4.2指数函数16题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.2指数函数16题型分类 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一·全国·课堂例题）下列函数为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是 ． 1-4．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中是指数函数的是 (填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 2-1．（2024高一上·四川泸州·期末）已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D．2 2-2．（2024高二下·新疆巴音郭楞·期末）指数函数且图像经过点，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2-3．（2024高一下·新疆伊犁·期中）函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 2-4．（2024高一·全国·课后作业）设函数，则＝ ． 题型3：根据函数是指数函数求参数 3-1．（2024高一上·广东湛江·阶段练习）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 3-2．（2024高一·全国·专题练习）函数是指数函数，则的值为 ． 3-3．（2024高一上·安徽滁州·期末）函数是指数函数，则a的取值范围是 ． （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 4-1．（24-25高一上·全国·课后作业）某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，第五个月销售了1600台，则下列函数模型中能较好地反映销量与投放市场的月数（，）之间关系的是（    ） A． B． C． D． 4-2．（24-25高一上·全国·课后作业）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5％，后5个交易日内，平均每天下跌4.9％，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）为（    ） A．赚723元 B．赚145元 C．亏145元 D．亏723元 4-3．（24-25高一上·全国·课后作业）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）的关系式为（k，r为常数，2.71828）．若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10℃的冰箱中的保鲜时间约是多少？ （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 5-1．（2024高二·湖北·学业考试）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 5-2．（2024高一上·福建福州·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   5-3．（2024高一上·重庆涪陵·阶段练习）函数（）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高一上·山东聊城·阶段练习）函数的部分图象大致是（    ） A．B． C．D． 题型6：指数函数的图象变换 6-1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的图像与函数 的图像关于y轴对称． 6-2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若将函数的图像向右、向上分别平移1个单位得函数的图像，则原函数的表达式为 ． 6-3．（2024高三·全国·对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象． (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 6-4．（24-25高一上·上海·随堂练习）在图中画出函数的图像，说明函数的图像与图像的关系. 题型7：指数型函数过定点问题 7-1．（2024高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 7-2．（2024高一上·新疆·期中）函数且恒过定点， ． 7-3．（2024高一上·福建泉州·期中）函数且的图象恒过定点，则点坐标为 ． 题型8：指数函数图象的应用 8-1．（2024高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8-2．（2024高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 8-4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 9-1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9-2．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 9-4．（2024高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 10-1．（2024高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 10-2．（2024高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 10-3．（2024高一下·广东茂名·期中）定义运算：，则函数的值域为 ． 10-4．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 10-5．（2024高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 10-6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 10-7．（2024高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 10-8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 10-9．（2024高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 11-1．（2024高一上·山东德州·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 11-2．（2024高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 ；单调递增区间是 ． 11-3．（2024高一上·广东肇庆·期中）函数的单调递增区间为 . 11-4．（2024高一下·上海·期中）函数的严格减区间为 ． 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 12-1．（2024·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12-2．（2024高一下·浙江金华·期末）设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12-3．（2024高一上·四川成都·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ． 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 13-1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（　　） A． B． C． D． 13-2．（2024·江苏·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 13-3．（2024高一上·河南郑州·期末）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13-4．（2024高一上·浙江宁波·期中）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 14-1．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 14-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为 ． 14-3．（2024高三上·河北·学业考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 14-4．（2024高一上·四川·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14-5．（2024高一上·云南昆明·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 15-1．（2024高一上·山西太原·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 15-2．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 15-3．（2024高二下·广东广州·期末）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15-4．（2024高一下·浙江温州·开学考试）已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 15-5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，函数是奇函数，则 ． 题型16：指数函数的综合应用 16-1．（2024高一下·陕西安康·期中）已知函数（），函数为奇函数 (1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 16-2．（2024高二上·安徽·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值域． 16-3．（河北省衡水市第十三中学2024届高三上学期开学考试数学试题）已知函数（，且）是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 16-4．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数，且不等式的解集为. (1)求解析式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（    ） A．B．C．D． 2．（2024高二下·北京密云·期末）已知，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·新疆阿克苏·阶段练习）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2024高一上·全国·课后作业）函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   9．（2024高二下·辽宁·期中）的图像大致是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·河南南阳·期中）已知函数（且）的图像过定点，则（    ）． A． B． C．为R上的增函数 D．的解集为 13．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 14．（2024高二上·山西运城·阶段练习）对于函数且），，在同一直角坐标系下的图象可能为（　　） A．   B．   C．   D．   三、填空题 15．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）函数是指数函数，则有 . 16．（2024高一·全国·课后作业）函数恒过的定点坐标为 ． 17．（2024高一下·上海嘉定·开学考试）不等式的解集为 ． 18．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）不等式的解集为 . 19．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则 ． 20．（2024高一下·贵州黔东南·期末）已知指数函数的图像经过点，则 ． 21．（2024高一上·全国·课后作业）函数的定义域为 . 22．（2024高一上·全国·课后作业）函数的值域是 ． 23．（2024高一上·全国·单元测试）函数的值域为 ． 24．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值域是 ； 25．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的值域为，则a的取值范围是 ． 26．（2024高二下·北京·期末）已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 . 四、解答题 27．（2024高一上·云南昆明·期中）已知函数. (1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并写出的单调区间和值域； (2)若，求实数的取值范围. 28．（2024高一上·江西赣州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数.    (1)在平面直角坐标系中作函数的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间； (2)解不等式. 29．（2024高一上·北京顺义·期中）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若，求x的取值范围. 30．（2024高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： （1）； （2）. 31．（2024高一·全国·课前预习）求下列函数的值域； （1）； （2）； （3）. 32．（2024高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.2指数函数16题型分类 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可. 【详解】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 1-2．（2024高一·全国·课堂例题）下列函数为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，逐项判定即可求解. 【详解】根据指数函数的定义知， 可得函数不是指数函数；函数不是指数函数； 函数是指数函数；函数不是指数函数. 故选：C. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是 ． 【答案】①⑤ 【分析】根据指数函数的定义及解析式逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】因为指数函数为且，故①⑤正确； 由幂函数定义知，是幂函数，故②不正确； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是指数函数. 故答案为：①⑤. 1-4．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中是指数函数的是 (填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】③ 【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可 【详解】① 的系数不是，不是指数函数； ② 的指数不是自变量，不是指数函数； ③ 是指数函数； ④ 的底数是不是常数，不是指数函数； ⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数； ⑥ 是幂函数． 故答案为：③ （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 2-1．（2024高一上·四川泸州·期末）已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2-2．（2024高二下·新疆巴音郭楞·期末）指数函数且图像经过点，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】 先求指数函数的解析式，再求. 【详解】由题意，得，故， 故选：C 2-3．（2024高一下·新疆伊犁·期中）函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】首先代入点的坐标，求函数的解析式，再代入，求函数值. 【详解】由题意可知，，，且，得， 所以，. 故选：D 2-4．（2024高一·全国·课后作业）设函数，则＝ ． 【答案】0 【分析】根据分段函数解析式可求出结果. 【详解】由已知得， ， 所以. 故答案为：. 题型3：根据函数是指数函数求参数 3-1．（2024高一上·广东湛江·阶段练习）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 故选：D 3-2．（2024高一·全国·专题练习）函数是指数函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为函数为指数函数，则，解得. 故答案为：. 3-3．（2024高一上·安徽滁州·期末）函数是指数函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据指数函数的定义,解不等式即可. 【详解】因为是指数函数, 所以,解得: 或 即a的取值范围是. 故答案为: 【点睛】根据函数的类型求参数的值通常有两种: (1)幂函数需要保证x前面的系数为1; (2)指数函数不但要保证x前面的系数为1,还有底数大于0,底数不等于1. （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 4-1．（24-25高一上·全国·课后作业）某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，第五个月销售了1600台，则下列函数模型中能较好地反映销量与投放市场的月数（，）之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好与题中的数据相对应. 【详解】将代入函数中观察可知， 函数符合条件. 故选：C. 4-2．（24-25高一上·全国·课后作业）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5％，后5个交易日内，平均每天下跌4.9％，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）为（    ） A．赚723元 B．赚145元 C．亏145元 D．亏723元 【答案】D 【分析】根据题意知先求得前5个工作日和后5个工作日股票价值变化，再与初始投入比较即可知道盈亏情况. 【详解】由题意知第10个工作日股票剩余价值为， 所以万元，也就是亏723元. 故选：D 4-3．（24-25高一上·全国·课后作业）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）的关系式为（k，r为常数，2.71828）．若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10℃的冰箱中的保鲜时间约是多少？ 【答案】64 h． 【分析】由已知条件代入可求得和，即求得了，把10℃代入即可求得y值. 【详解】因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为（k，r为常数）， 根据题意知条件代入可求得，解之得，所以， 所以当时，． 故在10℃的冰箱中的保鲜时间约是64 h． （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 5-1．（2024高二·湖北·学业考试）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 5-2．（2024高一上·福建福州·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点， 即可解出. 【详解】由指数函数的图象可知：. 令，解得， 则， 对应只有B选项符合题意. 故选：B 5-3．（2024高一上·重庆涪陵·阶段练习）函数（）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数的性质，分和两种情况求解即可. 【详解】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合； 当 时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合． 故选：C． 5-4．（2024高一上·山东聊城·阶段练习）函数的部分图象大致是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】先求出的奇偶性，排除AC，再代入特殊值，排除D，选出正确答案. 【详解】定义域为R， 且， 故为偶函数，关于y轴对称，AC错误； ，，故B正确，D错误. 故选：B. 题型6：指数函数的图象变换 6-1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的图像与函数 的图像关于y轴对称． 【答案】 【分析】由关于y轴对称的函数图象特征可直接得到答案. 【详解】函数的图像与函数的图像关于y轴对称， 故答案为：. 6-2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若将函数的图像向右、向上分别平移1个单位得函数的图像，则原函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据函数的平移得出函数的解析式. 【详解】的图像向下平移1个单位得到, 再向左平移1个单位得到. 故答案为：. 6-3．（2024高三·全国·对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象． (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)图象见详解 (2)图象见详解 (3)图象见详解 (4)图象见详解 (5)图象见详解 (6)图象见详解 【分析】先作出函数的图象， （1）把的图象关于轴对称即可得到的图象； （2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称即可得到的图象； （3）把图象向下平移一个单位即可得到的图象； （4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折即可得到的图象； （5）把图象关于轴对称即可得到的图象； （6）把的图象向右平移一个单位得到的图象． 【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图，    （2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称得到的图象，如图，    （3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图，    （4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折得到的图象，如图，    （5）把图象关于轴对称得到的图象，如图，      （6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图，    6-4．（24-25高一上·上海·随堂练习）在图中画出函数的图像，说明函数的图像与图像的关系. 【答案】答案见解析 【分析】由图像的平移性质求解． 【详解】解：如图所示： 函数的图像向左平移1个单位，然后向下平移1个单位即为函数的图像. 题型7：指数型函数过定点问题 7-1．（2024高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】由指数函数定点求解即可. 【详解】则定点坐标为. 故答案为: . 7-2．（2024高一上·新疆·期中）函数且恒过定点， ． 【答案】 【分析】由已知，根据指数函数的性质即可求解． 【详解】令可得， 此时有. 由题意可得，， 所以，， 所以． 故答案为：． 7-3．（2024高一上·福建泉州·期中）函数且的图象恒过定点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，令，解得，代入求解即可. 【详解】令，即，则， 所以定点为， 故答案为： 题型8：指数函数图象的应用 8-1．（2024高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限. 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 8-2．（2024高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到， 将的图象向右平移1个单位得到， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点. 故选：B. 8-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 8-4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 9-1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 9-2．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得，即，解得． 故选：C. 9-3．（2024高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【答案】． 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 9-4．（2024高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R (2) (3) (4)答案见解析 【分析】根据函数有意义的条件来可求（1）（2）（3）（4）的定义域. 【详解】（1）函数在R上有意义，故函数的定义域为R. （2）函数有意义的条件是，即， 故函数的定义域为． （3）函数有意义的条件是， 又是R上增函数，于是，即， 故函数的定义域为． （4）函数有意义的条件是，即， 当时，是R上减函数， 于是，即； 当时，是R上增函数， 于是，即. 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为. 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 10-1．（2024高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 10-2．（2024高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 10-3．（2024高一下·广东茂名·期中）定义运算：，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先求解函数的解析式，再根据指数函数的性质求函数的值域. 【详解】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 10-4．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据结合指数函数性质分析求解即可. 【详解】因为，且在单调递减， 则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 10-5．（2024高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 10-6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式变形为，由指数函数的图象性质可解. 【详解】由，且， 所以，则，所以. 故答案为： 10-7．（2024高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， 当时，在上单调递减，所以时， 即时，， 因为函数的值域为， 所以时，且. 由不等式，解得 不等式等价于时，， 设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 由不等式，解得， 所以时，的解集为， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间的包含关系解不等式可得结果. 10-8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【答案】/ 【分析】首先由一次函数的单调性得，再讨论指数函数的单调性，根据最值求解参数的取值. 【详解】若函数在内是严格增函数， 则，， 若， 因为函数在区间上单调递增，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，不满足， 若， 因为函数在区间上单调递减，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，满足， 所以. 故答案为：. 10-9．（2024高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【详解】（1）因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 11-1．（2024高一上·山东德州·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性进行求解. 【详解】因为在R上单调递减， 由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间， 其中单调递减区间为， 故的单调递增区间是. 故选：D 11-2．（2024高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 ；单调递增区间是 ． 【答案】 . 【详解】试题分析:（1）（2） 试题解析： 因此它的减区间为,增区间． 【点睛】【点睛】 11-3．（2024高一上·广东肇庆·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据二次函数和指数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】令，根据二次函数的性质， 可得函数在单调递增，在单调递递减， 又由，根据指数函数的性质，可得函数为单调递减函数， 根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 11-4．（2024高一下·上海·期中）函数的严格减区间为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答. 【详解】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的严格减区间为. 故答案为： 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 12-1．（2024·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 12-2．（2024高一下·浙江金华·期末）设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为减函数，结合二次函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数在上为减函数，函数在区间上为增函数， 所以，内层函数在上为减函数，故. 故选：D. 12-3．（2024高一上·四川成都·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】本题等价于在上单调递增，对称轴， 所以，得．即实数的取值范围是． 点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题就等价于在上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案． 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 13-1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得. 【详解】因为函数在R上单调递减，， 所以， 因为函数在R为增函数，所以， 又在上单调递增，所以， 综上，. 故选：A. 13-2．（2024·江苏·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项. 【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾. 13-3．（2024高一上·河南郑州·期末）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，由幂函数的性质比较的大小，即可得答案. 【详解】解：令， 由指数函数的单调性可知在R上单调递减， 又因为， 所以， 即， 所以， 令， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又因为， 所以，所以， 即， 所以. 故选：D. 13-4．（2024高一上·浙江宁波·期中）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与幂函数单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数在R上单调递增，则， 又指数函数在R上单调递减，则. 则 故选：A. 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 14-1．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性，将转化为x2﹣8＜2x求解. 【详解】解：∵， ∴x2﹣8＜2x， 解得﹣2＜x＜4． 故选：A． 14-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性以及分段函数的性质，化简不等式得出不等式的解集. 【详解】构建函数，，可得函数单调递增， ，，则函数单调递增， 且，因此函数在上是增函数． ，， 解得，于是不等式的解集为． 故答案为：. 14-3．（2024高三上·河北·学业考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】因为，所以在上是奇函数. 因为在上是增函数，又在上是减函数， 所以在上是增函数. 所以， 所以， 所以不等式的解集是. 故选：A 14-4．（2024高一上·四川·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合分式不等式，可得答案. 【详解】由函数，则不等式可整理为， 因为在上单调递增，所以，解集为. 故选：A. 14-5．（2024高一上·云南昆明·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件得到：，再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解. 【详解】由题意得，函数， 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以是上的奇函数，即， 由，， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数，即， 整理得：，解得：或， 所以实数a的取值范围为， 故选：D. （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 15-1．（2024高一上·山西太原·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性函数的定义，直接判断各个选项即得. 【详解】对于A，函数定义域为R，，函数是奇函数，A不是； 对于B，函数定义域为R，，函数不是偶函数，B不是； 对于C，函数定义域为R，，函数不是偶函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，，函数是偶函数，D是. 故选：D 15-2．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 15-3．（2024高二下·广东广州·期末）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】当为奇函数时，结合奇函数的性质可得，由充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称， 有，即，即， 即，故有，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 15-4．（2024高一下·浙江温州·开学考试）已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性得到，结合时函数解析式，得到答案. 【详解】时，， 则， 又为偶函数，故， 故. 故选：B 15-5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，函数是奇函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据奇函数得和，代入求得，，再代入解析式检验即可. 【详解】因为函数定义域为且是奇函数，所以，所以， 所以，由知， 即，又因为，所以， 把代入，满足题意， 所以. 故答案为： 题型16：指数函数的综合应用 16-1．（2024高一下·陕西安康·期中）已知函数（），函数为奇函数 (1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，判断函数单调性，再利用单调性定义推理即得. （2）利用（1）的结论，脱去法则，转化为恒成立的不等式求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，得，即， 于是，解得， 函数在定义域上单调递增， ，且，， 由，得，则，因此， 所以函数在上单调递增. （2）由是R上的奇函数， 得， 又在上单调递增，则，对恒成立， 显然，则，即恒有，因此， 所以的取值范围为. 16-2．（2024高二上·安徽·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义求解. （2），令换元后求值域即可. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即， 所以. （2）, 令，则 ， 因为，所以， 所以的值域． 16-3．（河北省衡水市第十三中学2024届高三上学期开学考试数学试题）已知函数（，且）是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据函数是奇函数求，再代入，求； （2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为，转化为求函数的最小值问题. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以， 即，得， 所以，，得或（舍）， 综上，，； （2）由（1）知，， 则恒成立， ，， 所以，对恒成立， 即恒成立， 设，函数由外层函数和内层函数复合而成， 当，，单调递增，当，单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为， 即，则. 16-4．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数，且不等式的解集为. (1)求解析式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得，即得答案. （2）不等式在上有解，即在上的最大值，采用换元法结合基本不等式求得的最大值，即得答案. 【详解】（1）由题意知的解集为， 故方程的两个根是1和3， 故，即， 故. （2）由题意在上有解，即在上有解， ∵，∴在上的最大值， 设，则，则 又，当且仅当即时，等号成立， ∴，即实数的取值范围为. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，， 显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故AB不符合； 对于CD，因为渐近线为，故，故时，， 故选项C符合，D不符合； 当时，， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合； 故选：C 2．（2024高二下·北京密云·期末）已知，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出. 【详解】A选项，根据指数函数单调递增可知，，A选项正确； BCD选项，取，B选项变成，C选项变成，D选项变成，BCD均错误. 故选：A 3．（2024高一上·新疆阿克苏·阶段练习）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，解此不等式即可. 【详解】解：因为， 所以， 解得或， 所以不等式的解集为：. 故选：C. 4．（2024高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 6．（2024高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解. 【详解】由题意得 所以， 即， 又指数函数为上的单调减函数， 所以，解得. 故选：C. 7．（2024高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负. 【详解】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 8．（2024高一上·全国·课后作业）函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案. 【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间， 显然A，B的图象均不正确； C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合. 故选：D 9．（2024高二下·辽宁·期中）的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，即排除B，D，结合特殊值即可得出答案. 【详解】由题知，根据，，， 则，排除B，D， 当时，没有意义，排除A. 故选：C 10．（2024高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：B. 二、多选题 11．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可. 【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合. 故选：BC 12．（2024高一上·河南南阳·期中）已知函数（且）的图像过定点，则（    ）． A． B． C．为R上的增函数 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的性质，逐个选项进行判断即可得答案. 【详解】由题意可得恒成立，故，A错误， 因为根据题意，得，，所以，故B正确， ，所以，为R上的增函数，C正确； ，解得，D正确． 故选：BCD 13．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】AD 【分析】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，为指数函数； 对于B选项，不是指数函数； 对于C选项，不是指数函数； 对于D选项，当且时，且， 则（且）为指数函数. 故选：AD. 14．（2024高二上·山西运城·阶段练习）对于函数且），，在同一直角坐标系下的图象可能为（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】根据指数函数的性质，分和两种情况对各选项进行验证即可得到结论． 【详解】当a＞1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1）， 而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，对称轴x1，故A正确，B错误； 当0＜a＜1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1）， 而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，对称轴x，故D正确，C错误. 故选：AD． 三、填空题 15．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）函数是指数函数，则有 . 【答案】 【分析】利用指数函数的定义即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又且，所以. 故答案为： 16．（2024高一·全国·课后作业）函数恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质求解即可. 【详解】解：令，即时，， 所以，函数恒过的定点坐标为 故答案为： 17．（2024高一下·上海嘉定·开学考试）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先化为同底数的指数型函数，利用单调性可求答案. 【详解】原式可化为， 因为为减函数，所以，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 18．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性解原不等式，即可得解. 【详解】因为函数为上的增函数，由可得， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 19．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可. 【详解】设指数函数且， 过点，，解得：，， . 故答案为：. 20．（2024高一下·贵州黔东南·期末）已知指数函数的图像经过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】设出指数函数解析式，根据条件求出解析式，然后再计算的值. 【详解】设（，且），由于其图像经过点 ， 所以，解得或（舍去）， 因此，故 . 故答案为：. 21．（2024高一上·全国·课后作业）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围. 【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为：. 22．（2024高一上·全国·课后作业）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】由指数函数值域可求. 【详解】由函数值域为， 则函数的值域为. 故答案为： 23．（2024高一上·全国·单元测试）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性求函数在给定区间上的值域即可. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， ， 故函数值域为：， 故答案为：. 24．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 25．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的值域为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求函数出在上的值域，当时，要使函数的值域为， 则，进而可得出答案. 【详解】当时，，而函数在上单调递增， 又是增函数， 因此函数在上单调递增， ，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为， 因此， 而当时，， 必有，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 26．（2024高二下·北京·期末）已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数的图象恒过点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标 【详解】由指数函数的图象恒过点 而要得到函数的图象， 可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位. 则点平移后得到点. 则点的坐标是 故答案为： 四、解答题 27．（2024高一上·云南昆明·期中）已知函数. (1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并写出的单调区间和值域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)图象见解析，的增区间为，减区间为，值域为. (2) 【分析】（1）画出图象，然后可得答案； （2）根据图象可得答案. 【详解】（1）函数的简图如下： 由图可知，函数的增区间为，减区间为；值域为. （2）由，及函数的单调性可知， 若则实数的取值范围为. 28．（2024高一上·江西赣州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数.    (1)在平面直角坐标系中作函数的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间； (2)解不等式. 【答案】(1)作图见解析，单调减区间为和 (2) 【分析】（1）直接利用指数函数与一元二次函数图象作图即可，根据图象写出函数单调递减区间求解； （2）分段讨论解不等式，最后再求并集即可. 【详解】（1）简图如图所示：    由图可得该函数的单调减区间为和； （2）①当时，得，所以； ②当时，，解得； 综上：不等式的解集为. 29．（2024高一上·北京顺义·期中）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1) (2)图象详见解析，减区间，增区间 (3) 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据函数的解析式画出的图象，由此求得的单调区间. （3）由以及函数图象求得的取值范围. 【详解】（1）. （2），所以的图象如下图所示， 由图可知，的减区间为，增区间为 （3）， 由图象可知，满足的的取值范围是. 30．（2024高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据偶次根式被开方数非负以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域； （2）根据偶次根式被开方数非负、分母不为零以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域. 【详解】（1）由题意可得，即，又指数函数单调递增，得. 所以函数的定义域为； （2）由题意，得，得， 又指数函数单调递减，且. 所以函数的定义域为. 【点睛】本题考查指数型函数定义域的求解，涉及指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题. 31．（2024高一·全国·课前预习）求下列函数的值域； （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据指数运算的性质求出函数的定义域和值域； （2）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数运算的性质求出函数的值域； （3）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数函数的单调性求出函数的值域； 【详解】解：（1）的定义域为R，值域为. （2）由知，故的定义域为；由知，故的值域为. （3）的定义域为；由知，故的值域为. 32．（2024高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 (5)作图见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据，结合对应图象变换画出对应函数图象. 【详解】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，    （2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    （3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，    （4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    （5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$