第十三章 轴对称 讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章轴对称讲义2024-2025学年人教版八年级上册数学 【知识点梳理】 一、轴对称相关概念 1、轴对称图形:一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。 2、关于一条直线轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重叠的点是对应点,叫做对称点。 以上1与2的区别:1是一个图形,对称轴可能为一条或多条 2是两个图形,对称轴只有一条。 二、垂直平分线 定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。 三、图形轴对称的性质: 1、如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 四、线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 五、线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 六、线段垂直平分线尺规作图 已知:线段AB 求作:线段AB的垂直平分线 作法:①分别以点A和点B为圆心,大于1/2AB的长作弧,两弧相交于C、D两点; ②作直线CD; ③CD就是线段AB的垂直平分线。 七、关于坐标轴对称的坐标规律 关于谁对称谁不变,另一个变为相反数 点(x,y)关于x轴对车的点的坐标为(x,-y) 点(x,y)关于y轴对车的点的坐标为(-x,y) 【题型汇总】 【题型一、轴对称图形的认识与判断】 1.下列图形中,不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.下面4个美术字中,可以看作是轴对称图形的是( ) A.爱 B.国 C.荣 D.校 3.下列说法中,正确的个数是( ) (1)轴对称图形只有一条对称轴,(2)轴对称图形的对称轴是一条线段,(3)两个图形成轴对称,这两个图形的全等图形,(4)全等的两个图形一定成轴对称,(5)轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言. A.1 B.2 C.3 D.4 4.下列四个轴对称图形中,只有两条对称轴的是( ) A. B. C. D. 5.下列轴对称图形中,对称轴的条数四条的有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图所示的组图形中,左、右两个图形成轴对称的是第 组. 7.如果长方形的长和宽不相等,那么它有 条对称轴. 【题型二、轴对称的性质】 1如图,与关于直线对称,交于点,下列结论①;②;③中,正确的有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.如图,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,∠B=50 ,AD⊥BC,垂足为D, ADB与 ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 3.如图,点P为∠AOB内一点,分别作出P点关于OB、OA的对称点P1,P2,连接P1P2交OB于M,交OA于N,若∠AOB=40 ,则∠MPN的度数是( ) A.90 B.100 C.120 D.140 【题型三、线段垂直平分线的性质与判定】 1. 如图,C是线段AB垂直平分线上的一点,垂足为D,则下列结论正确的有( ) ①AD=BD;②AC=BC;③∠A=∠B;④∠ACD=∠BCD;⑤∠ADC=∠BDC=90 . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图,在 ABC中,的垂直平分线与边分别交于点.已知 ABC与 BCE的周长分别为和,则的长为( ) A. B. C. D. 3.如图,在 ABC中,DE垂直平分BC交AB于点E,若BD=5, ABC的周长为31,则 ACE的周长为( ) A.18 B.21 C.26 D.28 4.如图,在 ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,且 AEG的周长是20,则线段BC的长为( ) A.40 B.20 C.15 D.10 5.如图, ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,若∠BAC=100 ,则∠EAG的度数是( ) A.10 B.20 C.30 D.40 6. 如图,AC= AD,BC =BD,则下列判断正确的是( ) A. AB垂直平分CD B. CD垂直平分AB C. AB与CD互相垂直平分 D. CD平分∠ACB 7.如图,在 ABC中,线段AC的垂直平分线和线段BC的垂直平分线分别与边AB交于点M,N(M在N的左边),设∠ACB= ,则∠MCN的大小可以用含 的式子表示为( ) A.90 + B.180 ﹣2 C.2 ﹣180 D.270 ﹣3 8.如图,点是内部一点,且,,连接,则和AB的位置关系是_ _. 9.已知:如图∠ABC=∠ACB,AD平分∠BAC,点P在直线AD上,求证:PB=PC. 10.如图,是 ABC的角平分线,,垂足分别是,连接与相交于点.求证:是的垂直平分线. 11. 如图, ABC中,∠ACB=90 ,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E. (1)若∠BAC=50 ,求∠EDA的度数; (2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线. 【题型四、垂直平分线尺规作图】 1. 已知:如图,∠AOB及M、N两点.请你在∠AOB内部找一点P,使它到角的两边和到点M、N的距离分别相等(保留作图痕迹). 2.如图,在 ABC中,∠B=30 ,∠C=40 . (1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线交BC于点D; ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求:保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数. 【题型五、坐标与轴对称】 1.在平面直角坐标系中,点P(3,4)关于y轴对称点的坐标为( ) A.(﹣3,4) B.(3,4) C.(﹣3,﹣4) D.(4,﹣3) 2.在平面直角坐标系xOy中,已知点P在x轴下方,在y轴右侧,且点P到x轴的距离为1,到y轴点距离为3,则点P关于y轴的对称点的坐标为( ) A.(3,﹣1) B.(﹣3,﹣1) C.(3,1) D.(﹣3,1) 3.如果点P(m,﹣2,)和点Q(﹣3,n)关于x轴对称,则m+n的值是( ) A.﹣1 B.1 C.﹣5 D.5 4.点P1(a﹣1,2)和P2(3,b﹣1)关于x轴对称,则(a+b)2021的值为( ) A.﹣32021 B.1 C.32021 D.52021 5.在平面直角坐标系中,将点A(﹣3,﹣2)向右平移5个单位长度得到点B,则点B关于y轴对称点B′的坐标为( ) A.(2,2) B.(﹣2,2) C.(﹣2,﹣2) D.(2,﹣2) 6.在平面直角坐标系中,把点P首先向左平移7个单位,再向上平移5个单位得到点M,作点M关于Y轴的对称点N,已知N的坐标是(5,1),那么P点坐标是( ) A.(2,﹣4) B.(6,﹣4) C.(6,﹣1) D.(2,﹣1) 7.如果点A(m+2,m﹣1)在x轴上,那么点B(m+3,m﹣2)关于x轴的对称点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.已知点P关于x轴对称的点的坐标是(﹣5,﹣4),则点P关于y轴对称的点的坐标是( ) A.(﹣5,4) B.(﹣5,﹣4) C.(5,4) D.(5,﹣4) 9.若点A(m﹣n,m﹣2n)与点B(m﹣3n,1m)关于y轴对称,则点P(m,n)所在象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.已知点P(a,2﹣a)关于x轴对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 11.已知点P(a+1,2a﹣3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的最大整数解是 . 12.点P(m+2,n)向右平移两个单位后得到的点和点Q(n﹣1,2m+1)关于y轴对称,则m+n= . 13.在平面直角坐标系上,已知点A关于直线x=1对称的点为B(﹣2,4),则点A的坐标为( ) A.(4,4) B.(﹣2,﹣2) C.(2,4) D.(3,4) 14.已知P(﹣1,﹣2),则点P关于直线y=1的对称点的坐标是 . 15.如果点P(x,y)关于直线x=2的对称点是(﹣3,4),那么P点的坐标是 16.点A(a,5),B(3,b)关于直线x=1对称,则a+b= . 17.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(3,﹣8),作点A关于x轴的对称点,得到点A′再作点A′关于y轴的对称点,得到点A″的坐标为 . 18.在坐标平面上有一个轴对称图形,其中A(3,)和B(3,)是图形上的一对对称点,若此图形上另有一点C(﹣2,﹣9),则C点对称点的坐标是 . 【题型六、轴对称画图】 1.如图,已知的三个顶点的坐标分别为, , . (1)画出关于轴对称的(点与点是对称点,点与点是对称点); (2)点B关于y轴对称的点的坐标为 ,点关于直线对称的点的坐标为 ; (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为 ,点关于直线对称的点的坐标为 . 2.如图,四边形在平面直角坐标系中,点A坐标为: (1)画出四边形关于x轴对称的四边形 (2)画出四边形关于y轴对称的四边形 ,并写出的点坐标. (3)求出四边形的面积. 【知识点梳理】 八、等腰三角形 1、定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。 2、等腰三角形的性质: ①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(简写成“三线合一”) 3、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成”等角对等边“) 【题型汇总】 【题型七、等腰三角形】 1.下列说法:①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等;②底边相等的两个等腰三角形全等;③腰长相等且有一个角是的两个等腰三角形全等;④等腰三角形的对称轴是底边中线;其中说法正确的有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.等腰三角形的两边长分别为6和14,则这个等腰三角形的底边长是( ) A.6 B.6或14 C.14 D.34 3.等腰三角形的一个内角为120 ,则底角的度数为( ) A.30 B.40 C.60 D.120 4.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=46 ,CD⊥AB于D,则∠DCB等于( ) A.33 B.30 C.26 D.23 5.等腰三角形的一个内角为70 ,则这个等腰三角形的顶角为 . 6.若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128 ,则这个等腰三角形的顶角的度数是 . 7.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 ,则此三角形顶角度数为 . 8.如图,∠ABC=50 ,BD平分∠ABC,过D作DE∥AB交BC于点E,若点F在AB上,且满足DF=DE,则∠DFB的度数为( ) A.25 B.130 C.50 或130 D.25 或130 9.如图,在 ABC中,AB=AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N,则 AMN的周长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 10.如图,∠B、∠C的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是① BDF、 CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③ ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.( ) A.③④ B.①② C.①②③ D.②③④ 11.如图,平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上.则这样的P点有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 12.如图,在 ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=20 , 则∠C的度数是( ) A.20 B.45 C.60 D.70 13下列条件中,不能判定是等腰三角形的是( ) A. B. C. , D. 14.如图, ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以下结论:(1) ABD≌ ACD ;(2)AD⊥BC;(3)∠B=∠C ;(4)AD是 ABC的角平分线.其中正确的有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.已知:如图,∠EAC是 ABC的外角,AD平分∠EAC,且AD∥BC,求证:AB=AC. 16.如图,在中,,D是边上的中点,连接平分交于点E. (1)过点E作交于点F,求证:. (2)若,求的度数. 【知识点梳理】 八、等边三角形 1、性质:①等边三角形各边都相等;②等边三角形各角都相等,并且都等于 60 。 2、判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 。 1.如图,在等边 ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为( ) A.3 B.4.5 C.6 D.7.5 2.如图,将边长相等的正五边形和等边三角形的一边重合,则的度数为( ) A. B. C. D. 3.(2023秋•沛县月考)在等边 ABC中,BM是AC边上的中线,N为BC的延长线上的一点,且CN=CM,则∠BMN的度数是 . 4.(2023秋•天宁区期中)如图, ABC与 BDE均为等边三角形,点D在AC边上,若∠CDE=32 ,则∠CBD的度数为 . 5.如图,等边中,D在上,E在上,,连、交于F,T在上,且,,,则 . 6.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,∠ABD=60 ,∠ADB=75 ,∠BDC=30 ,则∠DBC=( ) A.15 B.18 C.20 D.25 7.如图,在 ABC中,AC=BC,∠ACB=120 ,CE⊥AB于点D,且DE=DC.求证: CEB为等边三角形. 8. 已知如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.且BE∥AC.求证: ABC是等边三角形. 9.如图,在 ABC中,AB=AC,D、E是 ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60 ,若BE=4cm,DE=3cm,求BC的长. 10. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,∠A=60 . 求证: ABD是等边三角形. 11.如图,在中,,为边的中点,于点,于点,.求证:是等边三角形. 12.如图,在中,,,为边上一点,交于点,且,连接,.请判断与的数量关系,并说明理由. 13.如图已知等边和等边,点在的延长线上,的延长线交于点,连接.求证: (1); (2)平分; (3). 九、特殊直角三角形 含 30 的直角三角形中,30 角所对的边等于斜边一半。 1.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠A=60 ,CD是斜边AB上的高,若AD=3cm,则斜边AB的长为( ) A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 2.如图,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,∠B=30 ,AD⊥BC.则下列等式成立的是( ) A.BD=3DC B.AD=2DC C.AB=4DC D.BD=2AC 3.如图,在 ABC中,∠C=90 ,∠A=15 ,∠DBC=60 ,BC=1,则AD的长为( ) A.1.5 B.2 C.3 D.4 4.如图,CD是Rt ABC的高,∠ACB=90 ,∠A=30 .AB=8,则BC的长是 ,BD的长是 . 5. 等腰三角形的顶角是底角的4倍,如果腰长为10cm,那么底边上的高为 . 6. 如图,在中,,CE垂直平分线段AD于点E,且CD平分,,则( ) A.10cm B.16cm C.24cm D.30cm 7.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,∠A=30 ,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E,连接CD. (1)求证: BCD是等边三角形; (2)若AE=2,求CE的长. 8. 如图,在等边 ABC中,D是AB边的中点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F,过点F作FH⊥BC,垂足为点H,若 ABC的边长为8,求BH的长. 十、最短路径问题 常见模型: 1、 两定一动型 (异侧)A、B为定点,在直线l上求一点P,使PA+PB值最小 (同侧)A、B为定点,在直线l上求一点P,使PA+PB值最小 2、 两动一定型 在直线l1、l2上分别求点M、N,使 PMN周长最小 3、 两定两动型 1、 在直线l1、l2上分别求点M、N,使四边形PQMN周长最小 4、 线段和差型 1、 在直线l上求一点P,使的值最小 2、 (同侧)在直线l上求一点P,使的值最大 3、(异侧)在直线l上求一点P,使的值最小 5、 垂线段最短型 1、在直线l1上找一点M,l2上找一点N,使PM+MN的值最小 P l1 l2 3、 在直线l1上找一点M,l2上找一点N,当P在l2时,使PM+MN得值最小 l1 l2 P “造桥选址”类将军饮马模型: 村庄A和村庄B位于一条小河的两侧,若河岸彼此平行,要架设一座与河岸垂直的桥,桥址应该如何选择, 构造平行四边形AA`NM,则AM转化为A`N,之后再依据两点之间线段最短,连接A`B即为A、B之间陆地距离的最小值 【例1】如图,Rt ABC中,∠C=90 ,点D为AB上一点,DE//CB,交AC于点E,点P是EC上的一个动点,要使PD+PB最小,则点P应该满足( ) A.PB=PD B.PC=PE C.∠BPD=90 D.∠CPB=∠DPE 【练习1】如图,在正方形网格图中,每个小正方形的边长都为1,的顶点都在格点上. (1)求的面积. (2)在图中作出关于直线的对称图形. (3)利用网格图,在上找一点P,使得的距离最短.(只需保留作图痕迹,不必写作法) 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共21页 学科网(北京)股份有限公司 【例2】如图,等腰 ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则 CMD周长的最小值为_. 【例3】如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,∠A=30 ,BC=1,P为 ABC内一点,AP=1,M、N分别为AB、AC边上的两动点,则 PMN周长的最小值为_. 【例4】如图,在 ABC中,AB=AC,AD、BE分别是底边BC和腰AC上的中线,点P为AD上一动点,则PE+PC的最小值等于( ) A.线段AB的长 B.线段BC的长 C.线段AD的长 D.线段DE的长 【例5】如图,等腰 ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若点D为底边BC的中点,点M为线段EF上一动点,则 BDM的周长最小值为_. 【例6】如图,等边 ABC的边长为3,过点B的直线l⊥AB,且 ABC与 A’BC’关于直线l对称,D为线段BC’上一动点,则AC+CD的最小值是_. 【例7】如图,在 ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M,AB=12cm, BMC的周长是20cm,若点P在直线MN上,则PA-PB的最大值为_. 【例8】如图,在 ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,E分式BC的垂直平分线,点P是EF上的动点,则的最大值为_. 【例9】在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC最短,请作出此时的图形. 24 学科网(北京)股份有限公司 $$