1.2.2充分条件和必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

1．2.2　充分条件和必要条件 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 学科核心素养 1.能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断．(逻辑推理) 2．能从集合的观点理解充分条件、必要条件．(直观想象) 3．能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围．(逻辑推理) 教材要点 要点一　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q，记为：________ 由p不能推出q，记为：________ 条件 关系 p是q的____________ p不是q的____________ q是p的_____________ q不是p的___________ p⇒q 充分条件 充分条件 必要条件 必要条件 p q 状元随笔　若p⇒q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可． 要点二　充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件． p⇔q 逆命题 状元随笔　对于充要条件，要熟悉它的同义语“p是q的充要条件”可以说成“p与q是等价的”“q成立当且仅当p成立”“q成立必须且只需p成立”． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．(　　) (2)p是q的必要条件的含义是：如果p不成立，则q一定不成立．(　　) (3)p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系．(　　) (4)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　　) √ √ √ √ 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件． 3．“x＞0”是“x＞1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：∵x>0 x>1但x>1⇒x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．故选B. 4．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的__________条件． 充分不必要 解析：∵△ABC是锐角三角形说明△ABC的三个内角都是锐角．∴△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角，反之不一定． 题型探究 课堂解透 题型1　充分条件、必要条件的判断 例1　下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：平行四边形，q：正方形； (4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根． 解析：(1)∵a＋b＝0 a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件． (2)∵四边形的对角线相等 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件．   (3)由图可知B A，所以p是q的必要不充分条件． (4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－.∵m<－1⇒m<－，m<－D m<－1，∴p是q的充分不必要条件． 方法归纳 充分条件、必要条件判断方法 (1)定义法 ①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． ③根据推式及条件得出结论． (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． (3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题． 跟踪训练1　(1)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等．q：A，B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，q是p的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　) A．x＞3.5 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 答案：(1)A　(2)AC 解析： (1)设A为正方体，其棱长为2，体积为8，B为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然A，B在等高处的截面面积不相等，所以q是p的不必要条件；当A，B在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A，B的体积相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要条件．故选A. (2)∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC. 题型2　充要条件的判断 例2　(1)(多选)下列结论中，正确的有(　　) A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件 (2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： ①s是q的什么条件？ ②r是q的什么条件？ ③p是q的什么条件？ 答案：(1)AC　(2)见解析 解析：(1)A中，x2>4⇔x<－2或x>2D⇒/x3<－8，但x3<－8⇒x2>4.A正确；B中，AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2＋b2≠0⇔a，b不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数⇒x＋y为偶数，反之不一定，D不正确．故选AC. (2)①∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∴s是q的充要条件． ②由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件． ③∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p. ∴p是q的必要条件． 方法归纳 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 跟踪训练2　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 (2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分不必要条件 B．丙是甲的必要不充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙是甲的既不充分又不必要条件 D A 解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D. (2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙 丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A. 题型3　充分条件、必要条件和充要条件的证明 例3　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 方法归纳 充要条件的证明思路 (1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明． 一般地，证明“p成立的充要条件为q”； ①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； ②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求． (2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性． 跟踪训练3　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， (1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. (2)必要性(q⇒p)： 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 题型4　充分条件、必要条件和充要条件的应用 例4　设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．   解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤，由q是p的必要不充分条件，即p⇒q，q p， 即{x|0≤x≤} {x|a≤x≤a＋1}． ∴且“＝”不能同时成立， 解得－≤a≤0， 故实数a的取值范围是. 变式探究　设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解析：∵q是p的充分不必要条件 ∴q⇒p，p q ∴{x│a≤x≤a+1} {x|0≤x≤} ∴，且“＝”不能同时成立， ∴此不等式组无解． 故实数a的取值范围是∅. 方法归纳 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 跟踪训练4　集合A＝B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．   解析： A＝＝， B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2} ∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， ∴A B，∴1－m2≤. 解得m≥或m≤－. 故m的取值范围为m≤－或m≥. 易错辨析　混淆条件与结论致误 例4　使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．－＜x＜1 C．－1＜x＜2 D．0＜x＜2 解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q”⇔B A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A. 答案：A 易错警示 易错原因 纠错心得 混淆条件与结论容易得出错误答案C. 弄清此类题的条件与结论．本题条件是“选项”，结论是“ 0＜x＜2”，所以“选项”是“0＜x＜2”的真子集． 课堂十分钟 1．命题：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：B 解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得：|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件． 2．已知x∈R，则“x＜2”是“＞1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当x＝－1时，“x<2”成立，但<0 ，故“<1”，故“x<2”不是“>1”的充分条件， “>1”等价于<0⇔0<x<2，即>1能推出x<2， ∴“x<2”是“>1”的必要条件， 故“x<2”是“>1”的必要不充分条件， 故选B. 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈A”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件 答案：ACD 解析：A正确，因为“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A”“x∈A”，所以“x∈A”不是“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．故选ACD. 4．函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________. a＜－1 解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1. 5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围． 解析：由已知条件，如{x|x>m} {x|x>3或x<1}．∴m≥3.∴m的取值范围是[3，＋∞)．       $$