3.2.2单调性、奇偶性的综合应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

　3.2.2单调性、奇偶性的综合应用 3.2　函数的基本性质 第三章 函数的概念与性质 www.gzjxw.net 【学习目标】 1.能运用函数的单调性和奇偶性解决大小比较； 2.能运用函数的单调性和奇偶性解决不等式的综合问题,发展数学运算素养。 【学习重点】 会利用函数的单调性和奇偶性解决简单问题 【学习难点】 掌握函数单调性与奇偶性的综合应用 学习目标——明确方向，把握重、难点 www.gzjxw.net 1.增函数、减函数有什么特征？ 从图像看，增函数呈上升趋势， 减函数呈下降趋势 从定义看， 增函数：对定义域内某区间上任意x1 ,x2 , 当 x1 <x2 时，都有f(x1 )<f(x2 ) 减函数：对定义域内某区间上任意x1 ,x2 , 当 x1 <x2 时，都有f(x1 )>f(x2 ) 知识回顾 同号为增 异号为减 www.gzjxw.net 2.奇函数、偶函数有什么特征？ 奇函数：图象关于原点对称， 对定义域内任一个，有 偶函数：图象关于轴对称， 对定义域内任一个, 有 知识回顾 www.gzjxw.net 结论： 奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 1.已知奇函数f(x)在[a,b]上是增函数，试问： 它在[-b,-a]上是增函数还是减函数？ 2.已知偶函数f(x)在[a,b]上是增函数，试问： 它在[-b,-a]上是增函数还是减函数？ 思考 增函数 减函数 www.gzjxw.net 解析:因为奇函数f(x)在区间[-6,-2]上是单调递减,且最小值是1,所以函数f(x)在区间[2,6]上是单调递减,且最大值是-1. 答案:C 探究与发现 探索点一 应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小 【例1】　(1)若奇函数f(x)在区间[-6,-2]上单调递减,且最小值是1,则它在区间[2,6]上是 (　　) A.单调递增,且最小值是-1 B.单调递增,且最大值是-1 C.单调递减,且最大值是-1 D.单调递减,且最小值是-1 www.gzjxw.net 解析:因为f(x)在R上是偶函数, 所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3), 而2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数, 所以f(2)<f(3)<f(π),所以f(-2)<f(-3)<f(π).故选A. 答案:A 探究与发现 (2)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2), f(π),f(-3)的大小关系是 (　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2)　　B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2)　　D.f(π)<f(-2)<f(-3) www.gzjxw.net 变式训练1：若偶函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调递增,则f(-5),f(-2),f(4)的大小关系为 . 探究与发现 解析:由于f(x)是偶函数, 且在区间(-∞,0]上单调递增, 所以f(-5)<f(-4)<f(-2) 因为f(-4)=f(4), 所以f(-5)<f(4)<f(-2) www.gzjxw.net 方法规律 1.函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在区间[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性. (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在区间[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性. 2.应用函数的单调性和奇偶性判断函数值大小的方法 先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较. www.gzjxw.net 解析:由题意,知f(-2)=f(2)=0. 当x∈(-2,0)时,f(x)<f(-2)=0. 由对称性,知x∈[0,2)时,f(x)为单调递增,f(x)<f(2)=0, 故x∈(-2,2)时,f(x)<0,因此选B. 答案:B 探究与发现 探索点二 利用单调性与奇偶性解不等式　 【例2】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上单调递减,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 (　　) A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) www.gzjxw.net 探究与发现 (2)已知奇函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0. 解:因为y=f(x)(x∈(-1,1))是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以f(1-x)+f(1-3x)<0可化为 f(1-x)<-f(1-3x),即f(1-x)<f(3x-1). 又因为y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减, 所以 解得0<x<,即不等式的解集为(0,. www.gzjxw.net 变式训练2：已知函数y=f(x)在区间(-1,1)上的偶函数, 且f(x) 在[0,+∞)上单调递增，解不等式f(1-x) < f(3x-1) 即不等式的解集为：(, ) 探究与发现 解： www.gzjxw.net 探究与发现 变式训练3：已知奇函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递增,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0. www.gzjxw.net 方法规律 利用函数的奇偶性和单调性解不等式的关注点 (1)利用奇偶性将不等式两边变成只含“f”的式子[f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式]. (2)利用单调性脱去“f”,列出关于x的不等式. (3)树立定义域优先的意识,注意定义域对x取值的影响. www.gzjxw.net 课堂小结 www.gzjxw.net 解:由例题(2)的解答,知f(1-x)<f(3x-1). 又因为f(x)在定义域(-1,1)上单调递增, 所以解得<x<. 即不等式的解集为{x|<x<}. 课堂建构 $$