有什么方法可以判断这两个方程解的对不对吗? 学而优 教有方 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 初中数学 CHUZHONGSHUXUE 学而优 教有方 一、学习目标: 1、通过观察、猜想并探究得到一元二次方程的根与系数的关系. 2、不解方程能利用根与系数的关系解决一些问题. 学而优 教有方 二、新课探究 (一)探索一元二次方程的根与系数的关系 1、解下列方程并完成表格 一元二次方程 系数 两根 两根与系数的关系 a b c (1)x2+3x+2=0 (2)2x2-3x+1=0 (3)4x2-4x+1=0 学而优 教有方 2、通过上表我们猜想:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是、 ,那么根与系数会存在什么关系?你能证明你的猜想吗? 学而优 教有方 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为、 ,那么 = = 特别提示:满足这个关系有一个前提条件是:b2-4ac≥0 学而优 教有方 (二)一元二次方程的根与系数的关系的应用 例1:利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2+7x+6=0; (2)2x2-3x-2=0. 学而优 教有方 引入:小红同学解方程: (1)x2+3x-4=0,(2)x2-5x-6=0 得到方程(1)的解为 方程(2)的解为 你有什么方法可以判断这两个方程解的对不对吗? 学而优 教有方 例2:已知一元二次方程x2-6x-3=0的两个根分别是 与 , 求(1)+ (2) (3) 2+ 2 (4)2 变式:已知、 是关于方程x2+bx-3=0的两根,且满足 3 =5,求b的值. 学而优 教有方 例3:已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值. 学而优 教有方 例3:已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值. 解:设方程的两个根分别是、 ,其中=1. 所以: =1+ =6, 即: =5. 由于 =1 5= , 得:m=15. 答:方程的另一个根是5,m=15. 学而优 教有方 三、课堂检测 1、设、 为方程x2-4x+1=0的两个根,则: (1 ) = ,(2) = , (3) 2= . 2、已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值. 学而优 教有方 三、课堂检测 1、设、 为方程x2-4x+1=0的两个根,则: (1 ) = ,(2) = , (3) 2= . 2、已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值. 4 1 14 解:设方程的两个根分别是、 ,其中=2. 所以: = 2= , 即: = . 由于 =2+( )=, 得:k= 7. 答:方程的另一个根是 , k= 7. 学而优 教有方 3.若方程x2-2x-4=0的两个实数根为 , ,则 2+ 2的值为 ( ) A.12 B.10 C.4 D.-4 【解析】 ∵方程x2-2x-4=0的两个实数根为 , , ∴ + =2, =-4, ∴ 2+ 2=( + )2-2 =4+8=12. 故选A. 学而优 教有方 4.若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是 ( ) A.k>-1 B.k<0 C.-1<k<0 D.-1≤k<0 【解析】 因为方程有两个实数根,所以 =4(k+2)2-4k2≥0,解得k≥-1. 因为两个实数根之和大于-4,所以-2(k+2)>-4,解得k<0,所以-1≤k<0. 故选D. 学而优 教有方 5.已知x1,x2是一元二次方程x2+x+m=0的两个根,且x1+x2=2+x1x2,则m= . 【解析】 ∵x1,x2是一元二次方程x2+x+m=0的两个根, ∴x1+x2=-1,x1x2=m. ∵x1+x2=2+x1x2,即-1=2+m,∴m=-3. 学而优 教有方 6.已知m,n是方程x2+2x-2 021=0的两根. 求:(1)的值; (2)m2+m-n的值. 【解析】 由题意知,m,n是方程x2+2x-2 021=0的两根,则m2+2m=2 021,根据根与系数的关系,得m+n=-2,mn=-2 021. (1)=-. (2)m2+m-n=m2+2m-(m+n)=2 021-(-2)=2 023. 学而优 教有方 7.若关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有一个根为-1,则另一个根为 ( ) A.5 B.-3 C.-5 D.4 【解析】 设方程的另一个根为 ,则-1+ =4,解得 =5.故选A. 学而优 教有方 8.若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 ∵方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,b, ∴a+b=7,ab=5,则一次函数的表达式为y=5x+7, ∴该一次函数图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限. 故选D. 学而优 教有方 9.关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是( ) A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根,一个负根 D.无实数根 【解析】 方程(x-1)(x+2)=p2可化为x2+x-2-p2=0,∴ =12-4 1 (-2-p2)=9+4p2>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 根据一元二次方程的根与系数的关系可知方程的两个根的积为-2-p2, ∵-2-p2<0,∴该方程有一个正根,一个负根. 故选C. 学而优 教有方 10.若x1+x2=3,=5,则以x1,x2为根的一元二次方程可能是( ) A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 【解析】 ∵=5,∴(x1+x2)2-2x1x2=5, 又∵x1+x2=3,∴9-2x1x2=5,∴x1x2=2, ∴以x1,x2为根的一元二次方程可能为x2-3x+2=0.故选A. 学而优 教有方 11.定义新运算:a b=a(1-b).若a,b是方程x2-x+m=0(m<1)的两根,则b b-a a的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.与m有关 【解析】 由一元二次方程的根与系数的关系,得a+b=1, 所以b b-a a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=-(a-b)+(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b-1)=(a-b)(1-1)=0. 故选A. 学而优 教有方 12.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2, x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程: . 【解析】 根据题意,得2 3=c,1+5=-b,解得 b=-6,c=6, 所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0. 学而优 教有方 13.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-4=0.若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍,则m的值为 . 【解析】 设方程的两根分别为a,b,则a+b=-2m-1,ab=m2-4. 根据2a,2b是边长为5的菱形的两条对角线的长,且菱形的对角线互相垂直平分, 可得a2+b2=52=25,所以(a+b)2-2ab=(-2m-1)2-2(m2-4)=2m2+4m+9=25,解得m=-4或2. 因为a>0,b>0,所以a+b>0, 而当m=2时,a+b=-2m-1=-2 2-1=-5<0,不合题意,舍去,所以m=-4. 学而优 教有方 14.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x2,则x1(x2+x1)+的最小值为 . 【解析】 x1(x2+x1)+=x1x2+=(x1+x2)2-x1x2, 由根与系数的关系得x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2, 所以(x1+x2)2-x1x2=(-2m)2-(m2+3m-2)=3m2-3m+2=3(m-)2+. 因为方程有实数根,所以 =4m2-4(m2+3m-2)≥0,解得m≤, 所以当m=时,x1(x2+x1)+取得最小值,且最小值为. 学而优 教有方 四、课堂小结 谈谈你在这节课上的收获吧! 学而优 教有方 $$