第二十一章一元二次方程知识点详解及天津市常考题型分类汇总2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章一元二次方程知识点详解 及天津市常考题型分类汇总 ※【考点一】一元二次方程概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 1．（部分区2024期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（河东区2024期中）下列方程一定不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3.是一元二次方程，则实数a的值为_______. ※【考点二】一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）， 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项． 1．（红桥区2023期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． ※【考点三】一元二次方程的解 1．（南开区2023期中）已知是方程的一个根，则实数c的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 2.．（河东区2024期中）已知方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 3.关于x的一元二次方程的一个根为 0，则实数a的值为_______. ※【考点四】由一元二次方程的解求代数式的值 1．（南开区2024期中）若是关x的方程的解，则的值为 ． 2.．（耀华2022期中）若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2021 B．2019 C．﹣2021 D．4042 ※【考点五】解一元二次方程 1、 直接开平方法 如果方程化成x2＝P的形式，那么可得。如果方程能化成的形式，那么可得，进而得出方程的根 1.（河西区2024期中）方程的根是 ． 2.（和平区2024期中）若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为 ． 3.（南开区2023期中） 4.（南开区2024期中） 2、配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为（x+a）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果p≤0，则原方程无解． 1．（红桥区2023期中）一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（   ） A． B． C． D． 2.（一中2022期中）用配方法解方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 4．（河西区2023期中） 5.（部分区2024期中）． 6. 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式ax2＋bx+c=0，确定a、b、c的值（注意符号）； （2）求出判别式的值，判断根的情况； （3）在的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根． 1．（和平区2021期中）若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（    ） A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m 2.（南开区2024期中） 3.（河东区2024期中）4x2﹣6x﹣3=0 4.（河北区2024期中）解方程：． 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如： 1．（和平区2023期中）写出下列一元二次方程的根 ． 2．（红桥区2023期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（   ） A． B． C． D． 3．（河西区2024期中）解方程：；4．（部分区2023期中） 5．（东丽区2024期中） 6．（河西区2024期中）： 7.（南开区2023期中） 8. 9. 5.换元法 1. 2. ※【考点六】根的判别式 一般地，式子 b2－4ac 叫做方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2 －4ac. ①当△＝b2－4ac＞0 时，有两个不相等的实数根，反过来亦成立； ②当△＝b2－4ac＝0 时，有两个相等的实数根，反过来亦成立； ③当△＝b2－4ac＜0 时，没有实数根，反过来亦成立． 1．（河西区2023期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的取值为（　　） A． B． C． D． 2．（一中2022期中）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，则m的取值范围是（    ） A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m≥﹣ D．m≤﹣ 3．（南开区2023期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． ※【考点七】根与系数的关系 根与系数的关系（△≥0）：即ax2＋bx+c=0的两根为x1、x2，则，． 1．（和平区2024期中）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．3 2．（红桥区2023期中）方程的两个实数根的和与积分别是（   ） A．，6 B．，6 C．4， D．，6 3.．（红桥区2023期中）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 4．（红桥区2024期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．10 5.．（红桥区2024期中）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 6.．（东丽区2024期中）如果一元二次方程的两根为、，则的值等于（    ） A．-6 B．6 C．-5 D．5 7.．（南开区2024期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 8．（南开区2023期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的两个实数根，，满足，求k的值． 9．（南开区2024期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． ※【考点八】根据实际问题列一元二次方程 1．传播问题： 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 2．树分支问题： 某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为 ． 3．发短信问题： 10月7日到校前，小童收到学校的一条短信通知并转发给若干个同学，每个收到短信的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有人，小童给 个同学发了短信． 4．打比赛问题： ①某校九年级举行班际篮球赛，若采取双循环赛制（即每两个班之间都进行两场比赛），则要赛30场，设九年级共有个班，列方程得 ． ②某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排21场比赛，则参赛队数为 个. 5．送卡片问题： 某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有 人． 6．握手问题： 参加宴会的人两两彼此握手，在某次宴会中，出席宴会的人一共握了次手，那么出席这次宴会的人数是 人． 7．增长率问题： ①某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 ． ②某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 8．面积问题 如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为9m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为；③菜园ABCD面积的最大值为．其中，正确结论的序号是 ． 9.如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路，把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为570平方米，若设小路宽x米则可列方程 ． 10．利润问题： 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程 ． 【真题精选】 1．（南开区2024期中）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（一中2022期中）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（    ） A．125（1﹣x）2＝80 B．80（1﹣x）2＝125 C．125（1+x）2＝80 D．125（1﹣x2）＝80 3．（南开区2023期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（一中2022期中）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛场，共有 个队参加比赛． 5．（河北区2024期中）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（    ） A．=930 B．=930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930 6．（和平区2024期中）如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？ 若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（和平区2023期中）如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？ 8．（河东区2024期中）如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30 m． (1)若花圃的面积为100 ，求花圃一边AB的长； (2)花圃的面积能达到120 吗? 说明理由． 9．（一中2022期中）一个矩形周长为56厘米． （1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？ （2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由． 10．（部分区2023期中）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ 11、西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克．另外，每天的房租等固定成本共 24 元．该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元? 学科网（北京）股份有限公司 $$