精品解析：浙江省金华市兰溪市外国语中学2022-2023学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级数学独立作业卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列垃圾分类的图标（不含文字与字母部分）中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（       ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 3. 若，则下列各式正确的是是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ） A. 两个角分别为， B. 两个角分别为， C. 两个角分别为， D. 两个角分别为， 5. 已知点A的坐标为，下列说法正确的是（　　） A. 若点A在y轴上，则 B. 若点A在一三象限角平分线上，则 C. 若点A到x轴的距离是3，则 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为 6. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a＝32，b＝42，c＝52 B. a＝b，∠C＝45° C. ∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D. a＝，b＝，c＝2 7. 如图，，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E，F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若，则的大小为（ ）度． A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 8. 如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成了一个正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长，有下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②④ 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A. 2S1+S2+S3 B. 2S2+2S3 C. 3S1 D. S1+S2+S3 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是________． 12. 若点M（a﹣4，7﹣a）是第二象限的点，且到x轴的距离为5，则a的值是 _____． 13. 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少，则顶角度数为______． 14. 如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，点D在OB上，DH⊥OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为_____． 15. 如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为__． 16. 如图，已知中，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为___________． 三、解答题（共7小题，共66分） 17. （1）解不等式 （2）解不等式组： 18. 已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长． 19. 在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD． （1）求证：； （2）若，则的度数为 ． 20. 如图，正方形网格中，每一格表示1个单位长度． （1）请直接写出点A的坐标； （2）在所给网格中确定一点D（不与点C重合），使得与全等，请直接写出点D所有可能的坐标； （3）在所给网格中确定一个格点P，使得，请直接写出点P所有可能的坐标； （4）用一块没有刻度的直尺，作出的高，请保留作图痕迹，不写作法． 21. 在抗击新冠疫情期间，防护口罩出现热销，某药店出售一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个． （1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？ （2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于18个，且不超过34个：①有哪几种购买方案？ ②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？ 22. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级开心点”为，即． （1）若点P的坐标为，则点P的“3级开心点”的坐标为 （2）若点P的“2级开心点”是点，求点P的坐标 ； （3）若点的“级开心点”位于坐标轴上，求点的坐标． 23. 在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ（△表示三角形）面积等于k（即），则称点M为线段PQ的“k值面积点”，例如：对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ面积等于2（即），则称点M为线段PQ的“2值面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为． （1）在点中，线段OP的“1值面积点”是___________； （2）已知点，当线段DE上存在线段OP的“5值面积点”时，求t的取值范围； （3）已知点，且a，b满足，点M，N是线段GH的两个“4值面积点”，点M的纵坐标是5，若，且MNGH，直接写出点N的坐标． 24. （1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学独立作业卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列垃圾分类的图标（不含文字与字母部分）中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 2. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（       ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰为3时和当腰为7时，根据三角形两边之和大于第三边，判断哪种情况成立，从而计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边分别为3和7， ∴可能情况：①腰为3，底为7；②腰为7，底为3； 对于①：因为，不满足三角形三边关系，舍去； 对于②：因为，满足三角形三边关系； 故周长为， 故选：C． 3. 若，则下列各式正确的是是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】A．∵，∴，故本项错误； B．当，有，故本项错误； C．∵，∴，故本项正确； D．∵，∴，故本项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键． 不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若，那么；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若，且，那么或；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若，且，那么或； 4. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ） A. 两个角分别为， B. 两个角分别为， C. 两个角分别为， D. 两个角分别为， 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角的概念判断即可． 【详解】解：当两个角分别为，时，这两个角都是锐角，和为，是直角， 则命题“两个锐角的和是锐角”是假命题， 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5. 已知点A的坐标为，下列说法正确的是（　　） A. 若点A在y轴上，则 B. 若点A在一三象限角平分线上，则 C. 若点A到x轴的距离是3，则 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为 【答案】B 【解析】 【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论． 【详解】解：A、若点A在y轴上，则，解得，故本选项错误； B、若点A在一三象限角平分线上，则，解得，故本选项正确； C、若点A到x轴的距离是3，则，解得或0，故本选项错误； D、若点A在第四象限，则，且，解得，故a的值不可以为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0． 6. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a＝32，b＝42，c＝52 B. a＝b，∠C＝45° C. ∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D. a＝，b＝，c＝2 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理及直角三角形的定义即可求解． 【详解】解：A、∵，，∴，不是直角三角形，故A不符合题意； B、 a＝b，∠C＝45°∴∠A=∠B=，不是直角三角形，故B不符合题意； C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，解得∠C=180°×，不是直角三角形，故C不符合题意； D、 ∵，∴是直角三角形，∠B是直角，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和等知识，掌握相关知识是解题关键． 7. 如图，，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E，F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若，则的大小为（ ）度． A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出∠ABH=∠DHB，结合角平分线的性质得出∠DHB=∠DBH，再利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：由题意可知：BG是∠ABD的角平分线 ∴∠ABH=∠DBH ∵ ∴∠ABH=∠DHB ∴∠DHB=∠DBH ∵ ∴∠DHB=（180°-116°）÷2=32° 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的性质、尺规作已知角的角平分线、等腰三角形、三角形的内角和，熟练进行角的转换是关键． 8. 如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成了一个正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长，有下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 根据直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：①∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故本选项正确； ②由图可知，，故本选项正确； ③由可得①， 又∵②， ∴得，， 整理得，， ，故本选项错误； ④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即；故本选项正确． ∴正确结论有①②④． 故选：D． 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A. 2S1+S2+S3 B. 2S2+2S3 C. 3S1 D. S1+S2+S3 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， 故答案为：3． 12. 若点M（a﹣4，7﹣a）是第二象限的点，且到x轴的距离为5，则a的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据点M（a﹣4，7﹣a）是第二象限的点，可得到关于a的不等式组，可得a＜4，再由点M到x轴的距离为5，即可求解． 【详解】解：∵点M（a﹣4，7﹣a）是第二象限的点， ∴，解得∶a＜4， ∵点M到x轴的距离为5， ∴|7﹣a|=5， 解得a=2或9（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内个象限内点的坐标的特征，点到坐标轴的距离，解一元一次不等式组，熟练掌握平面直角坐标系内个象限内点的坐标的特征，点到坐标轴的距离是解题的关键． 13. 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少，则顶角度数为______． 【答案】44°或80°或140° 【解析】 【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°， ①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°， 解得x=44°， 所以，顶角是44°； ②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°， 解得x=50°， 所以，顶角是2×50°-20°=80°； ③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°， 解得x=20°， 所以，顶角是180°-20°×2=140°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°． 故答案为：44°或80°或140°． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 14. 如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，点D在OB上，DH⊥OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作PE⊥OB，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：作PE⊥OB于E， ∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PM＝3， S△ODP＝×OP×DH＝×OD×PE， ∴×7×DH＝×4×3， 解得，DH＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 15. 如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作于点，可证明，得，，则，求得，由，得，由，求得线段的最小值为，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，已知中，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长． 【详解】解：分两种情况： 如图， 当时，是直角三角形， 在中，， ， 由折叠可得，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图， 当时，是直角三角形， 由题可得，， ， ， 又， ， 过作于，则， ， 由折叠可得，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题（共7小题，共66分） 17. （1）解不等式 （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握求解不等式及不等式组的解题方法是解题的关键． （1）按移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长． 【答案】17 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件可得，解不等式可得a的值，进而可得b的值，然后再分两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：a=3， 则b=7， 若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形． 若c=b=7，此时周长为17． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的性质，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 19. 在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD． （1）求证：； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由HL证明即可； （2）由全等三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴AD＝CD， ∴是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°， ∴∠CED＝90°﹣23°＝67°， ∴∠B＝∠CED＝67°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质． 20. 如图，正方形网格中，每一格表示1个单位长度． （1）请直接写出点A的坐标； （2）在所给网格中确定一点D（不与点C重合），使得与全等，请直接写出点D所有可能的坐标； （3）在所给网格中确定一个格点P，使得，请直接写出点P所有可能的坐标； （4）用一块没有刻度的直尺，作出的高，请保留作图痕迹，不写作法． 【答案】（1） （2），， （3）满足条件的点P的坐标为或或或或或 （4） 如图，线段即为所求作． 【解析】 【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可． （2）根据全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想作出满足条件的点即可． （3）利用数形结合的思想作出满足条件的点即可． （4）利用数形结合的思想解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，． 【小问2详解】 解：如图，，，． 【小问3详解】 解：如图，满足条件的点的坐标为或或或或或． 【小问4详解】 解：略． 【点睛】本题考查作图复杂作图，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 在抗击新冠疫情期间，防护口罩出现热销，某药店出售一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个． （1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？ （2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于18个，且不超过34个：①有哪几种购买方案？ ②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？ 【答案】（1）儿童口罩每包2个，成人口罩每包10个； （2）①方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包；方案三：购买儿童口罩4包，则购买成人口罩1包．②方案三的总费用最少． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意，找出数量关系列方程组和不等式组是解题关键． （1）设儿童口罩每包个，成人口罩每包个，根据“3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个”列二元一次方程组求解即可； （2）①设购进儿童口罩包，则购买成人口罩包，根据“口罩总数量不低于18个，且不超过34个”列一元一次不等式组求解即可； ②分别求出三个方案的费用，比较即可． 【小问1详解】 解：设儿童口罩每包个，成人口罩每包个， 由题意可知，，解得：， 答：儿童口罩每包个，成人口罩每包个； 【小问2详解】 解：①设购进儿童口罩包，则购买成人口罩包， 由题意得：，解得：， 为正整数， 的取值有2、3、4， 即有三种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包；方案三：购买儿童口罩4包，则购买成人口罩1包； ②方案一：购买儿童口罩2包，购买成人口罩3包, 总费用为：（元）； 方案二：购买儿童口罩3包，购买成人口罩2包， 总费用为：（元）； 方案三：购买儿童口罩4包，则购买成人口罩1包， 总费用为：（元）； 即方案三的总费用最少． 22. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级开心点”为，即． （1）若点P的坐标为，则点P的“3级开心点”的坐标为 （2）若点P的“2级开心点”是点，求点P的坐标 ； （3）若点的“级开心点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“a级开心点”的定义计算即可； （2）先设出，按照题意列出方程组，然后解方程组即可得解； （3）先根据题意用含的代数式表示出点的坐标，位于坐标轴上，分在纵坐标轴和横坐标轴两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，点P的坐标为 即点P的“3级开心点”的坐标为 【小问2详解】 解：设 则点P的“2级开心点是 即 解得 ∴点P的坐标为 【小问3详解】 解：点的“级开心点”的坐标为 ∵位于坐标轴上 ∴或 即，或 当时，的坐标为 当时，的坐标为 ∴的坐标为或 【点睛】此题主要考查坐标的求解，解题的关键是熟知“级开心点”的定义，列出方程求解． 23. 在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ（△表示三角形）面积等于k（即），则称点M为线段PQ的“k值面积点”，例如：对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ面积等于2（即），则称点M为线段PQ的“2值面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为． （1）在点中，线段OP的“1值面积点”是___________； （2）已知点，当线段DE上存在线段OP的“5值面积点”时，求t的取值范围； （3）已知点，且a，b满足，点M，N是线段GH的两个“4值面积点”，点M的纵坐标是5，若，且MNGH，直接写出点N的坐标． 【答案】（1）A （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据“1值面积点”的定义判断即可； （2）根据“5值面积点”的定义得到该点到OP的距离等于5，由此可解； （3）根据推出，，再由M，N是线段GH的两个“4值面积点”推出点M、N到GH的距离，然后分MN在直线GH的左边和MN在直线GH的右边两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ×2×2=1， ×2×4=4， ∴点A是线段OP的“1值面积点”， 故答案为：A； 【小问2详解】 解：①当三角形在x轴上方时 ②当三角形在x轴下方时 综上所述：或 【小问3详解】 解： 得：， ∴， ∵M，N是线段GH的两个“4值面积点”， ∴，d表示点M、N到GH的距离． ∴． ∵MNGH， ∴点M、N在同一竖线上． ①当MN在直线GH的左边时，如下图所示： ∵，， ∴点MN的横坐标为， 又∵点M的纵坐标是5，设N， ∴ 解得：或 ∴或； ②当MN在直线GH的右边时，如下图所示： ∵，， ∴点MN的横坐标为， 又∵点M的纵坐标是5，设N， ∴ 解得：或 ∴或； 综上所述：点N的坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“k值面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、分类讨论等知识，审清题意和分类讨论是解题的关键． 24. （1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）的延长线上，；（2）①，理由见解析；②4；（3）最大值为；． 【解析】 【分析】（1）根据点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （2）①根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； ②根据点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，证明，得到，由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点，易证是等腰直角三角形，得到，，即可求出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【详解】（1）解：当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 故答案为：的延长线上，； （2）解：①，理由如下： 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②由（1）可知，当点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 是等边三角形， ， ，即线段的长的最大值为4， 长的最大值4； （3）解：如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可知，，， 是等腰直角三角形， ，， 点A的坐标为点B的坐标， ， ， 即线段长的最大值为， ， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $