第二章 特殊三角形 单元培优测试卷2- 2024—2025学年数学八年级上册

特殊三角形培优卷2 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（　　） A．1， ， B．7，24，25 C．4，5，6 D． ， ，1 3．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（　　） A． B．2 C． D． 4．如图，数轴上点A、B、C分别对应、、，过点作，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A． ， ， B．a：b：c=3：4：5 C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 6．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短路线长为（　　）(杯壁厚度不计) A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 7．如图，Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3-S1的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 8．如图，∠AOB=30°，点P在OB上且OP=2，点M，N分别是OA，OB上的动点，则PM+MN的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C． D． 10．如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则（　　）． A．10 B．7 C．8 D．9 二、填空题（每题3分，共18分） 11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　 　． 12．如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为　 　. 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为　 　． 14．如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为　 　. 15．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为　 　． 16．如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则　 　． 三、综合题（17-18题6分，19-23每题8分，共52分） 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上. （1）直接写出边 AB、AC、BC 的长． （2）判断△ABC 的形状，并说明理由． 18．如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上（墙与地面垂直），这时梯子下端 与墙角 距离为7米． （1）求梯子顶端 与地面的距离 的长； （2）若梯子的顶端 下滑到 ，使 ，求梯子的下端 滑动的距离 的长． 19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由. 20．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△ACQ； （2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 21．如图，在 ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE． （1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG2﹣GE2＝EA2； （3）若BC＝2 ，求 BDH的面积． 22．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t=2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 23．如图，射线 于点A、点C、B在 、 上，D为线段 的中点，且 于点E. （1）若 ，直接写出 的值； （2）若 ， 的周长为24，求 的面积； （3）若 ，C点在射线 上移动，问此过程中， 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】DCCBD 6-10．【答案】BDDDA 11．【答案】 12．【答案】24 13．【答案】8 14．【答案】 15．【答案】9 16．【答案】6 17．【答案】（1）解：AB＝ ，AC＝ = ，BC＝ ； （2）解：△ABC 是等腰直角三角形，理由如下： ∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵AB＝AC， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 18．【答案】（1）解：在 中， 米， 米， 故 米， （2）解：在 中， 米， 米， 故 米， 故 米． 答：梯子的下端 滑动的距离 的长为8米． 19．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90 ， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED， ∴CF＝EB； （2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE＋BE＝AF＋FC＋BE＝AF＋2BE. 20．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， 在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(SAS) （2）解：∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ， ∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°， ∴△APQ是等边三角形. 21．【答案】（1）解：BH＝AC，理由如下： ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCD＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠ABC ∴DB＝DC， ∵∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠HBD＝90°， ∴∠HBD＝∠ACD， 在△DBH和△DCA中 ， ∴△DBH≌△DCA（ASA）， ∴BH＝AC． （2）证明：连接CG， 由（1）知，DB＝CD， ∵F为BC的中点， ∴DF垂直平分BC， ∴BG＝CG， ∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC， ∴EC＝EA， ∴CB＝AB， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2＝CE2， ∵CE＝AE，BG＝CG， ∴BG2﹣GE2＝EA2． （3）解：∵∠CDB＝90°，∠ABC＝45°， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵BC＝2 ， ∴CD＝BD＝2， ∴AD＝AB﹣BD＝2 2， ∵△DBH≌△DCA， ∴DH＝AD＝2 2， ∴△BDH的面积为 BD•DH 2×（2 2）＝2 2． 22．【答案】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm， BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm， ∵∠B=90°， PQ= = =2 （cm） （2）解：根据题意得：BQ=BP， 即2t=8﹣t， 解得：t= ； 即出发时间为 秒时，△PQB是等腰三角形 （3）解：分三种情况： ①当CQ=BQ时，如图1所示： 则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°， ∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=5 ∴BC+CQ=11， ∴t=11÷2=5.5秒． ②当CQ=BC时，如图2所示： 则BC+CQ=12 ∴t=12÷2=6秒． ③当BC=BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE= = =4.8（cm） ∴CE= =3.6cm， ∴CQ=2CE=7.2cm， ∴BC+CQ=13.2cm， ∴t=13.2÷2=6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 23．【答案】（1）100 （2）解：因为 ，所以 是直角三角形. 因为 ， 的周长为 ，所以 ， 所以 ，解得 ，所以 ， 所以 . （3）解：在 中， ，在 中， ， 所以 . 因为D为线段 的中点，所以 ，所以 . 在 中， ， 所以 （定值）， 故在点C移动的过程中， 的值是定值，其值是 . 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$