九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷（考试范围：沪科版八下全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：沪科版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（　　） A．22.5° B．45° C．60° D．30° 6．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）学习生活情境腹有诗书气自华，某市举办以“古诗词大会”为主题的比赛，晨曦中学计划在四支队伍中择优推选一支队伍，参加市级比赛，下表是该校四支队伍参加选拔赛的成绩的平均数和方差.根据表中数据，可知3号队伍的成绩最好且发挥最稳定，则m，n的值可能是（   ） 1 号队伍 2号队伍 3 号队伍 4号队伍 平均数 95 94 m 94 方差 1.8 0.5 n 1.8 A．93，0.5 B．93，1.9 C．95，0.4 D．95，1.9 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中， ，，点D在上，且，分别过点A，B作经过点D且与相交的动直线l的垂线，垂足分别为E，F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（    ）． A．25 B．26 C．27 D．28 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）有一组数据共50个，分布若干组，在它的频数分布表中，有一组频率为，则这一组的频数为 ． 12．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的两个根，则的值 ． 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）把根式根号外的移到根号内，得 ． 14．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 15．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是 ． 16．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在正方形中，点E在边上， ，M是对角线上的一点（是锐角），连接，，过点M作交边于点N，过点N作于点H． （1） ． （2）的面积为 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算: (1)； (2). 18．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）解方程： (1)； (2)． 19．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 20．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新情境中华优秀传统文化古代“四艺”琴棋书画，其中的“棋”就指的是围棋．围棋起源于中国，它是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一．为了解本校学生对于围棋的了解，某校在九年级学生中随机抽取了45名学生进行知识检测（满分10分，最低5分），并按照男、女把成绩整理如图： 平均数 中位数 众数 方差 男生 7.36 8 c 2.07 女生 a b 7 1.96 根据上述信息，解答下列问题： (1)求抽取的女生人数； (2)根据统计图可知，a＝ ，b＝ ，c＝ ； (3)请根据此次测试成绩，你觉得是男生还是女生对围棋更了解？请说明理由． 21．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 22．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 ________ （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________． 【规律应用】 （3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和． 23．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，过点D作于点M，连接，延长 至点 N，连接. (1)请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是 ，并进行证明； (2)若，，求 的长. 24．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 25．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：沪科版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数为非负数，即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故选：D ． 3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴的取值范围是且， 故选：C． 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（　　） A．22.5° B．45° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 6．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）学习生活情境腹有诗书气自华，某市举办以“古诗词大会”为主题的比赛，晨曦中学计划在四支队伍中择优推选一支队伍，参加市级比赛，下表是该校四支队伍参加选拔赛的成绩的平均数和方差.根据表中数据，可知3号队伍的成绩最好且发挥最稳定，则m，n的值可能是（   ） 1 号队伍 2号队伍 3 号队伍 4号队伍 平均数 95 94 m 94 方差 1.8 0.5 n 1.8 A．93，0.5 B．93，1.9 C．95，0.4 D．95，1.9 【答案】C 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的意义． 根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】解：号队伍的成绩最好， ， 又号队伍发挥最稳定， ， 符合此条件的是，， 故选：C． 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件商品售价为元，则每天可销售件，根据每日的总利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件， 依题意，得：， 即． 故选：D． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中， ，，点D在上，且，分别过点A，B作经过点D且与相交的动直线l的垂线，垂足分别为E，F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于将线段和与面积联系求解．连接，作，垂足分别为，可证；求得、的值；，可得，可知当时，最小，最大，进而求解的值，故可知的最大值． 【详解】解：如图，连接，作，垂足分别为 由题意知 在和中 ∴ ∴， 在中，， ， ∴ 在中，由勾股定理得 ∵， ∴， ， ∴当时，最小，最大， ∴此时， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（    ）． A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、完全平方公式、解二元一次方程组等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设，则，；由、可得、，再根据完全平方公式以及实际意义可得、，进而得到，然后代入即可解答． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴（舍弃负值），（舍弃负值）， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）有一组数据共50个，分布若干组，在它的频数分布表中，有一组频率为，则这一组的频数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频数，根据频数总数频率进行求解即可． 【详解】解：， ∴这一组的频数为23， 故答案为：23． 12．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的两个根，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】是关于的方程的根 故答案为：． 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）把根式根号外的移到根号内，得 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型．由于根号内为，所以，所以将移到根号内时根号外面要加负号，然后再把根号内值化简即可． 【详解】解：有意义， ，即， 原式 故答案为： 14．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 【答案】/52度 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 【详解】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 在中，利用勾股定理可得，根据菱形的性质可得,,进而得到、，再在中，利用勾股定理可得长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：在中，， ∵菱形的对角线相交于点E， ∴, ∴， ∴， 在中，可得， ∵菱形的对角线相交于点E， ∴, ∴． 故答案为：． 16．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在正方形中，点E在边上， ，M是对角线上的一点（是锐角），连接，，过点M作交边于点N，过点N作于点H． （1） ． （2）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过M作于P，于Q，根据证明可求出的值； （2）过E作于F，根据证明得，由是等腰直角三角形求出，根据勾股定理求出，进而可求出的面积． 【详解】（1）如图所示，过M作于P，于Q，则， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5； （2）如图所示，过E作于F，则，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算: (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则和和多项式除以单项式法则． （1）根据完全平方公式和多项式除以单项式法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法则和绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴或 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 19．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的判别式求解即可； （2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程无实数根 ∴ 解得； （2）∵方程 ∴当时，即时，方程为 ∴方程为一元一次方程，有一个实数根， 当且时，方程为一元二次方程 ∴ ∵ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 20．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新情境中华优秀传统文化古代“四艺”琴棋书画，其中的“棋”就指的是围棋．围棋起源于中国，它是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一．为了解本校学生对于围棋的了解，某校在九年级学生中随机抽取了45名学生进行知识检测（满分10分，最低5分），并按照男、女把成绩整理如图： 平均数 中位数 众数 方差 男生 7.36 8 c 2.07 女生 a b 7 1.96 根据上述信息，解答下列问题： (1)求抽取的女生人数； (2)根据统计图可知，a＝ ，b＝ ，c＝ ； (3)请根据此次测试成绩，你觉得是男生还是女生对围棋更了解？请说明理由． 【答案】(1)20人 (2)7.6，7.5，8 (3)女生，理由：因为女生知识检测成绩的平均值比男生高 【分析】（1）根据总人数和男生的人数可解答； （2）根据定义解答即可； （3）根据平均数解答即可． 【详解】（1）（人）， 所以抽取女生的人数是20人； （2）男生一共25人，8分出现的次数最多，所以众数是8，即； 平均数为，即； 女生一共有20人，最中间的两个是7分，8分，所以中位数是，即. 故答案为：7.6，7.5，8； （3）女生，理由：因为女生的知识检测成绩的平均值比男生高． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数，众数等，从统计图中获取信息是解题的关键． 21．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上即可； （2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 22．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 ________ （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________． 【规律应用】 （3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用． （1）先根据五边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据正边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，求出的度数． （2）根据（1）中的数据总结规律． （3）引用（2）中总结的公式求出，然后利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】（1）正五边形的内角， ∴； （2）观察（1）中结论，时，； 时，； 时， 时， 总结规律，则有； （3）当时， ∴解得 ∴该正多边形的内角和为． 23．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，过点D作于点M，连接，延长 至点 N，连接. (1)请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是 ，并进行证明； (2)若，，求 的长. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（）添加的条件为．证明四边形是平行四边形，再由即可求证； （）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得，利用勾股定理求出，得到，再利用菱形的面积即可求出的长； 【详解】（1）解：添加的条件为．                               证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴，     ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键． 24．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)线段的长度为3 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质即可得出答案； （2）由勾股定理得出，由折叠的性质得出，从而得出，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）设点，过点作，交y轴于点，交于点，证明，得出，求出，从而得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与线段上的点重合， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴线段的长度为3； （3）解：设点， 如图，过点作，交y轴于点，交于点， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 25．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）证明点，，在同一条直线上后，再证明为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证； （2）把沿着翻折，得到，连接．由折叠可得 ，，，．先证明为等边三角形得．再由，得．利用勾股定理即可得解； （3）由折叠性质得，， ，．进而根据角平分线得．，从而得．证是等边三角形得．在中，根据勾股定理得，从而由，，即可得解． 【详解】(1)证明∶把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上． 又∵，， ∴为等边三角形． ∴． (2)解：如图所示，把沿着翻折，得到，连接． 由折叠可得 ，，，． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． (3)．理由如下： 如图，把沿边翻折得到，连接，，则，， ，． ∵平分，， ∴． ∴． 又∵ ，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， 又∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，角平分线的有关计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$