河南省南阳市内乡县高级中学2024届高三下学期数学限时训练

高三数学限时训练 （适用范围：高中数学全部内容） 一、单选题 1．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若存在，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 5．数列满足，前12项和为164，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 8．如图，，分别为双曲线的左、右焦点，过坐标原点O的直线与双曲线M交于A，B两点，，直线与双曲线M的另一个交点为C，若是以BC为底边的等腰三角形，则双曲线M的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 10．某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会获得奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关，则（    ） A．该技术难题被攻克的概率为： B．在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组获得奖励的概率为 C．在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为 D．在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率最大 三、填空题 11．在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是 12． 已知函数，，，且，恒有，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 13．在中，内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积的最大值. 14．已知数列满足，且（，且）． (1)设，求证数列是等差数列． (2)记，求数列的前项和． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学限时训练参考答案 （适用范围：高中数学全部内容） 1．D 令，则当时，， 故，解得.所以实数的取值范围是. 2．A 由可得，故虚部为， 3．D 令，，则或， 令，，则， 又，， 所以，， 因为， 所以，， . 4．A 因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 5．C 因为，所以， ， 因为前12项和为164，所以， 所以，即，解得. 6．A 因为平面平面，，， 所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示： 则四面体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为， 所以直三棱柱的外接球的半径， 则球的表面积， 7．D 因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 8．D 易知点A在双曲线M的右支上，， 不妨设，，则， 由，得，所以， 则， ， 因为是以为底边的等腰三角形，所以， 连接，则，所以， 在中，由，得， 化简得，所以，， 所以，化简得， 所以双曲线M的离心率. 9．ABD 对于A，令，可得，故A正确； 对于B，令，可得，又， 所以，故B正确； 对于C，因为， 展开式的通项公式为，所以， 所以， 令，则， 故，故C错误； 对于D，因为 ， 所以， 令，可得，故D正确. 10．BD 记甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题分别为事件A，B，C， 对于A项，记该技术难题被攻克为事件M，则，故A项错误； 对于B项，记恰有一个小组获得奖励为事件R，则． 由A项知，记技术难题被攻克为事件M，则， 在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组受到奖励的概率为，故B项正确； 对于C项，在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为，故C项错误； 对于D项，记恰有两个小组获得奖励为事件N，则 ． 在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率为，这两个小组是甲和乙的概率为，这两个小组是甲和丙的概率为，故D项正确． 11．1920 【详解】如图， 设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A.种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择，则区域E可选择的花卉有4种，故不同的种植方法种数是：. 12． 因为，设，可得，因为，且，恒有， 即在上恒成立， 可得函数在单调递增， 即在上恒成立，即在上恒成立， 设，可得， 当时，可得，单调递增； 当时，可得，单调递减， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，故实数的取值范围. 13．【详解】（1）由，知，从而. 再由正弦定理得，即. 从而，再由余弦定理得，所以，即，故. （2）一方面，由，知，所以. 故而 ， 所以，等号成立当且仅当， 从而.综上，的面积的最大值是. 14．【详解】（1）证明：因为，则， 则，即； 故数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可知，，即，解得； 则， 故 即， ， 故 ， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$