精品解析：四川省成都市川大附中（十二中）2022-2023学年九年级上学期入学考数学试题

川大附中初中部2022-2023学年（上）初三开学适应性训练 数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，于点D，则AD的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 已知是分式方程的解，那么k的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ） A. 小于4件 B. 大于4件 C. 等于4件 D. 不小于4件 7. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的方格纸中，小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，在图中格点上找一点C，使得的面积为，满足条件的点C有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 10. 当_____时，分式的值为0． 11. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为______． 12. 如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 _____． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解不等式组：； （2）化简：． 15. （1）解方程x2﹣x﹣6＝0； （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，求m的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，，． （1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将绕点O旋转180°，画出旋转后的； （3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为______． 17. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 18. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图，连接，若，，，求的面积； （3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________． 20. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 21. 如图，在中，，，过点作，且．点在边上，以为直角边作等腰，且．连接，当时，的面积是______． 22. 如图，将的方格纸放置在平面直角坐标系xOy中，使得格点A的坐标为，格点B的坐标为．已知点，，，，若顺次连接A，，，，，B得到的折线段恰好平分该方格纸的面积，则m，n应满足的数量关系为______． 23. 已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件． （1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价； （2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件． ①用含a的式子表示b； ②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润． 25. 如图，在平面直角坐标系中直线与直线交于点，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过中点E作直线轴． （1）求直线的解析式和m的值； （2）点P在直线上，当时，求点P坐标； （3）点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 26. 在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且＝4，将B绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）． （1）如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE； （2）如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G． ①求线段BF的取值范围； ②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF； （3）如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中初中部2022-2023学年（上）初三开学适应性训练 数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题关键． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的方法依次分析各项即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误； B. ，故本选项错误； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查提公因式法和公式法分解因式，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止． 3. 如图，已知，那么∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形的外角和等于360°即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠4=120° 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和公式，熟练掌握多边形是外角和公式是解题的关键． 4. 如图，在中，，，于点D，则AD的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形底边上的垂线是中线，计算出BD，再根据勾股定理计算出AD． 【详解】解：在中，，, ∴点D是BC的中点, ∴, 在中, , ∴, ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的相关知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5. 已知是分式方程的解，那么k的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】把代入原方程，从而可得答案. 【详解】解： 是分式方程的解， 解得： 故选D 【点睛】本题考查的是分式方程的解，掌握“分式方程的解的含义”是解本题的关键. 6. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ） A. 小于4件 B. 大于4件 C. 等于4件 D. 不小于4件 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像即可求解． 【详解】解：由图可知， 当销售收入大于销售成本时，即的图像在的上方， 则的部分的图像在的上方， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，审清题意，理解函数图像的信息是解题的关键． ． 7. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形，故能判定四边形是平行四边形，不合题意； 、当时，同理可得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形，不合题意； 、当时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴能判定四边形是平行四边形，不合题意； 、当时，无法证明，即得不到， ∴不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 故选：． 8. 如图，在的方格纸中，小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，在图中格点上找一点C，使得的面积为，满足条件的点C有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后利用三角形面积求出底AB边上的高h，最后利用作平行线与格点的交点即可得出结论． 【详解】解：AB的长为， 当△ABC的面积为时，AB边上的高为：， ∴过点平行AB的格点都合适，如图所示： ∴符合条件的格点有5个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查格点作图，平行线的性质，三角形面积，掌握平行线的性质平行线间的距离处处相等，利用三角形面积求出平行线间的距离是解题关键． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 10. 当_____时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，根据分子等于零且分母不等于零求解即可． 【详解】解：由题意得：，且 ． 解得 ． ． 11. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移，由平移的性质得，，即得，进而可求出四边形的周长，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质得，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故答案为：． 12. 如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案． 【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线， 连接EC，如图， 所以， 所以， 所以∠BEC=∠CEA=90°， 因为，， 所以， 在中，， 所以， 因此的长为7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别解一元一次不等式，再求交集即可； （2）先将括号内式子通分，再将分式除法转换为分式乘法，最后约分化简． 【详解】（1）解： 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴原不等式组的解集为：． （2）解：原式． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组及分式的约分化简，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤、分式的运算法则并正确计算是解题的关键． 15. （1）解方程x2﹣x﹣6＝0； （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）x1＝3，x2＝-2；（2）m≤1 【解析】 【分析】(1)利用因式分解法求解即可； (2)根据判别式△=b²-4ac≥0得到关于m的不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】解：(1)方程x2﹣x﹣6＝0， 分解因式得：(x﹣3)(x+2)＝0， 所以x﹣3＝0或x+2＝0， 解得：x1＝3，x2＝-2； (2)∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根， ∴Δ＝=b²-4ac=(-2)2﹣4m＝4﹣4m ≥ 0， 解得：m≤1． 故m的取值范围为m≤1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及判别式，属于基础题；当判别式△=b²-4ac＞0时，方程有两个不相等实数根；当判别式△=b²-4ac=0时，方程有两个相等实数根；当判别式△=b²-4ac＜0时，方程没有实数根． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，，． （1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将绕点O旋转180°，画出旋转后的； （3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A1的坐标可知将向右平移6个单位，再上上平移2个单位即可得到； （2）根据旋转的性质画出旋转后对应的即可； （3）先根据图形得出A1和A2的坐标，再根据对称中心的性质即可求出对称中心P的坐标． 【小问1详解】 如图所示：即为所求， 【小问2详解】 如图所示：即为所求， 【小问3详解】 已知A1的坐标(1,3)，根据图形可知A2的坐标为：(5,-1)， 则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：， 点P的坐标． 故答案是：（3，1） 【点睛】本题考查了图形的平移和旋转以及求图形对称中心坐标的知识，掌握中心对称图形的性质是解答本题的关键． 17. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，为对角线的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； ②3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）①根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形； ②根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②∵四边形是矩形， ∴，， 而， ∴，，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得． 故的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 18. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图，连接，若，，，求的面积； （3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图，过点A作于点，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案； （3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， 即， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由（1）得：，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ▱的面积为； 【小问3详解】 如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点， 由（1）知， 四边形是平行四边形， 由（1）知， 四边形是菱形， ，， 又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，， ，，， 由（1）知四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 、是等腰直角三角形， 垂直平分， 即， 又，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， 又是等腰直角三角形， ， 故BE的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________． 【答案】m≤-3且m≠-6 【解析】 【分析】由题目的已知可得x≥0且x≠3，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 去分母得：2x-（x-3）=-m， 去括号得：2x-x+3=-m， 解得：x=-m-3， 由题意得：-m-3≥0且-m-3≠3， ∴m≤-3且m≠-6， 故答案为：m≤-3且m≠-6． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0． 20. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 21. 如图，在中，，，过点作，且．点在边上，以为直角边作等腰，且．连接，当时，的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定和性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，过点作于，延长交于点，可得四边形是矩形，再证明，得到，，即可得四边形是正方形，得到，进而得，再由三线合一可得，即得，即可得，最后根据三角形的面积公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 如图，将的方格纸放置在平面直角坐标系xOy中，使得格点A的坐标为，格点B的坐标为．已知点，，，，若顺次连接A，，，，，B得到的折线段恰好平分该方格纸的面积，则m，n应满足的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接与 ，且与相交于，根据条件可知与、 与、与关于点对称，即可得到答案． 【详解】如图，连接与 ，且与相交于， 要使连接A，，，，，B得到的折线段恰好平分该方格纸的面积， 则 与、 与、与关于点对称， ， ，，，，， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查点的坐标，理解题意是解决问题的关键． 23. 已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转得到x轴，判断符合要求的点即可；由可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点处，得到、都为等边三角形，得到，进而得到结论． 【详解】：根据定义，绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”， 将y轴绕点顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点． ， 点B绕点P旋转后落在点C上，则BP=PC， 又， ， 点P在CD的垂直平分线上， 又点A在上， 则点A的对应点在上， 、都为等边三角形 ，， ∵，， ， ∴， 设，则，， ，， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“顺合点”是解题关键． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件． （1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价； （2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件． ①用含a的式子表示b； ②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润． 【答案】（1）普通帐篷为150元/件，防晒帐篷为300元/件 （2）①；②小明采购防晒帐篷16件，普通帐篷18件，此时获得最大利润为1820元 【解析】 【分析】（1）设普通帐篷为x元/件，则防晒帐篷为2x元/件，根据4500元购买的防晒帐篷-5件=用1500元购买的普通帐篷数，列出方程，解方程即可； （2）①根据防晒帐篷采购a件+普通帐篷采购b件=7500元，列出关于a、b的关系式即可； ②设利润为w元，根据利润=售价-进价，用a表示出w，并根据不等关系列出关于a的不等式，求出a的取值范围，根据一次函数的性质，结合a的取值范围，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设普通帐篷为x元/件，则防晒帐篷为2x元/件， 由题知：， 解得：， 经检验：时方程左边=右边， ∴原分式方程的解为， ∴防晒帐篷（元/件）， 答：普通帐篷为150元/件，防晒帐篷为300元/件． 【小问2详解】 ①， ∴； ②设利润为w元， ∴ ∴， ∵， ∴w随a的增大而增大， 又∵a为整数， ∴时，最大利润（元）， 方案为：防晒帐篷16件，普通帐篷18件． 答：小明采购防晒帐篷16件，普通帐篷18件，此时获得最大利润为1820元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键，注意分式方程的解要进行检验． 25. 如图，在平面直角坐标系中直线与直线交于点，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过中点E作直线轴． （1）求直线的解析式和m的值； （2）点P在直线上，当时，求点P坐标； （3）点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）， （2）P点坐标为或 （3）Q点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）过点P作直线的平行线，过点F作交于点G，由三角形面积可得，由，可得，可求或，再分别求P点坐标即可； （3）设，，再分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形对角线时；③当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【小问1详解】 解：在上， ， ， ， 设线的解析式为， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， ， ， 过点P作直线的平行线，则，过点F作交于点G， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ∴， ∴或， 当时，，联立方程组， 解得， ； 当时，，联立方程组， 解得， ； 综上所述：P点坐标为或； 【小问3详解】 解：设，， ①当为平行四边形的对角线时，， 解得， ； ②当为平行四边形对角线时，， 解得， ； ③当为平行四边形的对角线时，， 解得， ； 综上所述：Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论是解题的关键． 26. 在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且＝4，将B绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）． （1）如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE； （2）如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G． ①求线段BF的取值范围； ②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF； （3）如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值． 【答案】（1）S△BCE=6； （2）①1＜BF＜5；②证明见解答； （3）BN的最小值为-，BN的最大值为2． 【解析】 【分析】（1）如图1，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，根据题意求得∠EBF=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2，代入面积公式算出结果； （2）①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，可证得四边形BCKE是平行四边形，得出：BE=CK==4，BC=6，再运用三角形三边关系即可求得答案； ②可证△EKB≌△BGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出结论； （3）连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，可证△ABE是等腰直角三角形，得出：AE=AB=4，再由点P是AE的中点，可得：BP⊥AE，且BP=AP=EP=2，利用勾股定理得BQ=，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ=-，当点S与点E重合时，EM=0，PN=0，此时，BN的最大值=BP=2． 【小问1详解】 解：如图1，过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H， ∴∠EHC=90°， ∵∠ABC=60°，∠EBA=90°， ∴∠EBH=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°， ∵点在BC边上且=4，将B绕点B逆时针旋转α°得到BE， ∴BE=B=4， ∴EH=BE=×4=2， 又∵BC=6， ∴S△BCE=BC•EH=×6×2=6； 【小问2详解】 解：①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK， ∵EF=FC，BF=FK， ∴四边形BCKE是平行四边形， ∴BE=CK==4，BC=6， 在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK， ∴6-4＜BK＜6+4， 即2＜2BF＜10， ∴1＜BF＜5； ②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4， ∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，ADBC，AD=BC，BE=AB， ∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°， ∴∠EBK=∠A， ∵EKBC， ∴EKAD， ∴∠EKB=∠BGA， 在△EKB和△BGA中，， ∴△EKB≌△BGA（AAS）， ∴BK=AG， 由①知：BK=2BF， 又∵AG=AD-DG， ∴2BF=BC-DG； 【小问3详解】 解：连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ， ∵∠ABE=90°，AB=BE=4， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=AB=4， ∵点P是AE的中点， ∴BP⊥AE，且BP=AP=EP=2， ∵N是AM的中点，P是AE的中点， ∴PN是△AEM的中位线， ∴PNEM， ∴∠ANP=∠AME=90°， ∵点Q是AP的中点， ∴QN=PQ=AP=， 在Rt△BPQ中，BQ=， 当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ=-， 当点S与点E重合时，EM=0，PN=0， 此时，BN的最大值=BP=2． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $