第五章　一元一次方程课件2024-2025学年 人教版（ 河北地区专用）七年级数学上册

5.3　实际问题与一元一次方程　 第3课时　球赛积分表问题与行程问题 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 甲、乙两站相距275km，一辆慢车以50km/h的速度从甲站出发开往乙 站.若1h后，一辆快车以75km/h的速度从乙站开往甲站，则快车开出后 与慢车相遇需要的时间是（　A　） A. 1.8h B. 1.7h C. 1.6h D. 1.5h A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 小丽和爸爸一起玩投篮游戏，两人商定规则为小丽投中1个得3分，爸 爸投中1个得1分，结果两人一共投中了20个，得分刚好相等，则小丽投 中了 个. 3. 一架飞机在两个城市之间飞行，顺风飞行需2.5h，逆风飞行需3h.已知 风速是24km/h，设飞机在无风飞行时的速度为xkm/h，则可列方程 为 ⁠. 5　 2.5（x＋24）＝3（x－24）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 捐款金额/元 5 10 20 50 人　数 6 7 4. 某公司组织爱心捐款活动，公司55名员工共捐款1180元，捐款情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 表中捐款金额为10元和20元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，请 你求出这两个数据. 解：设捐款金额为10元的人数是x，则捐款金额为20元的人数是（55－ 6－7－x）.由题意，得10x＋20（55－6－7－x）＋5×6＋50×7＝ 1180，解得x＝4，则55－6－7－x＝38.所以捐款金额为10元和20元的 人数分别是4和38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. （教材P140习题5.3第9题变式）（2023·唐山期末）小张骑自行车以 15km/h的速度去上学，12min后，小张的妈妈发现小张忘了带书，就开 车以45km/h的速度追小张.已知小张家与学校相距5km，小张的妈妈能否 在小张到学校前追上小张？如果能追上，那么此时离学校多远？如果不 能追上，那么小张到校多长时间后，小张的妈妈才能到学校？ 解：设小张的妈妈经过xh追上小张.由题意，得15 ＝45x，解 得x＝0.1.因为45×0.1＝4.5（km），4.5＜5，5－4.5＝0.5（km），所 以小张的妈妈能在小张到学校前追上小张，此时离学校0.5km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. （教材P137练习第1题变式）某足球预选赛中某队以不败的战绩踢完 12场积18分. （1） 已知积分规则为胜一场积3分，平一场积1分，则该队现在胜、平 各几场？ 解：（1） 设该队胜x场，则平（12－x）场.由题意，得3x＋（12－ x）＝18，解得x＝3.所以12－x＝9.所以该队胜3场，平9场 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 在（1）的条件下，为鼓励该队获得好成绩，该队的赞助商制定 了一个奖励机制，每名队员胜一场获得15000元奖励，平一场获得7000 元奖励，则该队每名队员能获得多少元？ 解：（2） 因为15000×3＋7000×9＝108000（元），所以该队每名队 员能获得108000元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站 着1个人，当车尾那个人离开桥尾时，共用64s，则列车的速度为（　C　） A. 15m/s B. 24m/s C. 20m/s D. 25m/s C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 小明参加智力竞赛活动，试卷由50道选择题组成，评分标准规定：选 对1道题得3分，不选得0分，选错1道题倒扣1分.如果小明有5道题没 选，得了103分，那么他选错了 道题. 9. 甲、乙两车分别从相距360km的A，B两地出发，甲车的速度为 65km/h，乙车的速度为55km/h.两车同时出发，相向而行，则经过多长 时间两车相距60km？ 解：设经过xh两车相距60km.相遇前，根据题意，得65x＋55x＝360－ 60，解得x＝2.5；相遇后，根据题意，得65x＋55x＝360＋60，解得x ＝3.5.所以经过2.5h或3.5h两车相距60km 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 某市污水处理厂用102万元购买A，B两种型号的污水处理设备共10 台，其信息如下表： 单价/万元 每台处理的污水量/（吨/月） A型号 12 240 B型号 10 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （1） 污水处理厂购买A，B两种型号的污水处理设备各多少台？ 解：（1） 设购买A型号的污水处理设备x台，则购买B型号的污水处理 设备（10－x）台.由题意，得12x＋10（10－x）＝102，解得x＝1， 则10－x＝9.所以购买A型号的污水处理设备1台，B型号的污水处理设 备9台 （2） 若某条河每月产生污水2000吨，则所购买的设备每月能处理完这 些污水吗？为什么？ 解：（2） 能　240×1＋200×9＝2040（吨），2040＞2000，所以所购 买的设备每月能处理完这些污水 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 某学校七年级（1）班组织该班的6个小组进行奥运知识竞赛活动， 共设20题，各题得分相同，每题必答.6个小组的得分情况如下表（尚不 完整）： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 小　组 答对的题数 答错的题数 得分/分 第一组 16 4 72 第二组 20 0 100 第三组 19 1 93 第四组 18 2 86 第五组 79 第六组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （1） 答对1题得 分，答错1题得 分. （2） 已知第五组得79分，求第五组答对的题数（用方程作答）. 解：（2） 设第五组答对m题，则答错（20－m）题.由题意，得5m－2 （20－m）＝79，解得m＝17.所以第五组答对17题 5　 －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 第六组组长说他们组得了90分，你认为可能吗？为什么？ 解：（3） 不可能　设第六组答对n题，则答错（20－n）题.由题意， 得5n－2（20－n）＝90，解得n＝ .因为n为非负整数，所以n＝ 不符合题意，舍去.所以第六组的得分不可能为90分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$5.3　实际问题与一元一次方程 第1课时　配套问题与工程问题 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. （2023·唐山丰润期末）某工程甲单独做12天完成，乙单独做8天完 成.现在由甲先做3天，乙再一起做，问完成这项工程还需要几天？若设 完成这项工程还需要x天，则下列方程不正确的是（　C　） A. ＋ ＝1 B. ＋ x＝1 C. x＝1＋ D. ＝1－ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 一本稿件，甲打字员单独录入20天可以完成，甲、乙打字员一起录入 12天可以完成.现由两人一起录入8天后，余下部分由乙打字员单独录 入，则还需 天完成. 3. 某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小 饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排 ⁠名工人制 作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套. 10　 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. （教材P133例2变式）整理一批图书，由一个人单独整理要花60小时. 现先安排一些人用1小时整理，随后增加15人和他们一起又整理了2小 时，恰好完成整理工作.假设每人的工作效率相同，那么先安排整理的 有多少人？ 解：设先安排整理的有x人.由题意，得 ＋ ＝1，解得x＝ 10.所以先安排整理的有10人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 臭豆腐是长沙的特色名小吃.某包装臭豆腐厂有60名工人加工臭豆腐 料包.已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小 时可以加工100个汤料包或200个配料包.为使每天加工生产出的汤料包 和配料包刚好配套，应安排多少名工人加工汤料包？ 解：设安排x名工人加工汤料包，则安排（60－x）名工人加工配料包. 根据题意，得4×100x＝200（60－x），解得x＝20.所以应安排20名工 人加工汤料包 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 某办公楼刚建好，有一些相同的房间需要铺地板，老板计划雇用若干 名工人，并对工人进行分组，若每组3人，则多出2人；若每组4人，则 还缺3人，已知两种分法的组数相同. （1） 老板雇用了多少名工人？ 解：（1） 设老板雇用了x名工人.根据题意，得 ＝ ，解得x＝17. 所以老板雇用了17名工人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 在实际工作中，工人按工作能力分为一级和二级，一天3名一级 工人去铺设4个房间，结果其中有5m2地板未来得及铺设；同样时间内4 名二级工人铺设了5个房间之外，还多铺设了另外的6m2地板.已知每名 一级工人比二级工人一天多铺设4m2地板，求每个房间需要铺设的地板 的面积. 解：（2） 设每个房间需要铺设的地板的面积为ym2.根据题意，得 － ＝4，解得y＝86.所以每个房间需要铺设的地板的面积为86m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 有两根同样长的蜡烛，其中粗蜡烛可燃烧4小时，细蜡烛可燃烧3小 时.一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现粗蜡烛剩余 的长度是细蜡烛剩余长度的2倍，则停电时间为（　C　） A. 2小时 B. 2小时20分钟 C. 2小时24分钟 D. 2小时40分钟 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 一项工程甲单独做50天可完成，乙单独做75天可完成.现在两人合 作，但中途乙因事离开几天，开工后40天把这项工程做完，则乙中途离 开了 天. 9. 有一批零件的加工任务，甲单独做需40小时，乙单独做需30小时.甲 做若干小时后，其余的任务由乙单独完成.若乙比甲多做2小时，则甲做 了几小时？ 解：设甲做了x小时.由题意，得 ＝1－ ，解得x＝16.所以甲做了 16小时 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. （2023·保定雄县期末）某家具工厂制作一张方桌要用1个桌面和4 条桌腿，该工厂的木工师傅用1m3的木材可制作25个桌面或200条桌腿， 该工厂现有30m3的木材. （1） 若将30m3的木材全部用完，且制作出来的桌面和桌腿恰好都配成 方桌，则应用多少立方米的木材制作桌面？ 解：（1） 设用xm3的木材制作桌面，则用（30－x）m3的木材制作桌 腿.根据题意，得4×25x＝200（30－x），解得x＝20.所以应用20m3的 木材制作桌面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 每张方桌的标价比成本多400元.该工厂欲将（1）中制作的方桌全 部出售，为尽快回收资金，以标价的九折出售，这样全部出售后可获得 的总利润为140000元，求每张方桌的成本. 解：（2） 设每张方桌的成本是a元.根据题意，得20×25×[0.9（a＋ 400）－a]＝140000，解得a＝800.所以每张方桌的成本是800元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 某地政府打算对一条长15千米的公路进行维护升级，计划由甲、 乙两个工程队联合完成.若甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还 需单独施工15天可完成该工程.已知甲工程队每天比乙工程队每天少 施工0.3千米. （1） 甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ 解：（1） 设乙工程队每天施工x千米，则甲工程队每天施工（x－ 0.3）千米.由题意，得6（x－0.3）＋15x＝15，解得x＝0.8.所以x－0.3 ＝0.5.所以甲工程队每天施工0.5千米，乙工程队每天施工0.8千米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 已知甲工程队每天的施工费用为8000元，乙工程队每天的施工费 用为10000元，先由甲工程队单独施工若干天，再由甲、乙两个工程队 联合施工，恰好14天完成施工任务，则共需施工费用多少元？ 解：（2） 设甲工程队单独施工m天.由题意，得0.5×14＋0.8（14－ m）＝15，解得m＝4.所以14×8000＋10000×（14－4）＝212000 （元）.所以共需施工费用212000元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$5.1.2　等式的性质 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 下列是等式 －1＝x的变形，其中是根据等式的性质2变形的为 （　D　） A. ＝x＋1 B. －x＝1 C. x－ －1＝x D. 2x－1－3＝3x D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 2. （2023·石家庄新华期末）下列等式的变形不一定成立的是（　B　） A. 若 ＝ ，则x＝y B. 若xm＝ym，则x＝y C. 若－x＝－y，则2－x＝2－y D. 若（a2＋1）x＝（a2＋1）y，则x＝y B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 3. 下列变形符合等式的性质的是（　A　） A. 若a＝b，则 ＝ B. 若mk＝nk，则m＝n C. 若－3x＝5，则x＝ D. 若 ＝ ，则2x＝3y A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 4. （教材P116例3变式） （1） 已知等式4x＝3x＋7，两边同时 ⁠ ，得x＝ ，依据是 ⁠； （2） 已知等式 x＝－ ，两边同时 ，得x＝ 　－ 　，依据 是 ⁠. 5. 若在等式2023（x＋3）＝3（x＋3）的两边同时除以（x＋3）就会得 到2023＝3，我们知道2023≠3，则由此可以猜测x＋3＝ ⁠. 6. 如果a＝b，那么 ＝ 成立时c应满足的条件是 ⁠. 减 3x　 7　 等式的性质1　 乘5　 － 　 等式的性质2　 0　 c≠1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 7. 已知8m＋3n＋2＝4m＋7n，利用等式的性质比较m与n的大小关 系：m n（填“＞”“＜”或“＝”）. 8. （1） 如果5a＋8b＝3b＋10，那么a＋b＝ ⁠； （2） 若 b＋2＝ a，则a－b＝ ⁠； （3） 若 ＝y，则xy＝ ⁠. ＜　 2　 6　 2023　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 9. （教材P116例4变式）运用等式的性质解下列方程： （1） x＋5＝－2018； 解：x＝－2023 （2） －9x＝ ； 解：x＝－ （3） － x＋ ＝ . 解：x＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 10. 小北学习了等式的性质后，对等式5m－2＝3m－2进行变形，得出 “5＝3”的错误结论，具体过程如下：将等式5m－2＝3m－2变形，得 5m＝3m（第一步），所以5＝3（第二步）. （1） 哪一步等式变形产生错误？ 解：（1） 第二步等式变形产生错误 （2） 请你分析产生错误的原因. （2） 第二步产生错误的原因是等式两边同时除以一个可能等于零的 m，等式不成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 11. 根据等式的性质，a＝－b可以变形为－a＋x＝b－y，则x与y的 关系一定是（　A　） A. 互为相反数 B. 相等 C. 积为－1 D. 互为倒数 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 12. （2023·保定阜平期末）如图①，天平保持平衡.若要使如图②所示 的天平保持平衡，则右盘中应放入 的个数为（　B　） 　 第12题 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 13. 已知2a－b＝5，a－2b＝4. （1） a－b＝ ⁠； （2） a＋b＝ ⁠. 14. 在等式4x－7＝3x＋5的两边同时减去一个多项式可以得到等式x＝ 12，则这个多项式为 ⁠. 15. 已知5a＋8b＝3b＋10，则利用等式的性质可求得a＋b＋1＝ ⁠. 3　 1　 3x－7　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （1） x－1＝－7； 解：x＝－18 （2） 10－ ＝8； 解：x＝0.5 （3） －2x＋30＝－12－9x. 解：x＝－6 16. 运用等式的性质解下列方程： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 17. 根据题意列方程，并用等式的性质解方程： （1） 小江买了8个莲蓬，付了50元，找回了38元，则每个莲蓬的价格 为多少元？ 解：（1） 设每个莲蓬的价格为x元.根据题意，得8x＋38＝50，解得x ＝1.5 （2） 甲工厂有某种原料120吨，乙工厂有同样的原料96吨，甲工厂每 天用15吨，乙工厂每天用9吨，多少天后两家工厂剩下的原料一样多？ 解：（2） 设x天后两家工厂剩下的原料一样多.根据题意，得120－15x ＝96－9x，解得x＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 18. 对于任意有理数a，b，c，d，我们规定 ＝ad－bc.例如： ＝1×4－2×3＝－2.若 ＝－2，你能根据等式的性质求 出x的值吗？ 解：能　由 ＝－2，可得－4x－（－2）×3＝－2，即－4x＋ 6＝－2.所以－4x＝－8，解得x＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 $$5.2　解一元一次方程 第1课时　合并同类项 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 下列各方程中，合并同类项正确的是（　D　） A. 由3x－x＝－1＋3，得2x＝4 B. 由 x＋x＝－7－4，得 x＝－3 C. 由 － ＝－x＋ x，得 ＝ x D. 由6x－4x＝－1＋2－1，得2x＝0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. 方程－ x－3x＝ －1的解为（　B　） A. x＝－3 B. x＝－ C. x＝3 D. x＝ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. 解方程3x－x＝－3，合并同类项，得 ，系数化为1， 得 （依据： ）. 4. 把360cm长的铁丝分成两段，每段分别恰好做成一个正方形.已知两个 正方形的边长之比是4∶5，则这两个正方形的边长分别是 ⁠. 5. （2024·廊坊霸州期中）已知甲、乙、丙三人的年龄之比是2∶3∶4，他 们的年龄之和为45岁，则乙的年龄是 岁. 2x＝－3　 x＝－ 　 等式的性质2　 40cm， 50cm 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 如图所示为一个等腰三角形.若等腰三角形的周长为40，则a＝ ⁠. 5　 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. （教材P120例1变式）解下列方程： （1） 8x＋5x－x＝－192； 解：x＝－16 （2） －13x－6x－2x＝63； 解：x＝－3 （3） x－2x－x＝－1－2－9. 解：x＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 甲、乙两站相距336千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千 米，一列快车从乙站开出，每小时行驶96千米. （1） 若两车同时出发，相向而行，几小时后相遇？几小时后相距 84千米？ 解：（1） 设x小时后相遇.由题意，得72x＋96x＝336，解得x＝2.所 以2小时后相遇.设y小时后相距84千米.① 相遇前：96y＋72y＝336－ 84，解得y＝1.5；② 相遇后：96y＋72y＝336＋84，解得y＝2.5.所以 1.5小时或2.5小时后相距84千米　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 若两车同时出发，反向而行，几小时后相距672千米？ 解：（2） 设k小时后相距672千米.由题意，得96k＋72k＋336＝672， 解得k＝2.所以2小时后相距672千米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. 某班学生共40人外出参加植树活动，根据任务不同，要分成甲、乙、 丙三个小组.若甲、乙、丙三个小组的人数之比为1∶2∶5，则甲小组有 （　A　） A. 5人 B. 10人 C. 20人 D. 25人 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. 已知关于x的方程－5＋3x＝2m的解与方程－x－3x－4x＝24的解 相同，则m的值是 ⁠. 11. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八 里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意 是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起， 由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的 地.此人第六天走的路程为 里. －7　 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 12. 解下列方程： （1） 0.25y－0.75y＝8＋3； 解：y＝－22 （2） 16x－2.5x－7.5x＝2－11； 解：x＝－1.5 （3） y－ y＋y＝ ×6－1. 解：y＝3.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 有人问小明的生日是几号，小明说：“在月历表上，我的生日连同 上、下、左、右5个日期之和是21.”小明撒谎了吗？为什么？ 解：小明撒谎了　设小明的生日是x号.由题意，得x－7＋x－1＋x＋x ＋1＋x＋7＝21，解得x＝ .因为x只能为正整数，所以x＝ 不合题 意.所以小明撒谎了 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个， 在这16名工人中有6名工人加工甲种零件，其他工人加工乙种零件.已知 每加工1个甲种零件获得的利润是每加工1个乙种零件获得的利润的 .若 此车间一天共获得的利润是1440元，则每加工1个甲种零件获得的利润 是多少元？ 解：设每加工1个甲种零件获得的利润是x元，则每加工1个乙种零件获 得的利润是 x元.由题意，得6×5x＋（16－6）×4× x＝1440，解得 x＝16.所以每加工1个甲种零件获得的利润是16元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 现有一些分别标有－1，2，－4，8，－16，32，…的卡片，这些卡 片上的数是按一定规律排列的，小明拿到了相邻的三张卡片，且卡片上 的各数之和为96，则小明拿到的三张卡片上分别标有什么数？ 解：设小明拿到的三张卡片中第一张卡片上标的数为x，则另外两张卡 片上标的数分别为－2x，－2×（－2x）＝4x.由题意，得x－2x＋4x ＝96，解得x＝32，则－2x＝－64，4x＝128.所以小明拿到的三张卡片 上分别标有32，－64，128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$小专题（七）　一元一次方程的解法 第五章　一元一次方程 类型一　系数化整法 　　方程中的分子、分母系数若不是整数，可将分子、分母同乘一个 适当的数化为整数. 1. 解方程： ＋2＝ . 解：x＝4 1 2 3 4 5 类型二　多重括号去括号 　　当方程中有多重括号时，可根据方程的特点灵活选择去括号. 2. 解下面的方程： （1） －x＝2； 解：x＝－8 （2） －1＝ . 解：x＝－ 1 2 3 4 5 类型三　换元法 3. 解方程： （2x＋5）－1＝4－ （2x＋5）. 小亮认为本题可设y＝2x＋5，从而原方程可化为 y－1＝4－ y，只要 求出y的值，即可求出x的值. （1） 根据小亮的思路，求得y＝ 　 　，进而求得x＝ 　 　； 　 　 1 2 3 4 5 （2） 利用上述方法解方程： － ＝ － . 解：设9x＋2＝y，则原方程可化为 － ＝ － ，解得y＝1.所以9x ＋2＝1，解得x＝－ 1 2 3 4 5 类型四　分组通分法 4. 解方程： － ＝ － . 解：x＝－ 类型五　拆项法 5. 解方程： ＋ ＝ ＋ . 解：x＝1 1 2 3 4 5 $$5.3　实际问题与一元一次方程 第4课时　方案决策问题 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 某超市推出一种购物卡，凭卡在该超市购物均可按商品标价的九折优 惠，但每张卡收100元购卡费.若办理此卡购物与不办理此卡购物费用相 同，则需按标价累计购物金额为（　A　） A. 1000元 B. 900元 C. 800元 D. 700元 A 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 2. 某通信公司给顾客提供了两种上网收费方式：方式A，以每分钟0.1元 的价格按上网所用时间计费；方式B，除收月租费20元外，再以每分钟 0.05元的价格按上网所用时间计费. （1） 当每月上网时间为200分钟时，选择方式 ⁠省钱； （2） 当每月上网时间为500分钟时，选择方式 ⁠省钱； （3） 当每月上网时间为 分钟时，两种上网方式的费用一样多. A　 B　 400　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 3. 某超市推出如下优惠方案：① 一次性购物不超过100元，不享受优 惠；② 一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折；③ 一次性 购物超过300元，一律八折.某人两次购物分别付款80元、225元，如果 他将这两次所购商品一次性购买，那么可节省 元. 41　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 爸爸：“成人票是每张40元，学生票是五折优惠，我们一共12人，共需 400元.” 小明：“爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式购票是否可以省 钱.” 票　价 成人：每张40元 学生：按成人票价五折优惠 团体票（16人及以上）：按成人票价六折优惠 第4题 4. 在“元旦”期间，七年级（1）班的小明、小亮等同学随家长一同到 某公园游玩，票价如图所示.小明与他爸爸的对话如下： 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （1） 小明他们一共去了几位家长，几名同学？ 解：（1） 设小明他们一共去了x位家长，则去了（12－x）名同学.根 据题意，得40x＋40×0.5（12－x）＝400，解得x＝8.所以12－x＝4. 所以小明他们一共去了8位家长，4名同学 （2） 请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？请说明理由. 解：（2） 购买16张团体票更省钱　理由：因为40×0.6×16＝384 （元），384＜400，所以购买16张团体票更省钱. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （3） 正要购票时，小明发现七年级（2）班的小张等10名同学和他们 的7位家长共17人也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购 票.请你为他们设计一种最省钱的购票方案，并求出此时的费用. 解：（3） 因为8＋7＝15（人），4＋10＝14（人），14－1＝13 （人），所以购买16张团体票，13张学生票，所需购票费用为 40×0.6×16＋40×0.5×13＝384＋260＝644（元）.所以最省钱的购票 方案是购买16张团体票，13张学生票，此时的费用为644元 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 5. 某便利店咖啡的价格为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种 会员卡，相关信息如下表： 会员卡类型 办卡费用/元 有效期 优惠方式 A类 40 1年 每杯打九折 B类 80 1年 每杯打八折 C类 130 1年 一次性购买2杯， 第二杯半价 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85之间，且每次购买2 杯，则最省钱的方式为（　C　） A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡 C 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 6. 某通信公司为了方便学生上网查资料，提供了两种上网优惠方案. 第一种方案：0.05元/分； 第二种方案：50元/月（只限一台电脑上网）. 另外，不管哪种优惠方案，上网时都需加收通信费0.02元/分. （1） 当每月上网时间为多少分钟时，两种方案付费一样多？ 解：（1） 设当每月上网时间为x分钟时，两种方案付费一样多.由题 意，得（0.05＋0.02）x＝50＋0.02x，解得x＝1000.所以当每月上网时 间为1000分钟时，两种方案付费一样多 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （2） 如果一个月只上网15小时，那么选用哪种方案更合算？ 解：（2） 当一个月上网15小时，即900分钟时，第一种方案需付费： （0.05＋0.02）×900＝63（元），第二种方案需付费：50＋0.02×900 ＝68（元）.因为63＜68，所以若一个月上网15小时，则选用第一种方 案更合算 （3） 选择哪种方案上网更合算？ 解：（3） 由（1）（2）知，当上网时长少于1000分钟时，选择第一种 方案更合算；当上网时长等于1000分钟时，两种方案都可选择；当上网 时长多于1000分钟时，选择第二种方案更合算 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 7. B市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车 两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时.其他主要数据如下表： 运输方式 途中平均速度/ （千米/时） 运费/（元/千米） 装卸费用/元 火　车 100 15 2000 汽　车 80 20 900 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （1） 如果选择汽车的总费用比选择火车的总费用多1100元，求B市与A 市之间的距离（列方程解答）. 解： 设B市与A市之间的距离为x千米.由题意，得 ＋15x＋2000＝ ＋20x＋900－1100，解得x＝400.所以B市与A市之间的距离为400 千米 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （2） 已知A市与B市之间的距离为s千米，且火车与汽车在路上耽误的 时间分别为2小时和3.1小时.若你是B市水果批发部门的经理，则选择哪 种运输方式比较合算？ 解：（2） 当两种运输方式的总费用相同时， ×200＋15s＋ 2000＝（ ＋3.1）×200＋20s＋900，解得s＝160.所以当s＝160时， 选择两种运输方式的总费用一样；当s＜160时，选择汽车运输比较合 算；当s＞160时，选择火车运输比较合算 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 $$5.2　解一元一次方程 第4课时　去 分 母 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. （2023·邢台南宫期末）在解方程 －x＝ 时，去分母正确的 是（　D　） A. 4（1－x）－x＝3（3x－1） B. 3（1－x）－x＝4（3x－1） C. 4（1－x）－12x＝3（3x－1） D. 3（1－x）－12x＝4（3x－1） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 2. 将方程 － ＝1去分母后，得到2（2x－1）－3x＋1＝6，则该 过程错在（　B　） A. 最简公分母找错 B. 去分母时分子部分漏加括号 C. 去分母时漏乘3项 D. 去分母时各项所乘的数不同 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 3. （2024·衡水景县期末）下列方程变形中，正确的是（　A　） A. 方程 － ＝1，去分母，得5（x－1）－2x＝10 B. 方程3－x＝2－5（x－1），去括号，得3－x＝2－5x－1 C. 方程 t＝ ，系数化为1，得t＝1 D. 方程3x－2＝2x＋1，移项，得3x－2x＝－1＋2 4. 若代数式 的值比 的值大1，则a的值为（　C　） A. －5 B. － C. 5 D. 5. 当x＝ 时， －2＝－1. A C 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 5 6. 若代数式 的值与 的值相等，则x的值是 ⁠. 7. 当x＝ 　 　时，代数式 的值与 的值互为相反数. 8. 现用若干辆汽车装运一批货物，如果每辆装7t，那么这批货物有4t不 能运走；如果每辆装8t，那么装完这批货物后，还可以装2t其他的货物. 这批货物共有 ⁠t. －3　 　 46　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6 9. （教材P128例7变式）解下列方程： （1） ＝ ； 解：x＝ （2） － ＝1； 解：x＝－3 （3） （2024·石家庄藁城期末） － ＝1. 解：x＝－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 7 10. 李伟从家骑摩托车到火车站.若每小时行驶30km，则到达时比发车时 间早15min；若每小时行驶18km，则到达时比发车时间晚15min.求李伟 家到火车站的路程. 解：设李伟家到火车站的路程为xkm.由题意，得 ＋ ＝ － ，解 得x＝ .所以李伟家到火车站的路程为 km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 11. 若单项式－ amb3与2a2bn的和仍是单项式，则方程 － ＝1的 解为（　C　） A. x＝－2 B. x＝2 C. x＝－7 D. x＝7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 12. 有一些相同的房间的墙面需要粉刷.一天3名师傅去粉刷8个房间的墙 面，结果有40m2的墙面没来得及粉刷.同样的时间内，5名徒弟粉刷了9 个房间的墙面.若每名师傅比徒弟一天多粉刷30m2的墙面，则每个房间 需要粉刷的墙面面积为 m2. 50　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 解下列方程： （1） （2023·石家庄新华期末） ＝1－ ； 解：x＝ （2） （2023·唐山滦州期末）x－ ＝3－ ； 解：x＝1 （3） － ＝2. 解：x＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 当m为何值时，关于x的方程3m＋4x＝1＋3x的解比关于y的方程 － ＝1的解大2？ 解：解方程3m＋4x＝1＋3x，得x＝1－3m；解方程 － ＝1， 得y＝2m＋3.根据题意，得1－3m＝2m＋3＋2，解得m＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 一些技工做由若干个相同零件构成的模具，3名A级技工一天做6套模 具，结果其中有18个零件没来得及做，同样的时间内，5名B级技工做8 套模具，结果还多做了10个零件，每名A级技工比B级技工一天多做4个 零件.求每套模具中的零件个数. 解：设每套模具中有x个零件.由题意，得 ＝ ＋4，解得x＝ 30.所以每套模具中的零件个数为30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 16. 某学生乘船先由甲地顺流而下到乙地，再逆流而上到丙地，共用3h. 已知水流速度为2km/h，船在静水中的速度为8km/h，且甲、丙两地之间 的路程为2km.求甲、乙两地之间的路程. 解：设甲、乙两地之间的路程为xkm.当丙地在甲、乙两地之间时，由 题意，得 ＋ ＝3，解得x＝12.5；当丙地在甲地上游时，由题 意，得 ＋ ＝3，解得x＝10.所以甲、乙两地之间的路程为12.5km 或10km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $$5.3　实际问题与一元一次方程　 第2课时　销售中的盈亏问题 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. （2023·邢台期末）某商场把一个双肩背包按进价提高50％后标价， 然后按标价的八折出售，这样商场每卖出一个双肩背包可盈利8元.设每 个双肩背包的进价是x元，则根据题意列一元一次方程，正确的是 （　D　） A. （1＋50％）x－x＝8 B. 50％x·80％－x＝8 C. （1＋50％）x·80％＝8 D. （1＋50％）x·80％－x＝8 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3 2. 由于换季，商场准备对某商品打折出售.若按原售价的七五折出售， 则亏损25元；若按原售价的九折出售，则盈利20元.该商品的原售价为 （　D　） A. 230元 B. 250元 C. 270元 D. 300元 3. （2024·保定满城期末）一件上衣的标价为225元，若以标价的80％ 出售，仍可获利20％，则这件上衣的进价为（　B　） A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 某种高端品牌的家用电器若按标价的八折销售，则销售一件该电器可 获利500元，其利润率为20％.现如果按同一标价的九折销售一件该电 器，那么获得的利润为（　B　） A. 562.5元 B. 875元 C. 550元 D. 750元 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. （2023·石家庄藁城期末）某商场某件衣服的标价为240元.若这件衣 服的利润率为20％，则该衣服的进价为 元. 6. 某商品的进价为每件2000元，若按商品标价的80％出售，每件商品的 利润将减少60％，则该商品的标价为每件 元. 7. 某商场将一件玩具按进价提高80％后标价，销售时按标价打折销售， 结果仍获利26％，则这件玩具销售时打 折. 8. 某商品的进价是2000元，标价是3000元.若商店将此商品打折出售后 的利润率为5％，则该商店打几折出售此商品？ 解：设该商店打x折出售此商品.由题意，得 ×100％＝5 ％，解得x＝7.所以该商店打七折出售此商品 200　 3000　 七　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. （教材P135探究1变式）某超市购进一批运动服，按进价提高40％后 标价. （1） 为了让利于民，增加销量，超市决定打八折出售这批运动服，超 市是亏损了还是盈利了？请说明理由. 解：（1） 超市是盈利了　理由：设每套运动服的进价为x元，则售价 为（1＋40％）×80％x＝1.12x（元）.因为1.12x＞x，所以超市是盈 利了. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 若在（1）的条件下，每套运动服的售价为140元，超市卖出一半 后，正好赶上“双十一”促销，超市决定将剩下的运动服按每3套400元 的价格出售，很快销售一空.销售完这批运动服超市共获利7000元，求 该超市所购进运动服的进价及数量. 解：（2） 由（1）可知，1.12x＝140，解得x＝125.所以每套运动服的 进价为125元.设该超市共购进m套运动服.由题意，得（140－125）× ＋ × ＝7000，解得m＝600.所以该超市共购进600套运动 服，每套运动服的进价为125元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. 已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60 ％，另一件亏损20％.在这次买卖中，这家商店（　B　） A. 不盈不亏 B. 盈利20元 C. 盈利10元 D. 亏损20元 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店 员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元.”小 华说：“那就多买一个吧，谢谢.”根据两人的对话，可知小华结账时 实际付款 元. 12. 某商店对某种商品进行促销，将标价为3元的该商品按如下优惠方式 销售：若一次性购买不超过5件，则按原价付款；若一次性购买5件以 上，则超过部分打八折.用27元可以购买 件该商品. 486　 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. （2023·张家口蔚县期末）某商场在“购物节”期间举行促销活 动，有以下两种优惠方案：① 购物金额每满200元减20元；② 购物金额 打九五折.某顾客的购物金额超过400元且不足600元.通过计算发现，选 择方案①比选择方案②要少付18元，则该顾客的购物金额是多少元？ 解：设该顾客的购物金额是x元.根据题意，得0.95x－ ＝18，解得x＝440.所以该顾客的购物金额是440元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 某校七年级社会实践小组去商场调查商品的销售情况，了解到该商 场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销 售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.请你帮商 场计算一下，当每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45％的预期目标？ 解：设每件衬衫降价x元.由题意，得120×400＋（500－400）×（120 －x）＝500×80×（1＋45％），解得x＝20.所以当每件衬衫降价20元 时，销售完这批衬衫正好达到盈利45％的预期目标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 某中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳.在调查网店后发现篮 球每个定价120元，跳绳每根定价25元，现有甲、乙两家网店提供包邮 服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一根跳绳. 乙网店：篮球和跳绳按定价的90％付款. 已知要购买篮球20个，跳绳x根（x＞20）. （1） 若在甲网店购买，则需付款 ⁠元；若在乙网店 购买，则需付款 元（用含x的代数式表示）. （1900＋25x）　 （2160＋22.5x）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 当x＝80时，请你通过计算说明此时在哪家网店购买较合算. 解：（2） 当x＝80时，在甲网店购买需付款1900＋25×80＝3900 （元），在乙网店购买需付款2160＋22.5×80＝3960（元）.因为3900＜ 3960，所以当x＝80时，在甲网店购买较合算 （3） 当购买多少根跳绳时，在两家网店购买付款金额相同？ （3） 由题意，得1900＋25x＝2160＋22.5x，解得x＝104.所以当购买 104根跳绳时，在两家网店购买付款金额相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$小专题（九）　一元一次方程的应用 第五章　一元一次方程 类型一　和差倍分问题 1. 小华今年13岁，爷爷今年60岁，求经过几年，爷爷的年龄比小华年龄 的4倍少1岁. 解：设经过x年.根据题意，得4（13＋x）－（60＋x）＝1，解得x＝3. 所以经过3年，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　数字问题 2. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，将十位上的数字与 个位上的数字对调，得到的新数与原数的和为154，求原来的两位数. 解：设原数的个位上的数字为x，则十位上的数字为x＋2.根据题意， 得10（x＋2）＋x＋10x＋x＋2＝154，解得x＝6.所以x＋2＝8.所以原 来的两位数为86 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　配套问题 3. 某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有80名工人，每名工人平均 每小时可以制作50个盒身或150个盒底.现要求一个盒身配两个盒底，则 如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 解：设安排x名工人制作盒身，则安排（80－x）名工人制作盒底.根据 题意，得2×50x＝150（80－x），解得x＝48，则80－x＝32.所以应 安排48名工人制作盒身，32名工人制作盒底才能使每小时制作的盒身与 盒底恰好配套 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　行程问题 4. 甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙 步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后， 立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时， 求两人的速度. 解：设乙的速度是x千米/时，则甲的速度是（2x＋2）千米/时.根据题 意，得3x＋3（2x＋2）＝25.5×2，解得x＝5，则2x＋2＝12.所以甲的 速度是12千米/时，乙的速度是5千米/时 1 2 3 4 5 6 7 8 类型五　工程问题 5. 甲、乙两个工程队共同承包一项工程.这项工程若由甲工程队单独做 需要10天完成，若由乙工程队单独做需要15天完成. （1） 若甲、乙两个工程队同时施工4天，余下的工程由乙工程队完 成，则乙工程队还需要几天才能够完成任务？ 解：（1） 设余下的工程乙工程队做了x天，则由题意，得 ×4＋ x＝1，解得x＝5.所以乙工程队还需要5天才能够完成任务 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比 例来分配，已知这项工程的总报酬为10万元，则甲工程队和乙工程队各 得报酬多少万元？ 解：（2） 因为甲工程队的工作效率为 ，施工时间为4天，所以甲工 程队的工作量为 ×4＝ .因为乙工程队的工作效率为 ，施工时间为 4＋5＝9（天），所以乙工程队的工作量为 ×9＝ .所以甲工程队的报 酬为 ×10＝4（万元），乙工程队的报酬为 ×10＝6（万元） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型六　销售问题 6. 某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲 商品件数的 多15，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润＝ 售价－进价）： 甲 乙 进价/（元/件） 22 30 售价/（元/件） 29 40 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？ 解：（1） 设该超市第一次购进甲商品x件，则购进乙商品 件.根据题意，得22x＋30（ x＋15）＝6000，解得x＝150，则 x＋15 ＝90.所以该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为150件，90件 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商 品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙 商品打折销售.第二次两种商品都销售完后获得的总利润比第一次获得 的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售的. 解：（2） 设第二次乙商品是按原价打y折销售的.根据题意，得（29－ 22）×150＋（ 40× －30）×90×3＝（29－22）×150＋（40－30） ×90＋180，解得y＝8.5.所以第二次乙商品是按原价打八五折销售的 1 2 3 4 5 6 7 8 类型七　阶梯计价 7. 某市供电局为促使用户节约用电，对用户的电量实行了两种计价方 法，即用电量在一定范围之内时，按基本价格每千瓦时0.4元收费；超 出部分按基本价上浮50％收费.某用户5月用电64千瓦时，共缴纳电费 28.4元. （1） 该市限定每户按基本价格收费的用电量是多少？ 解：（1） 设该市限定每户按基本价格收费的用电量是x千瓦时.根据题 意，得0.4x＋0.4×（1＋50％）·（64－x）＝28.4，解得x＝50.所以 该市限定每户按基本价格收费的用电量是50千瓦时 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 该用户5月超额用电多少千瓦时？ 解：（2） 64－50＝14（千瓦时）.所以该用户5月超额用电14千瓦时 1 2 3 4 5 6 7 8 类型八　方案选择 8. 某景区门票价格规定如下表： 购票张数 1～50（包含50） 50～100（不包含50，含100） 100以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）班、（2）班两个班共102人去该景区游玩，其中（2） 班人数多于（1）班人数，且（2）班人数不足100，如果两个班分别以 班为单位单独购买门票，那么一共应付5500元. 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少名学生？ 解：（1） 设去该景区游玩的七年级（1）班有x名学生，则七年级 （2）班有（102－x）名学生.根据题意，得60x＋50（102－x）＝ 5500，解得x＝40，则102－x＝62.所以去该景区游玩的七年级（1）班 有40名学生，七年级（2）班有62名学生 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 如果七年级（1）班有6名学生因特殊情况不能外出游玩，（2） 班学生全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，如 何购票才能最省钱？ 解： （2） 方案1：两个班分别以班为单位单独购买门票，所需费用为60×（40－6）＋50×62＝5140（元）；方案2：两个班联合起来购买102－6＝96（张）门票，所需费用为50×96＝4800（元）；方案3：两个班联 合起来购买101张门票，所需费用为40×101＝4040（元）.因为5140＞ 4800＞4040，所以有3种购票方案，两个班联合起来购买101张门票才能 最省钱 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第五章总结提升 第五章　一元一次方程 考点一　一元一次方程及其解的概念 1. 已知关于x的方程（m－2）x｜m－1｜－4＝0是一元一次方程，则m的 值为（　A　） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 1 2. （2023·唐山丰南期末）若关于x的方程2x＋m＝1－x的解是x＝－ 2，则m的值为 ⁠. A 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 考点二　等式的性质 3. 下列变形正确的是（　B　） A. 若x－ ＝y＋ ，则x＝y B. 若x＝－y，则2－ ＝ ＋2 C. 若3x－1＝2x＋1，则x＝1 D. 若－ x＝6，则x＝－3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. （2024·石家庄藁城期末）如图，阅读框图，在四个步骤中，依据为 “等式的性质”的步骤是 （填序号）. 解：4－7x＝2（3－x）. 去括号，得4－7x＝6－2x…①. 移项，得－7x＋2x＝6－4…②. 合并同类项，得－5x＝2…③. 系数化为1，得x＝－ …④. ②④　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 考点三　一元一次方程的解法 5. 当x＝ 时，式子x＋3与2－5x的差是－5. 6. 方程 x－3＝－ x＋1的解为 　x＝ 　. 7. 解下面的方程： （1） 3（x－2）－4（2x＋1）＝7； 解：x＝－ （2） － ＝3. 解：x＝5 －1　 x＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 考点四　一元一次方程的应用 8. 甲、乙两人分别从相距2000m的A，B两地步行出发，相向而行，两人 速度保持不变.若两人同时出发，则他们10min之后相遇；若乙比甲先出 发4min，则甲出发8min之后，甲、乙两人相遇.甲的速度为（　D　） A. 70m/min B. 80m/min C. 90m/min D. 100m/min 9. （2023·唐山路北质检）六年前，A的年龄是B的年龄的5倍，现在A 的年龄是B的年龄的3倍，则A现在的年龄是（　A　） A. 36岁 B. 12岁 C. 24岁 D. 30岁 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. （2024·石家庄藁城期末）已知方程－3（★－9）＝5x－1，★处被 盖住了一个数字.若该方程的解是x＝5，则★处的数字是（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11. （2023·沧州期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车” 问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人 与车各几何？其大意如下：若3人乘一辆车，则空2辆车；若2人乘一辆 车，则有9人要步行.求人数和车数.甲：设车数为x辆，则可列方程为3 （x－2）＝2x＋9；乙：设人数为y，则可列方程为 ＋2＝ .下列判 断正确的是（　C　） A. 甲对、乙错 B. 甲错、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组的人 数恰比乙组人数的一半多2.设乙组原有x人，则可列方程为（　D　） A. 2x＝ x＋2 B. 2x＝ （x＋8）＋2 C. 2x－8＝ x＋2 D. 2x－8＝ （x＋8）＋2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 某商贩卖出两双皮鞋，一双盈利30％，另一双亏本10％，两双共卖 出200元.若商贩在这次销售中刚好不赚不亏，则亏本的那双皮鞋的进价 是 元. 150　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1） 请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量； 解：（1） 设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg， 则一片银杏树叶 一年的平均滞尘量为（2x－4）mg.由题意，得x＋2x－4＝62， 解得x ＝22.所以2x－4＝40.所以一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞 尘量分别为22mg，40mg 14. （2022·娄底）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 某公园有始于唐代的三棵银杏树，据估计，三棵银杏树共有 50000片树叶，则这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为多少千克？ 解：（2） 50000×40＝2000000（mg）， 而2000000mg＝2000g＝ 2kg，所以这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为2kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 已知方程ax－2＝x的解是x＝2，则关于x的方程a（x－2）＝4a的 解为（　C　） A. x＝2 B. x＝4 C. x＝6 D. x＝8 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. （2023·石家庄期末）如图，甲、乙两人沿着边长为90m的正方 形，按A→B→C→D→A的方向行走，甲从点A出发，以50m/min的速 度行走；同时，乙从点B出发，以65m/min的速度行走.当乙第一次追上 甲时是在正方形的（　C　） A. 边BC上 B. 边AD上 C. 点C处 D. 点D处 第16题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17. 如图，在某年11月的月历表中用框数器“ ”框出3，5，11，17， 19五个数，它们的和为55.若将“ ”在图中换个位置框出五个数，则 它们的和可能是（　D　） A. 40 B. 88 C. 107 D. 110 第17题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. 已知x＝6是关于x的一元一次方程5xm＋2＋3n＝0的解，则m＝ ⁠ ，n＝ ⁠. 19. 若方程 － ＝1的解是x＝0，则□表示的数是 ⁠. 20. 某公路一侧原有路灯106盏（公路两端均装有路灯），相邻两盏路灯 之间的距离为36米.为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相 邻两盏路灯之间的距离变为54米，则需更换新型节能灯 盏. －1　 －10　 1　 71　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. 已知关于x的方程 ＝x＋ 的解与方程 ＝3y－2的解互为相反 数，求m的值. 解：解关于x的方程 ＝x＋ ，得x＝－ m；解方程 ＝3y－2， 得y＝1.由题意，得－ m＋1＝0，解得m＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. 某种长方体包装盒的表面展开图如图所示， 如果该长方体包装盒的长比宽多4cm，求这种 长方体包装盒的体积. 解：设这种长方体包装盒的宽为xcm，则它的高为 －x＝（7－x） cm，长为（x＋4）cm.由题意，得（x＋4）＋2（7－x）＝13，解得x ＝5，则7－x＝2，x＋4＝9.所以这种长方体包装盒的长为9cm，宽为 5cm，高为2cm，则体积为9×5×2＝90（cm3） 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. 某班将举行知识竞赛活动，班长安排小明购买奖品，小明买回奖品 时与班长的对话如下： 小明说：“买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我领 了300元，现在找回68元.”班长说：“你肯定搞错了！” 小明说：“哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱款了.”班长 说：“这就对了！” 请根据上面的信息，解答下面的问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1） 两种笔记本各买了多少本？ 解：（1） 设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了 （40－x）本.由题意，得5x＋8（40－x）＝300－68＋13，解得x＝ 25，则40－x＝15.所以单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记 本买了15本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 为什么不可能找回68元？ 解：（2） 由题意，得5x＋8（40－x）＝300－68，解得x＝ .因为 不是整数，不符合题意，所以不可能找回68元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. （2024·石家庄藁城期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的 视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊.已知购进400本甲书 刊和300本乙书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如 下表： 甲书刊 乙书刊 进价/（元/本） m m－2 售价/（元/本） 20 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1） 求甲、乙两类书刊的进价. 解：（1） 由题意，得400m＋300（m－2）＝6400，解得m＝10，则 m－2＝8.所以甲书刊的进价是10元，乙书刊的进价是8元 （2） 第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后的总 利润（利润＝售价－进价）为5750元.求小卖部甲、乙两类书刊分别购 进多少本. 解：（2） 设甲书刊购进x本，则乙书刊购进（800－x）本.由题意，得 （20－10）x＋（13－8）（800－x）＝5750，解得x＝350，则800－x ＝450.所以甲书刊购进350本，乙书刊购进450本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3） 第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类 书刊进价都比上次优惠了10％，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让 利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后的总利润比上次还多10元，求 甲书刊打了几折. 解：（3） 设甲书刊打了a折.由题意可知，800本书刊的进价为 （350×10＋450×8）×（1－10％）＝6390（元），800本书刊的售价 为350×20× ＋450×13＝（700a＋5850）元，则800本书刊的利润为 700a＋5850－6390＝（700a－540）元.所以700a－540＝5750＋10，解 得a＝9.所以甲书刊打了九折 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$小专题（十）　一元一次方程的设元技巧 第五章　一元一次方程 类型一　直接设元法 当直接设元比较方便时，一般直接设未知数. 1. （2023·陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4本和一种小笔 记本6本，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本 的单价贵3元，求该文具店中这种大笔记本的单价. 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是 （x－3）元.由题意，得4x＋6（x－3）＝62，解得x＝8.所以该文具店 中这种大笔记本的单价为8元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 用甲、乙、丙三台抽水机从井里抽水，若单独用一台抽水机抽完，用 甲抽水机需要24h，用乙抽水机需要30h，用丙抽水机需要40h.现在用 甲、丙两台抽水机同时抽了6h后，把乙抽水机加入，则乙抽水机加入后 还需要多长时间才能把井里的水抽完？ 解：设乙抽水机加入后还需要xh才能把井里的水抽完.由题意，得 ＋ ＋ ＝1，解得x＝6.所以乙抽水机加入后还需要6h才能把井里的 水抽完 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型二　间接设元法 当直接设元不方便时，可采取间接设元. 3. 某人骑自行车从A地出发去B地，先以12km/h的速度下坡，再以 9km/h的速度在平路上行驶至B地，共用55min；回来时他以8km/h 的速度通过平路后，再以4km/h的速度上坡至A地，共用 h.求A，B 两地之间的路程. 解：设A，B两地之间的下坡路路程为xkm.55min＝ h.根据题意，得 9 ＝8（ － ），解得x＝3.所以x＋8（ － ）＝9.所以A，B 两地之间的路程为9km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图，在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片， 这些卡片的大小相同，且均为长方形，卡片之间露出 了三块正方形空白（在图中用阴影表示），现要配三 张正方形图片来填补空白.已知卡片的宽是12cm，则要 配边长为多少厘米的正方形图片？ 第4题 解：设卡片的长为xcm.根据图形和题意，得5x＝3（x＋12），解得x ＝18.所以正方形图片的边长为18－12＝6（cm）.所以要配边长为6cm的 正方形图片 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 甲、乙两人在400m环形跑道上练习长跑，同时从同一起点出发，甲 的速度是6m/s，乙的速度是4m/s，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？ 解：设乙跑了xs后，甲可超过乙一圈.根据题意，得6x－4x＝400，解 得x＝200，此时乙跑的圈数为200×4÷400＝2.所以乙跑2圈后，甲可超 过乙一圈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　辅助设元法 　　有些题目直接设元不方便列方程，可考虑增加辅助未知数. 6. 某校举行数学竞赛选拔赛，淘汰总参赛人数的 .已知选拔赛的分数线 比全部参赛学生的平均分少2分，比被选中的学生的平均分少11分，并 等于被淘汰学生的平均分的2倍，求该选拔赛的分数线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：设该选拔赛的分数线为x分.根据题意，可得总平均分为（x＋2） 分，被选中的学生的平均分为（x＋11）分，被淘汰学生的平均分为 分.设被淘汰学生的人数为y（y为正整数），则被选中的学生的人数为 3y，参赛学生的总人数为4y.由题意，得y· ＋3y·（x＋11）＝ 4y·（x＋2）.因为y＞0，所以 ＋3（x＋11）＝4（x＋2），解得x ＝50.所以该选拔赛的分数线为50分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团 体票和零售票，其中团体票占总票数的 .若提前购票，则给予不同程度 的优惠，在5月内，团体票每张12元，共售出团体票的 ；零售票每张16 元，共售出零售票的一半.如果在6月内，团体票按每张16元出售，并计 划在6月内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两 个月的票款收入持平？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：设总票数为a张，6月零售票按每张x元定价.根据题意，得 12 ＋16 ＝16· ＋ a· x，化简，得 a＋ a＝ a＋ ax.因为a＞0，所以 ＋ ＝ ＋ x，解得x＝19.2.所以6月零 售票应按每张19.2元定价才能使这两个月的票款收入持平 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 一个六位数，其最左边一位的数字是1.若把这个数字移到最右边，则 所得的六位数就是原数的3倍.求原六位数. 解：设原六位数后五位是x，则这个六位数为100000＋x，新的六位数 可表示为10x＋1.根据题意，得3（100000＋x）＝10x＋1，解得x＝ 42857.所以原六位数为142857 类型四　整体设元法 　　有些题目未知量太多，无法直接设元求解，可考虑整体设元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 一个五位数，个位上的数字为4，这个五位数加上6120后所得的新五 位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数字恰好分别为原五位数的 个位、万位、千位、百位、十位上的数字，试求原五位数. 解：设原五位数去掉个位上的数字后的四位数为x，则原五位数可表示 为10x＋4.根据题意，得10x＋4＋6120＝4×10000＋x，解得x＝3764. 所以10x＋4＝37644.所以原五位数是37644 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$阶段训练（5.1～5.2） 第五章　一元一次方程 一、 选择题 1. 若xm－1＋m＝0是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 （　B　） A. x＝2 B. x＝－2 C. x＝－1 D. x＝1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 下列变形正确的是（　C　） A. 若a＝b，则a＋1＝b＋2 B. 将a＋1＝0移项，得a＝1 C. 若a＝b，则－3a＝－3b D. 将 a＋1＝0去分母，得a＋1＝0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2023·沧州期末）下列方程的变形中，正确的是（　C　） A. 由x＋1＝6x－7，得x－6x＝7＋1 B. 由4－2（x－1）＝3，得4－2x－2＝3 C. 由 ＝0，得2x－3＝0 D. 由－ x＝6，得x＝－2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 若方程－6x＝－3的解与关于x的方程7x－2k＝4的解互为倒数，则k 的值为（　A　） A. 5 B. －5 C. － D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 已知M＝－ x＋1，N＝ x－5.若M＋N＝20，则x的值为（　B　） A. －30 B. －48 C. 48 D. 30 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题 6. 方程 x－4＝2的解是 ⁠. 7. 若x＝2是关于x的方程 －a＝x＋2的解，则a2－1的值是 ⁠. 8. 若关于x的方程x＋3b＝1的解与方程5x＝5＋4x的解互为相反数，则 b的值为 ⁠. 9. 当x＝ 时，式子5x－3与3－4x的和是－6. x＝9　 8　 2　 －6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子 一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.”大意 如下：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果 将绳索对半折后再去量竿，那么就比竿短5尺.请问绳索和竿各为几尺？ 设竿的长为x尺，可列方程为 ⁠. 11. （2024·承德平泉期末）一列方程如下排列： ＋ ＝1的解是x＝ 2； ＋ ＝1的解是x＝3； ＋ ＝1的解是x＝4；….根据观察得到 的规律，写出解是x＝7的方程： ⁠. （x＋5）＝x－5　 ＋ ＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、 解答题 12. 解下列方程： （1） （2024·新疆）2（x－1）－3＝x； 解：x＝5 （2） 2x－5（x－2）＝4； 解：x＝2 （3） ＝1－ . 解：x＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 已知方程2－ ＝ 的解也是关于x的方程2－ ＝0的解，求a 的值. 解：解方程2－ ＝ ，得x＝1.将x＝1代入2－ ＝0，得2－ ＝0，解得a＝7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 某学校七年级举行跳绳比赛，分为跳大绳和跳单摇两个项目，安排 小芳当裁判，在比赛结束后，小芳与运动员小红的对话如下： 小芳：“你跳绳跳得真棒！你跳的大绳和单摇个数的和是246.” 小红：“你肯定搞错了！” 小芳：“哦！我给你少数了2个大绳，多数了3个单摇，原来你跳的单摇 个数比你跳的大绳个数的4倍多5.” 小红：“这就对了！” 你知道小红跳了多少个单摇吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设小红跳了x个大绳，则跳了（4x＋5）个单摇.由题意，得x＋ （4x＋5）＝246＋2－3，解得x＝48.所以4x＋5＝197.所以小红跳了 197个单摇 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 某电器商场销售A，B两种型号的计算器，两种计算器每个的进货价 格分别为30元和40元.已知每个A型号计算器的售价比每个B型号计算器 的售价少14元，商场销售6个A型号计算器和3个B型号计算器可获利润 120元. （1） A型号计算器的销售单价是多少元？' 解：（1） 设A型号计算器的销售单价是x元，则B型号计算器的销售单 价是（x＋14）元.由题意，得6（x－30）＋3（x＋14－40）＝120，解 得x＝42.所以A型号计算器的销售单价是42元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2） 商场准备购进A，B两种型号的计算器共70个，且所用资金为2500 元，则需要购进多少个B型号计算器？ 解：（2） 设需要购进B型号计算器y个，则购进A型号计算器（70－ y）个.由题意，得30（70－y）＋40y＝2500，解得y＝40.所以需要购 进40个B型号计算器 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$小专题（十一）　数轴上的动点问题 第五章　一元一次方程 类型一　求运动后点表示的数 1. 数轴上点A，C表示的数分别是a，c，且a，c满足｜a＋6｜＋（c －1）2＝0，点B表示的数是－2. （1） a＝ ，c＝ ；在数轴上标出点A，B，C. 解：（1） 如图所示 （2） 若点M在数轴上表示的数为m，且m满足｜m－1｜＋｜m＋6｜ ＝15，则m＝ ⁠. －6　 1　 －10或5　 第1题答案 1 2 3 4 返回目录 第1题答案 2 （3） 已知A，B两点同时沿数轴的正方向匀速运动，点A的速度为每 秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度.在运动过程中，当点A 到点C的距离是点B到点C的距离的3倍时，点A表示的数是多少？ 解：（3） 设经过t秒时，点A到点C的距离是点B到点C的距离的3 倍，则此时点A表示的数为－6＋2t，点B表示的数为－2＋t，则｜－6 ＋2t－1｜＝3｜－2＋t－1｜.整理，得｜2t－7｜＝3｜t－3｜，解得t ＝2或t＝ .当t＝2时，－6＋2t＝－2；当t＝ 时，－6＋2t＝ .所以 点A表示的数为－2或 第1题答案 1 2 3 4 返回目录 2. （2024·保定阜平期末改编）如图，在数轴上，点A，B，C表示的 数分别为a，b，c，点B在点A的左侧，且点A与点B的距离为5，点C 在点A的右侧，点A与点C的距离为11. 第2题 （1） 若A是原点，则b＋c＝ ⁠. （2） 若b＜0，且｜b｜＝3，则a＝ ；c＝ ⁠. 6　 2　 13　 1 2 3 4 返回目录 （3） 在（2）的基础上，点A保持不动，点B以每秒1个单位长度的速 度沿数轴向右运动，同时，点C以每秒x个单位长度的速度沿数轴向左 运动.设点B，C的运动时间为t秒. ① 当t＝6时，若点C与点B的距离为2，求x的值；② 若x＝4，当点 B，C到点A的距离相等时，求点B与点C表示的数. 第2题 1 2 3 4 返回目录 解：① 当t＝6时，点B表示的数为－3＋6＝3，点C表示的数为13－ 6x.因为点C与点B的距离为2，所以点C表示的数为1或5.所以13－6x ＝1或13－6x＝5，解得x＝2或x＝ ② 当点B，C到点A的距离相等时，由题意，得点B表示的数为－3＋ t，点C表示的数为13－4t，则｜t－5｜＝｜11－4t｜.所以t－5＝11－ 4t或t－5＋11－4t＝0，解得t＝3.2或t＝2.当t＝3.2时，点B表示的数 为0.2，点C表示的数为0.2；当t＝2时，点B表示的数为－1，点C表示 的数为5 1 2 3 4 返回目录 类型二　求运动中的时间 3. （2023·沧州青县期末）A，B，C三点在数轴上的位置如图所示， 点C表示的数为6，点B到点C的距离为4，点A到点B的距离为12. （1） 数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ⁠. 第3题 －10　 2　 1 2 3 4 返回目录 ① 求数轴上点P，Q表示的数（用含t的代数式表示）. ② 当t为何值时，P，Q两点重合？③ 当t为何值时，P，Q两点相距5 个单位长度？ 解：① 由题意，得在数轴上点P表示的数是－10＋4t，点Q表示的数 是6＋2t ② 令－10＋4t＝6＋2t，解得t＝8.所以当t＝8时，P，Q两点重合 ③ 当P，Q两点相距5个单位长度时，｜（－10＋4t）－（6＋2t）｜ ＝5，解得t＝ 或t＝ .所以当t的值为 或 时，P，Q两点相距5 个单位长度 1 2 3 4 返回目录 4. （2024·石家庄行唐期末改编）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴 上点A，B，C表示的数分别为－10，－2，x，点B到点A，C的距离 相等，机器人M（看成点）从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 数轴正方向运动，当机器人M到达点B时，机器人N（看成点）从点C 出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴正方向运动.设机器人M的运 动时间为t秒. （1） 点A与点B的距离为 ，x的值为 ⁠； 第4题 8　 6　 1 2 3 4 返回目录 （2） 当点M到点A的距离与点M到点B的距离之和为10时，求点M表 示的数； 解：（2） 当点M在点A，B之间时，点M到点A的距离与点M到点B 的距离的和为8，不符合题意.所以点M运动到点B的右侧，则2t＋2t－ 8＝10，解得t＝4.5，则2t＝9.因为－10＋9＝－1，所以点M表示的数 是－1 第4题 1 2 3 4 返回目录 解：（3） 由（2）及题意可知，点M到点B的距 离为2t－8（t大于或等于4）.因为点N到点C的距离为1.5（t－4）， 所以点B到点N的距离为6－（－2）＋1.5（t－4）＝1.5t＋2.当机器人M追上机器人N时，2t－8＝1.5t＋2，解得t＝20.① 在机器人M追上机器人N之前，令1.5t＋2－（2t－8）＝2，解得t＝16；② 在机器人M追上机器人N之后，令2t－8－（1.5t＋2）＝2，解得t＝24.因为24－16＝8（秒），所以机器人M变成彩色的总时长为8秒 （3） 当机器人M，N之间的距离小于或等于2时，机器人M变成彩 色，求机器人M变成彩色的总时长； 第4题 1 2 3 4 返回目录 （4） 当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直 接写出t的值. （4） t的值为4或10.4或8或 或20 1 2 3 4 返回目录 $$5.2　解一元一次方程 第3课时　去 括 号 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 在解方程－2（2x＋1）＝x时，下列去括号正确的是（　D　） A. －4x＋1＝－x B. －4x＋2＝－x C. －4x－1＝x D. －4x－2＝x 2. 解方程4（x－1）－x＝2 的步骤如下：① 去括号，得4x－1 －x＝2x＋1；② 移项，得4x－2x－x＝1＋1；③ 合并同类项，得x＝ 2.其中，开始出错的步骤是（　A　） A. ① B. ② C. ③ D. 以上都不正确 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3 3. 在解方程（3x＋2）－2（2x－1）＝1时，下列去括号正确的是 （　D　） A. 3x＋2－2x＋1＝1 B. 3x＋2－4x＋1＝1 C. 3x＋2－4x－2＝1 D. 3x＋2－4x＋2＝1 D 4. 若代数式9x＋6与9－3（x＋2）的值相等，则x＝ ⁠. － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. （教材P125例5变式）解下列方程： （1） （2023·沧州青县期末）4（2x－1）－3（x－2）＝12； 解：x＝2 （2） （2024·廊坊固安期末）2（x－1）＝6－（x－4）； 解：x＝4 （3） 2x－（x＋10）＝5x＋2（x＋1）； 解：x＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （4） 3 ＋x＝6－ ； 解：x＝4 （5） （2024·沧州献县期末）6（x－1）－2（1－x）＝3＋2x. 解：x＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 一艘轮船在甲、乙两地之间航行，顺流航行用了3h，逆流航行比顺流 航行多用了30min，水流速度为2km/h.请根据以上信息，提出一个用一 元一次方程解决的问题，并写出解答过程. 解：答案不唯一，如求轮船在静水中的速度.设轮船在静水中的速度为 xkm/h.由题意，得3（x＋2）＝ （x－2），解得x＝26.所以轮 船在静水中的速度为26km/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 若关于x的方程（3＋m－1）x＝6－（2m＋3）的解为x＝2，则m的 值为（　A　） A. － B. C. －4 D. 4 8. 当m＝ 时，方程5x－4＝4x＋3的解与关于x的方程2（x＋ 1）－m＝－2（m－1）的解相同. 9. （2022·南充改编）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡 兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”设鸡有x 只，可列方程为 ，解得x＝ ⁠. A －14　 2x＋4（35－x）＝94　 23　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，将十位上的数 字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍多10，则原来的两位 数是 ⁠. 11. 解下面的方程： （1） 3x－2（x＋2）＝2＋3（5－2x）； 解：x＝3 （2） ＝ x－ . 解：x＝－5 26　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 现有树苗若干棵，计划栽在某段公路的一侧，要求路的两端各栽1 棵，并且相邻2棵树苗的间隔相等.方案一：若每隔5m栽1棵，则缺21 棵；方案二：若每隔5.5m栽1棵，则刚好用完.根据以上方案，请算出原 有树苗的棵数和这段公路的长度. 解：设原有树苗x棵.由题意，得5（x＋21－1）＝5.5（x－1），解得x ＝211.所以5（x＋21－1）＝1155.所以原有树苗211棵，这段公路的长度 为1155m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 甲、乙两人骑自行车同时从A，B两地出发，相向而行，已知甲每小 时骑行的路程比乙每小时骑行的路程的2倍少3km，2h后两人相距 12km，又过了2h后两人还是相距12km.求甲、乙两人的速度和A，B两地 间的路程. 解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为（2x－3）km/h.由题意，得2 （x＋2x－3）＋12＝（2＋2）·（x＋2x－3）－12，解得x＝5，则 2x－3＝7，2（x＋2x－3）＋12＝36.所以甲的速度为7km/h，乙的速 度为5km/h，A，B两地间的路程为36km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$小专题（八）　方程中与字母系数有关的问题 第五章　一元一次方程 类型一　利用方程的相关定义求字母的值 1. 若方程（a＋3）x｜a｜－2＋6＝0是关于x的一元一次方程，则a的值是 （　A　） A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±2 2. 若方程－5x3m－2＋2m＝0是关于x的一元一次方程，则这个方程的解 为 ⁠. A x＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 类型二　利用方程的解或错解求字母的值 3. 已知x＝－5是方程k（x＋4）－2k－x＝14的解，则k的值为 （　A　） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 A 1 2 3 4 5 6 7 4. （2023·秦皇岛一模）小张在解方程 ＝ －1的过程中，去分 母时方程右边的－1忘记乘6，因而求得的解为x＝2. （1） 请你帮助小张求出a的值； 解：（1） 把x＝2代入方程2（2x－1）＝3（x＋a）－1，得2× （2×2－1）＝3（2＋a）－1，解得a＝ 1 2 3 4 5 6 7 （2） 正确地解这个方程. 解：（2） 方程为 ＝ －1.去分母，得2（2x－1）＝3 －6.去括号，得4x－2＝3x＋1－6.移项，得4x－3x＝1－6＋2，解得 x＝－3 1 2 3 4 5 6 7 类型三　利用两个方程的解的关系求字母的值 5. （2023·石家庄桥西期末）已知关于x的方程x－2m＝3x＋4的解与 方程 － ＝1的解互为相反数，求m的值. 解：解方程 － ＝1，得x＝－1.因为关于x的方程x－2m＝3x＋ 4的解与方程 － ＝1的解互为相反数，所以把x＝1代入方程x－ 2m＝3x＋4，得1－2m＝3＋4，解得m＝－3 1 2 3 4 5 6 7 6. 已知关于x的方程2（x＋1）－m＝－ 的解比方程5（y－1）－1 ＝4（y－1）＋1的解大2，求m的值. 解：解方程5（y－1）－1＝4（y－1）＋1，得y＝3.由题意，知x＝5 是方程2（x＋1）－m＝－ 的解，所以2×（5＋1）－m＝－ ，解得m＝22 1 2 3 4 5 6 7 类型四　利用“方程的解是正整数”求字母的值 7. （2023·唐山路北期末）已知关于x的一元一次方程 ＋m＝5， 其中m是正整数. （1） 当m＝3时，求方程的解； 解：（1） 当m＝3时，原方程为 ＋3＝5.移项、去分母，得3x－1 ＝4，解得x＝ 1 2 3 4 5 6 7 （2） 若该方程的解是正整数，求m的值. 解：（2） 去分母，得3x－1＋2m＝10.移项、合并同类项，得3x＝11 －2m，解得 x＝ .因为m是正整数，且该方程的解是正整数，所 以m＝1或m＝4 1 2 3 4 5 6 7 $$5.2　解一元一次方程 第2课时　移项、合并同类项 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. （2024·廊坊霸州期末）如图所示为解一元一次方程的过程，“□” 所代表的内容是（　A　） A. ＋2x B. －2x C. ＋ x D. － x 第1题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 2. 下列变形中，属于移项的是（　C　） A. 由5x－2x＝2，得3x＝2 B. 由6x－3＝x＋4，得6x－3＝4＋x C. 由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8 D. 由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 3. （2023·邯郸磁县期末）下列方程的变形中，移项正确的是 （　C　） A. 由x＋3＝6，得x＝6＋3 B. 由2x＝x＋1，得x－2x＝1 C. 由－2y＝12－y，得y－2y＝12 D. 由6＋x＝2，得x＝6－2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 4. 有一个数学趣味问题：一群老人去赶集，半路买了一堆梨.一人一个 多一个，一人两个少两个.请问君子知道否，几位老人几个梨？正确答 案是（　A　） A. 3位老人、4个梨 B. 4位老人、3个梨 C. 5位老人、6个梨 D. 7位老人、8个梨 5. （2024·石家庄行唐期末）若代数式3x＋1的值比3－2x的值小1，则 x的值为（　D　） A. －5 B. －1 C. －3 D. A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 6. （1） 若3x＋11＝－1，则3x＝ ⁠； （2） 若x－9＝2014－y，则x＋y＝ ⁠. 7. （2024·保定定州期末）已知2x＋3与5互为相反数，则x＝ ⁠. 8. 当a的值为 时，代数式5a－7与14－2a的值相等. 9. （2024·石家庄藁城期末）已知一个长方形的周长为26cm.若这个长 方形的长减少1cm，宽增加2cm就成了一个正方形，则这个长方形的面 积是 cm2. －12　 2023　 －4　 3　 40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （1） （2023·唐山乐亭期末）4x－3＝8x＋5； 解：x＝－2 （2） 48－2x＝18＋4x； 解：x＝5 10. （教材P123例3变式）解下列方程： （3） （2023·张家口期末） x＋7＝5－x； 解：x＝－ （4） 12t＋33＝－3t－7. 解：t＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 11. 若整式4x－5的值比3x的值小7，则x的值为（　D　） A. － B. －12 C. 2 D. －2 12. 某同学在解方程5x－1＝□x＋3时，把□处的数看错了，解得x＝ － ，他把□处的数看成了（　C　） A. 3 B. －9 C. 8 D. －8 13. 若－2x2m＋1y6与 x3m－1y10＋4n是同类项，则m－n的值为 ⁠. D C 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 14. 若关于x的方程3x－7＝2x＋a的解与方程4x＋2＝7－x的解互为相 反数，则a的值为 ⁠. 15. 某地甲、乙两站间的路程为365km，一列慢车从甲站开往乙站，每 小时行驶65km，慢车行驶1h后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小 时行驶85km，快车行驶 h后与慢车相遇. －8　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （1） x－3＝2x＋ ； 解：x＝－ （2） 0.3x－0.4＝0.2x＋5； 解：x＝54 （3） x－ ＝2x＋2－ x. 解：x＝5 16. 解下列方程： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 17. 某同学在解关于x的方程4x＋3a＝2x＋15时，移项过程中2x没有改 变符号，得到方程的解为x＝1，求a的值及原方程的解. 解：由题意，得x＝1是关于x的方程4x＋2x＝15－3a的解，所以4＋2 ＝15－3a，解得a＝3.把a＝3代入原方程，得4x＋9＝2x＋15，解得x ＝3.所以a的值为3，原方程的解为x＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 18. （2022·连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问 题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各 几何？”大意如下：今有几人共同出钱购买一件物品.每人出8钱，剩余 3钱；每人出7钱，还缺4钱.问人数、物品的价格各是多少？请你求出上 述问题中的人数和物品的价格. 解：设人数为x.由题意，得8x－3＝7x＋4，解得x＝7.所以8x－3＝ 8×7－3＝53.所以人数为7，物品的价格是53钱 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 19. 某人承包了一项零件生产任务，限期完成.若他每天生产13个，则到 期时还差20个零件没有完成；若他每天生产16个，则到期时还能多生产 16个零件.生产期限是多少天？承包生产的零件有多少个？ 解：设生产期限是x天.由题意，得13x＋20＝16x－16，解得x＝12， 则13x＋20＝176.所以生产期限是12天，承包生产的零件有176个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 $$5.1　方　程 5.1.1　从算式到方程　 第1课时　列方程表示实际问题中的数量关系 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 关于式子① 2x＝3和② 1－3＝－2，下列说法中正确的是（　B　） A. ①②均是方程 B. ①是方程，②不是方程 C. ①不是方程，②是方程 D. ①②均不是方程 2. 下列各式属于方程的为（　D　） A. 2x－3＞0 B. 3＋5＝8 C. x2＋2x＋1 D. x＋3＝ B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 下列叙述中，正确的是（　B　） A. 方程是含有未知数的式子 B. 方程是含有未知数的等式 C. 只有含有字母x，y的等式才叫作方程 D. 带等号和字母的式子叫作方程 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 下列所给条件中，不能列出方程的是（　C　） A. 某数比它的平方小6 B. 某数加上3，再乘2等于14 C. 某数与它的 的差 D. 某数的3倍与7的和等于29 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 根据条件列出方程（设某数为x）： （1） 某数的 是14： 　 x＝14　； （2） 某数比它的4倍小1： ⁠； （3） 某数的3倍比它的2倍多10： ⁠； （4） 某数的4倍与8的差比它的 少2： 　4x－8＝ x－2　. x＝14　 x＝4x－1　 3x＝2x＋10　 4x－8＝ x－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. （教材P113例1变式）根据下面的问题，设未知数并列出方程： （1） 张强与刘伟参加植树活动，两人共植树75棵，其中张强比刘伟多 植了15棵，则刘伟植了多少棵树？ 解：设刘伟植了x棵树，则张强植了（x＋15）棵树.根据题意，得x＋ 15＋x＝75 （2） 某班共有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天男生人数恰 为女生人数的一半，则该班男生有多少人？ 解：设该班男生有x人，则女生有（49－x）人.根据题意，得x－1＝ （49－x） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 从60cm长的木条上截去2段同样长的木条，还剩下10cm长的短木 条，则截下的每段木条的长为多少厘米？ 解：设截下的每段木条的长为xcm.根据题意，得60－2x＝10 （4） 小红对小敏说：“我是6月出生的，我的年龄的2倍加上10天，正 好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？” 解：设小红的岁数为x.根据题意，得2x＋10＝30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 有下列各式：① 3x－4＝－1；② 5y2＋2y＝3；③ 7x－1；④ x－ 2≠0；⑤ x＜x＋1；⑥ 3× ＝ ；⑦ －2y＝0.其中，是方程的有 （　A　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. （2024·广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月 交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企 去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（　A　） A. 1.2x＋1100＝35060 B. 1.2x－1100＝35060 C. 1.2（x＋1100）＝35060 D. x－1100＝35060×1.2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. “某学校七年级学生人数为n，其中男生占45％，女生共有110名.” 有下列方程：① （1－45％）n＝110；② 1－45％＝ ；③ 45％＝1－ ；④ n＝ ；⑤ 1＝ ＋45％.其中，能表示上述语句中的相等 关系的有（　D　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的 第八章名为“方程”.如： 从左到右列出的算筹数分别表示 方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x＋4y＝ 23，则 表示的方程是 ⁠. 11. 某学校师生共328人乘车外出旅行，已有校车可乘64人.如果租用客 车，每辆可乘44人，那么还要租用多少辆客车？设还要租用x辆客车， 则可列方程为 ⁠. x＋2y＝32　 64＋44x＝328　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （1） 用长度为20cm的铁丝恰好围成一个长方形，长比宽多2cm，求此 长方形的长. 解：（1） 设此长方形的长为xcm，则宽为（x－2）cm.根据题意，得 2[x＋（x－2）]＝20 12. 根据下列问题，设未知数并列出方程. （2） 小红买了苹果和橘子共5千克，用去17元.已知苹果每千克4元，橘 子每千克3元，则小红买了多少千克苹果？ 解：（2） 设小红买了x千克苹果，则买了（5－x）千克橘子.根据题 意，得4x＋3（5－x）＝17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 小明步行的速度是5km/h，有一天他从家去学校，走了全程的 后，改乘速度为20km/h的公共汽车到校，结果比全程步行的时间快了 15min，则小明家离学校多远？ （3） 设小明家离学校xkm.根据题意，得 ＋ ＝ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 某校七年级四个班进行捐书活动：七年级（1）班捐书的本数是四个 班捐书总本数的 ；七年级（2）班捐书的本数是四个班捐书总本数的 ；七年级（3）班捐书的本数是四个班捐书总本数的 ；七年级（4） 班捐了177本.求这四个班捐书的总和.若设这四个班捐书的总和为x本， 你能列出方程吗？ 解：根据题意，得 x＋ x＋ x＋177＝x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$5.1　方　程 5.1.1　从算式到方程　 第2课时　方程的解及一元一次方程 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 目 录 1. 下列方程的解为x＝－2的是（　D　） A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3 C. 5x－3＝6x－2 D. 3x＋1＝2x－1 2. 已知x＝2是关于x的方程3x＋a＝0的解，则a的值为（　A　） A. －6 B. －3 C. －4 D. －5 3. （2024·保定定州期末）下列方程属于一元一次方程的是（　D　） A. ＝4 B. 5x－3y＝1 C. 2x－x2＝0 D. 2x＝－1 D A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 4. （2024·石家庄行唐期末）已知方程4xm－1－2＝0是一元一次方程， 则m＝ ⁠. 5. 请写出一个解是x＝2的一元一次方程： ⁠ ⁠. 6. 若（a＋1）x｜a｜－2＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ ⁠. 7. 已知方程2＋▲＝3x，▲处被墨水污染了.若该方程的解是x＝2，则▲ 处的数字是 ⁠. 2　 答案不唯一，如x－2＝ 0　 1　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （1） 3x＋1＝x＋5（x＝1，x＝2）； 解：把x＝1代入，左边＝3＋1＝4，右边＝1＋5＝6，左边≠右边，所 以x＝1不是方程的解；把x＝2代入，左边＝6＋1＝7，右边＝2＋5＝ 7，左边＝右边，所以x＝2是方程的解 8. （教材P114例2变式）在下列方程后面的括号内分别给出了一组数，请从中找出方程的解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （2） ＝x－1（x＝－1，x＝3）； 解：把x＝－1代入，左边＝ ＝－ ，右边＝－1－1＝－2，左边≠ 右边，所以x＝－1不是方程的解；把x＝3代入，左边＝ ＝2，右 边＝3－1＝2，左边＝右边，所以x＝3是方程的解 （3） 3x－4＝8（x＝3，x＝4）； 解：把x＝3代入，左边＝9－4＝5，左边≠右边，所以x＝3不是方 程的解；把x＝4代入，左边＝12－4＝8，左边＝右边，所以x＝4是 方程的解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （4） y＋3＝7（y＝8，y＝4）. 解：把y＝8代入，左边＝4＋3＝7，左边＝右边，所以y＝8是方程 的解；把y＝4代入，左边＝2＋3＝5，左边≠右边，所以y＝4不是 方程的解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 9. 已知（a－1）x｜a｜－3＝0是关于x的一元一次方程. （1） a＝ ⁠； （2） 求－4a2－2[a－（2a2－a＋2）]的值. 解：由（1），得a＝－1，所以－4a2－2[a－（2a2－a＋2）]＝－4a2－ 2（－2a2＋2a－2）＝－4a2＋4a2－4a＋4＝－4a＋4＝－4×（－1） ＋4＝8 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 10. （2023·唐山路北期末）已知关于x的一元一次方程3xa－4＋2m＝8 的解为x＝2，则a＋m的值为（　C　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 11. （2023·邯郸武安期末）有下列方程：① 3x－y＝2；② x2－2x－3 ＝0；③ ＝1；④ ＝1；⑤ m－5＝m.其中，一元一次方程的个数 为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 12. 已知x＝3是关于x的方程 x－a＝1的解，则2a－8的值是 ⁠. 13. （2024·唐山丰润期末改编）已知方程mx｜m－1｜－5＝7是关于x的 一元一次方程，则m＝ ，x＝6 该方程的解（填“是”或 “不是”）. －2　 2　 是　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 解：由题意可知，3x｜n－2｜－3与－3x2互为相反数，所以｜n－2｜－3 ＝2.所以n－2＝5或n－2＝－5.所以n＝7或n＝－3.当n＝7时，n2－n ＋1＝49－7＋1＝43；当n＝－3时，n2－n＋1＝9＋3＋1＝13.所以n2－ n＋1的值为13或43 14. 若方程3x｜n－2｜－3－3x2＋2x－2＝0是关于x的一元一次方程，求n2－n＋1的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了A，B两家的苹果和橘 子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要 比每千克橘子贵12元，购买2千克苹果与购买5千克橘子的费用相等.设 每千克橘子的价格为x元. （1） 根据题意列出方程. 解：（1） 根据题意，得2（x＋12）＝5x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （2） 在x＝6，x＝7，x＝8中，哪一个是（1）中所列方程的解？ 解：（2） 把x＝6，x＝7，x＝8分别代入2（x＋12）＝5x.当x＝6 时，2（x＋12）＝36，5x＝30，方程左、右两边的值不相等，所以x ＝6不是方程的解.当x＝7时，2（x＋12）＝38，5x＝35，方程左、右 两边的值不相等，所以x＝7不是方程的解.当x＝8时，2（x＋12）＝ 40，5x＝40，方程左、右两边的值相等，所以x＝8是方程的解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （3） 经洽谈，A家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；B家 优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折.假设小张购买30 千克苹果和a千克橘子（a＞3）. ① 请用含a 的代数式分别表示出小张在A，B两家购买苹果和橘子所花 的费用； ② 若a＝16，你认为在哪家购买比较合算？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 解：（3） 由（2）知，橘子每千克8元，苹果每千克20元.① 在A家购买 苹果和橘子所花的费用为30×20＋8 ＝（8a＋576）元，在B家 购买苹果和橘子所花的费用为30×20＋8a×0.8＝（6.4a＋600）元 ② 因为在A家购买苹果和橘子所花的费用为8a＋576＝8×16＋576＝ 704（元），在B家购买苹果和橘子所花的费用为6.4a＋600＝6.4×16＋ 600＝702.4（元），704＞702.4，所以在B家购买比较合算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 16. 阅读材料： 方程x3＋x＝13＋1的解是x＝1；x3＋x＝23＋2的解是x＝2；x3＋x＝ （－2）3＋（－2）的解是x＝－2. 根据以上材料，解答下列问题： （1） 方程x3＋x＝43＋4的解为 ⁠； （2） 关于x的方程x3＋x＝a3＋a的解为 ⁠； x＝4　 x＝a　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （3） 请验证第（2）问猜想的结论； 解：（3） 把x＝a代入，左边＝a3＋a＝右边 （4） 利用第（2）问的结论，求关于x的方程（x－1）3＋x＝（a＋ 1）3＋a＋2的解. 解：（4） 整理，得（x－1）3＋x－1＝（a＋1）3＋a＋1，所以x－1 ＝a＋1.所以x＝a＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $$