2.4 用因式法求解一元二次方程 课件 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

复习导入： 1.用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 的形式； 2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为 . （x+m）2=n（n≥0） 一般形式 学而优 · 教有方 2.4用因式分解法求解一元二次方程 初中数学 CHUZHONGSHUXUE 学而优 · 教有方 学习目标 1.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一些简单的数字系数的一元二次方程； 2.通过小组合作交流，能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择适当的解法，感受解决问题方法的多样性和选择性； 3.通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想. 学而优 · 教有方 问题1 因式分解的定义是什么？ 问题2 因式分解常用的方法有哪些？ 问题3 将下列各式因式分解： 1.x2+7x 2.x2-16 3.x2-4x+4 思考 学而优 · 教有方 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得 x2=3x. 小明是这样解的： 解：x2=3x两边同时约去x，得 ∴ ∴这个数是3 小明做得对吗？ 小颖是这样解的： 解：x2-3x=0 ∴ ∴这个数是0或3 小颖做得对吗？ 议一议 学而优 · 教有方 小亮是这样解的： 解：由方程x2=3x得 x2-3x=0 ∴x（x-3）=0 ∴x=0 或x-3=0 ∴ ∴这个数是0或3. 小亮做得对吗？ 如果两个因式的积等于0，那么这两个数至少有一个为0. 即：如果ab=0，那么a=0或b=0. 学而优 · 教有方 当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解. 这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法. 定义 学而优 · 教有方 用因式分解法解方程：（1）5x2=4x （2）x-2=x（x-2） 解：（1）5x2-4x=0 x（5x-4）=0 ∴x=0 或 5x-4=0 ∴， （2）x-2-x（x-2）=0 （x-2）（1-x）=0 ∴x-2=0 或 1-x=0 ∴， 探究 学而优 · 教有方 因式分解法解一元二次方程的步骤是： 1.化方程为右边等于0的形式； 2.将方程左边因式分解； 3.根据“若ab=0，则a=0或b=0”，转化为两个一元一次方程； 4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 归纳 学而优 · 教有方 想一想：你能用因式分解法解下列方程吗？ （1）x2-4=0 （2）（x+1）2-25=0 思考 解：（1）（x+2）（x-2）=0 ∴x+2=0 或 x-2=0 ∴， （2）=0 ∴x+6=0 或 x-4=0 ∴， 你是否还有其它方法来解？ 学而优 · 教有方 1. 解下列方程： （1） （2） （3） 随堂练习 学而优 · 教有方 2.一元二次方程x2=2x的根为 (　　) A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2 【解析】　 ∵x2=2x,∴x2-2x=0,∴x(x-2)=0, ∴x=0或x-2=0,解得x1=0,x2=2.故选C. 学而优 · 教有方 3.下列一元二次方程的解法中,正确的是 (　　) A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10或x-5=2,∴x1=13,x2=7 B.(2-5x)+(5x-2)2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x1=,x2= C.(x+2)2-4x2=0,∴(x+2)2=(2x)2,∴x+2=2x,∴x=2 D.方程x2=x的两边同除以x,得x=1 B 学而优 · 教有方 4.方程3x(x-1)-x+1=0的根为 (　　) A.x= B.x=1 C.x1=-1,x2=- D.x1=1,x2= 【解析】∵3x(x-1)-x+1=0,∴3x(x-1)-(x-1)=0,∴(x-1)(3x-1)=0,∴x1=1,x2=.故选D. 学而优 · 教有方 5.若用因式分解法解一元二次方程4(x+2)2-9(2x-1)2=0,首先将左端的式子用　　　　　公式分解为[2(x+2)+3(2x-1)][2(x+2)-3(2x-1)]=0,然后转化为两个一元一次方程　　　　　　　　　　　　　　　　,从而求得方程的根为　　　　　　　　　　　　.  平方差 2(x+2)+3(2x-1)=0或2(x+2)-3(2x-1)=0 x1=-, x2= 学而优 · 教有方 6.一元二次方程-x2+3x=2(x-3)的解为　　　　　　　　.  【解析】　 方程两边同时乘以-1,得x2-3x=-2(x-3),即x(x-3)+2(x-3)=0, ∴(x-3)(x+2)=0, ∴x-3=0或x+2=0, 解得x1=3,x2=-2. 学而优 · 教有方 7.用因式分解法解下列方程: (1)(3x-2)2-3x+2=0; (2)4x(2x+1)=3(2x+1); (3)(2x-1)2-(x+1)2=0; (4)(3x+1)2+4(3x+1)+4=0; (5)2(x-2)2=x2-4. 【解析】　 (1)原方程可变形为(3x-2)2-(3x-2)=0, (3x-2)(3x-2-1)=0, (3x-2)(3x-3)=0, 3x-2=0或3x-3=0, ∴x1=,x2=1. (2)原方程可变形为4x(2x+1)-3(2x+1)=0, (2x+1)(4x-3)=0, 2x+1=0或4x-3=0, ∴x1=-,x2=. 学而优 · 教有方 (3)原方程可变形为(2x-1+x+1)(2x-1-x-1)=0, 3x(x-2)=0, 3x=0或x-2=0, ∴x1=0,x2=2. (4)原方程可变形为(3x+1+2)2=0,即(3x+3)2=0, ∴x1=x2=-1. (5)原方程可变形为2(x-2)2-(x+2)(x-2)=0, (x-2)[2(x-2)-(x+2)]=0, 即(x-2)(x-6)=0, ∴x1=2,x2=6. 学而优 · 教有方 8.若关于x的方程x2-2px+3q=0的两根分别是-3和5,则多项式2x2-4px+6q可以分解为　 　 　 .  【解析】　 解法一　由题意,知x2-2px+3q=(x+3)(x-5),所以2x2-4px+6q=2(x2-2px+3q)=2(x+3)(x-5). 解法二　因为方程x2-2px+3q=0的两根分别是-3和5,所以解得 所以2x2-4px+6q=2x2-4x-30=2(x2-2x-15)=2(x+3)(x-5). 学而优 · 教有方 9.已知非零的实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)=0,则代数式x2-x+1的值为　　　　.  【解析】 原方程可变形为(x2-x)(x2-x-4)=0,则 x2-x=0或x2-x=4, 所以x2-x+1的值为1或5. 学而优 · 教有方 预习课本P52-53应用一元二次方程. 作业 学而优 · 教有方 $$