九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷（考试范围：浙教版八下全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：浙教版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）下面四个手机应用图标，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江台州·开学考试）使二次根式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 4．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）若三点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）下列命题中，真命题是（　　） A．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 6．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，且满足．若，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为(    ) A．12 B．15 C．24 D．30 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 10．（22-23九年级下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是8环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知 的成绩更稳定． 12．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 13．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）关于某四边形的三个特征描述：①对角线垂直；②一组邻边相等；③对角线互相平分；选择其中两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则选择的条件可以是 ．（填序号，只需写出一种） 14．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，正方形的边长为5，点，分别在，上，且，与交于点，若四边形的面积为4，则 ． 15．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 18．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 19．（23-24八年级下·浙江台州·期末）某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下： A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96； B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98． 数据分析如下表： 组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀） A组 88 87.5 82 B组 88 84 30% 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由； (3)选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？ 20．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求关于x的函数表达式及点B的坐标． (2)当时，；当时，．求t的取值范围． 21．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 24．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：浙教版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）下面四个手机应用图标，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2．（22-23九年级上·浙江台州·开学考试）使二次根式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握使得二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：D 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念． 利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与被涂污数字无关． 故选：B． 4．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）若三点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵三点，，都在函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）下列命题中，真命题是（　　） A．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，且满足．若，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据平行四边形的性质得出，，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为(    ) A．12 B．15 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 由翻折可得，进而可得，结合的周长为的周长为42，可得，即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为平行四边形， ， ，，， ∵的周长为12， ， 又∵的周长为42， ， ， 解得：． 故选：B． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得，则可得．再根据得，则可得．设，则，，．在中，根据勾股定理列方程即可求出x的值． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识，根据勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∴在和中， ， ， ； 平分， ∴， ∴在和中， ， ， ； ∵四边形是正方形， ，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ． 故选：D． 10．（22-23九年级下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，即可求出结果． 【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，， ∵和均在反比例函数上， ∴，， 解得：、，、， 当时，； 当时，， ∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或， 设一次函数与x的轴相交于点C， 当时，，即， ∴点C的坐标为：， ∴， 如图所示：， 故选A．    【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是8环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知 的成绩更稳定． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定．据此即可求解． 【详解】解：∵甲、乙两名运动员次射击的平均成绩都是8环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为， ∴甲的成绩更稳定． 故答案为：甲． 12．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得月份租车量为次，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 13．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）关于某四边形的三个特征描述：①对角线垂直；②一组邻边相等；③对角线互相平分；选择其中两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则选择的条件可以是 ．（填序号，只需写出一种） 【答案】①③或②③（仅需填写一个即可）． 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质逐一判定即可． 【详解】解：①③为条件，②为结论时为真命题： 对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等； ②③为条件，①为结论时为真命题： 对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直； ①②为条件，③为结论时为假命题： 由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分； 故答案为：①③或②③（仅需填写一个即可）． 14．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，正方形的边长为5，点，分别在，上，且，与交于点，若四边形的面积为4，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．根据正方形的性质得到，，再根据全等三角形的判定与性质得到，，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：正方形的边长为5， ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积为4 ， ． ． 在中，， ． ． ，， ， 故答案为：3． 15．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 【答案】或 【分析】本题主要考查分母有理化与实数有关的新定义问题，需要注意分类讨论思想的运用．先根据分母有理化法则进行化简，再根据定义即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质．依据题意，作轴于，设，又由四边形为正方形，进而证明，可得，，故，，从而，则，结合四边形为正方形，对角线与互相平分，可得为的中点，故，又在反比例函数，则，即，又正方形的面积为，且，最后列出，进而建立，计算即可得解． 【详解】解：作轴于，设， 又由四边形为正方形， ，． ． 又， ， ． 又， ． ，． 又，， ． ． 四边形为正方形， 对角线与互相平分． 为的中点， 为的中点． ， 又在反比例函数， ． ． 又正方形的面积为， 且， ． ． ． ． 故答案为：16． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （）先把进行二次根式乘除法，然后合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 18．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得 配方，得 即 开方，得 解得，； （2）解：移项，得 则，即， ∴，， 解得，． 19．（23-24八年级下·浙江台州·期末）某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下： A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96； B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98． 数据分析如下表： 组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀） A组 88 87.5 82 B组 88 84 30% 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由； (3)选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？ 【答案】(1)， (2)不同意小明的说法；理由见解析 (3)A组的总体成绩较好． 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握平均数，中位数，众数的计算，根据调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数，优秀率的计算方法即可求解； （2）根据中位数的意义即可求解； （3）根据中位数，优秀率进行判定即可求解． 【详解】（1）解：∵B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98， ∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数， ∵A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96；（大于90分为优秀） ∴； （2）解：∵B组的中位数为分，A组的中位数为分； 小明说：我的成绩是87分，在B组属于中上水平说法是正确的，但是在A组不属于中上水平， ∴不同意小明的说法； （3）解：A组的总体成绩较好，理由如下， A组的成绩中位数为分，高于B组的中位数为分，九年A组级的成绩优秀率，高于B组的优秀率， ∴A组的总体成绩较好． 20．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求关于x的函数表达式及点B的坐标． (2)当时，；当时，．求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法，数形结合的数学思想是解题关键． （1）将点代入可求得，进而得点，故可求；令，可得点； （2）数形结合，分类讨论两种情况即可求解； 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴点， ∴． 令，解得，， 当时，， ∴点． （2）解：观察图象，分两种情况讨论： ①，解得； ②解得． 综上所述，t的取值范围是或． 21．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行四边形的性质可证，可得； （2）过点作，交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于， 在中，，， ， ， 平行四边形的面积． 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故围成的矩形基地边的长为米． （2）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，， 故围成的矩形基地边的长为米或米． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 【答案】(1)点在此反比例函数图像上，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的图像与性质、关于原点中心对称的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后将点B坐标代入即可判断； （2）①根据题意，，，，代入所求式子中求解即可； ②先根据反比例函数的性质得到反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，再根据已知推导出，进而得到，，则，根据反比例函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：点在此反比例函数图像上， 理由：∵反比例函数的图像经过点， ∴，则， 当时，， ∴点在此反比例函数图像上； （2）解：①∵点和点是反比例函数图像上的两点，且点C和点D关于原点中心对称， ∴，，， ∴ ； ②∵， ∴反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，又当时，， ∴当时，y的取值范围为或． 24．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 【答案】探索发现：．特例计算：与的长均为；推理证明：．证明见解析；拓展运用：的长是． 【分析】探索发现：观察图形并且测量线段、的长度，再猜想与的数量关系即可； 特例计算：如图1，连接，求解，，，结合，可得，可得是的中位线，再进一步求解即可； 推理证明：如图2，作交于点L，则，证明，，证明即可； 拓展运用：如图3，连结交于点P，证明垂直平分，连接、，，证明A、E、三点在同一条直线上，四边形是菱形，再进一步解答即可； 【详解】探索发现： 解：观察图形并且测量线段、的长度，得， ∴猜想与的数量关系是， 故答案为：． 特例计算： 解：如图1，连接，    ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴与的长均为． 推理证明： 证明：如图2，作交于点L，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 拓展运用： 解：如图3，连结交于点P，    ∵点与点G关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接、，， ∵，， ∴， ∴， ∴A、E、三点在同一条直线上， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H到的距离是的2倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，三角形中位线的性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$