精品解析：4.4探索三角形相似的条件 同步训练题 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》 同步训练题（附答案） 一、单选题 1. 下列判断中，正确的是（ ） A. 各有一个角是 的两个等腰三角形相似 B. 邻边之比为 的两个等腰三角形相似 C. 各有一个角是 的两个等腰三角形相似 D. 邻边之比为 的两个等腰三角形相似 2. 如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是( ) A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 3. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的边的延长线上的一点，连结交于，则图中共有相似三角形（ ）． A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 5. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），那么图中相似而不全等的三角形一共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 6. 如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 在等边中，点D、E分别在上，且，，那么有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 9. 如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对． 10. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 11. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示_________． 12. 如图：中，是AB边上一点（与AB不重合），过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有____条． 13. 在中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上，，，，，那么______． 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 15. 如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，则DE的长为_________． 16. 如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是_________． 三、解答题 17. 如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有和（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 18. 如图，与有公共顶点，．求证：． 19. 如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若四边形为平行四边形，，求的长度． 20. 已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：． 21. 已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点， （1）求证： （2）求证： 22. 如图1，中，，是的高． （1）与相似吗？为什么？ （2）如图2，若，，的中点为F，的中点为M，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》 同步训练题（附答案） 一、单选题 1. 下列判断中，正确的是（ ） A. 各有一个角是 的两个等腰三角形相似 B. 邻边之比为 的两个等腰三角形相似 C. 各有一个角是 的两个等腰三角形相似 D. 邻边之比为 的两个等腰三角形相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判断方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析即可． 【详解】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项错误． B.因为比值为，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项正确． C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项错误． D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项错误． 故答案选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 2. 如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是( ) A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 【答案】C 【解析】 【分析】可分别求出三角形的边长，再根据三边对应成比例，三角形相似，进行判断即可． 【详解】第一个三角形的边长分别为：，，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：，，； 第四个三角形的边长分别为：，，； ， 对应边成比例的是①和③， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，求解出所给图形的三边长是解题的关键． 3. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 4. 如图，是的边的延长线上的一点，连结交于，则图中共有相似三角形（ ）． A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 又， ∴； ∵，， ∴； ∴； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定方法，注意相似三角形具有传递性． 5. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），那么图中相似而不全等的三角形一共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似（不包括全等）三角形的判定可以得出结论． 【详解】图中相似而不全等的三角形有：，，． ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵和中，是公共角， ∴； 同理，可得． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． 6. 如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析． 【详解】解：∵，， ∴， 故A选项不符合题意； ∵∠，， ∴， ∴∠DBF＝∠ECF， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，不能推出， ∴C选项符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形判定的几种方法是解题的关键． 7. 在等边中，点D、E分别在上，且，，那么有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质；根据相似三角形的判定条件，对选项进行判断即可． 【详解】解：在等边中，点D、E分别在上，且，，如图所示： ∵，，， ∴在与中没有相等的角， ∴和不是相似三角形， 故A不符合题意； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 在与中，，， ∴， ∴与不是相似三角形， 故B不符合题意； ∵， 在与中，，， ∴， ∴与不是相似三角形， 故C不符合题意； 在与中，，，， ∴， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 8. 如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ，， ， ， 解得， ，故④正确 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题 9. 如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB∥DC ∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC， ∴共6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型． 10. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 11. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格寻找相等的角度以及成比例的线段，即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 12. 如图：中，是AB边上一点（与AB不重合），过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有____条． 【答案】4 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件画出对应的图形进行求解即可． 【详解】解：如图所示，当直线时，此时△APE∽△ABC，符合题意； 如图所示，当直线时，此时△BPF∽△BAC，符合题意； 如图所示，当∠APG=∠ACB，∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB，符合题意； 如图所示，当∠BPH=∠BCA，∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA，符合题意； ∴一共有四条直线满足题意， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 13. 在中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上，，，，，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】可先作出简单的图形，进而结合图形可得△ABC∽△DEC，得出对应边成比例，进而可得出结论． 【详解】解：如图， ∵∠E=∠B，∠ACB=∠DCE， ∴△ABC∽△DEC， ∴ 又AC=2，BC=3，CE=6， ∴CD=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质问题，能够熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 15. 如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，则DE的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长． 【详解】解：如图，作AF⊥BC于F，作EG⊥AC于G． ∵△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC． ∠B＝∠C＝30°． 在Rt△CEG中，∠C＝30°． ∴EG＝CE＝，CG＝． ∴AG＝2﹣＝． ∵AF⊥BC． ∴∠AFC＝90°． ∴AF＝AC＝． ∵∠DAE＝60°＝∠FAC． ∴∠DAF＝∠EAG． ∵∠AFD＝∠AGE＝90°． ∴△ADF∽△AGE． ∴，即． ∴DF＝． 由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝AF2+EF2． ∴EF2＝（）2+（）2﹣（）2＝4． ∴EF＝2． DE＝2+＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键． 16. 如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交EF于点O，则O是BD的中点，易证，根据相似三角形的对应的边的比相等，即可求得OE的长，再根据即可求解． 【详解】如图所示，B点与D点重合后，折痕为EF，连接BD交EF交于点O，则O是BD的中点， 在中，， 则， ∵B、D关于EF对称， ∴， 又∵矩形ABCD中，， ∴， 在与中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握翻折变换和三角形相似的判定与性质是解题的关键． 三、解答题 17. 如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有和（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 【答案】 解：．理由如下： ∵正方形网格中的小正方形的面积都为1， ∴正方形网格中的小正方形的边长都为1， 如图，在中，，，， 在中，，，， ∵，， ， ∴， ∴． 【解析】 【详解】根据网格的特点和勾股定理，求出三角形的三边长度，再根据相似三角形的对应边成比例来判定即可． 【分析】略 【点晴】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，勾股定理，并正确计算． 18. 如图，与有公共顶点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据证明，再由，和证明，可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 19. 如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若四边形为平行四边形，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； （2）的长度为4 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论； （2）先证明，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 20. 已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：． 【答案】 证明， ， ， ，即， 又∵E为的中点，， ， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】利用互余的性质可得，再直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质可得，从而可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识，关键是掌握是相似三角形的判定定理． 21. 已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点， （1）求证： （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴． （2） 证明：∵梯形中，， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）先由得到，然后由得证； （2）先由得到，再由得到，从而得到，再利用相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证． 22. 如图1，中，，是的高． （1）与相似吗？为什么？ （2）如图2，若，，的中点为F，的中点为M，连接，求的长． 【答案】（1），理由： 、是的高． ， ， ， ，即， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，、是高，则，是公共角，即可得出，进而可推出，又 ，根据相似三角形的判定定理即可证得； （2）连接、，根据等腰三角形的性质可得，，由已知条件得，进而可求得，由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 连接、， ∵是的高，为的中点， ∴在中，， 同理可得， ∴， ∵是的中点， ∴， 由，设， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，且， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $