5.2.1复数的加法与减法课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

5.2.1　复数的加法与减法 　z1＋(z2＋z3) 新知初探-课前预习 [教材要点] 要点一　复数的加法与减法 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)， 则z1＋z2＝________________，z1－z2＝________________. 2．加法运算律：设z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝____________. (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 eq \x(状元随笔)　1.复数加法运算的理解 (1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形． (2)在这个规定中，当b ＝0，d ＝0时，则与实数的加法法则一致． (3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立． 要点二　复数加减法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up14(→))、eq \o(OZ2,\s\up14(→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \o(OZ1,\s\up14(→))、eq \o(OZ2,\s\up14(→))为两邻边的____________的对角线eq \o(OZ,\s\up14(→))所对应的________，即复数的加法可以按照向量的________来进行，如图，这就是复数加法的几何意义． 平行四边形 复数 加法 这两个复数的差z1－z2与向量eq \o(OZ1,\s\up14(→))－eq \o(OZ,\s\up14(→))2(等于eq \o(Z2Z1,\s\up14(→)))对应．作eq \o(OZ,\s\up14(→))＝eq \o(Z2Z1,\s\up14(→))，则点Z对应复数z1－z2(如图)，即复数(a－c)＋(b－d)i. eq \x(状元随笔)　复数减法的几何定义的实质 (1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差． (2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定． [教材答疑] [教材P170思考交流] 证明：对任意两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R) z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i 所以z1＋z2＝z2＋z1，即复数的加法满足交换律． √ [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个复数的和(或差)仍然是一个确定的复数．(　　) (2)两个虚数的和(或差)一定是虚数．(　　) (3)复数的加法满足结合律，但减法不满足结合律．(　　) (4)复数z是实数的充要条件是z＝eq \x\to(z).(　　) √ × × 2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(　　) A．2＋2i B．4－2i C．2 D．0 解析：(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(3－2＋1)＋(2－1－1)i＝2 答案：C 3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq \o(OA,\s\up14(→))和eq \o(OB,\s\up14(→))，其中O为坐标原点，则|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝(　　) A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(10) D．4 解析：eq \o(AB,\s\up13(→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，故|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|2i|＝2. 答案：B 4．(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝________.(x，y∈R) 解析：原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i ＝(y－x)＋5(y－x)i. 答案：(y－x)＋5(y－x)i 题型一　复数的加、减运算——自主完成 1．若z＋5－6i＝3＋4i，则复数z的值为(　　) A．－2＋10i B．－1＋5i C．－4＋10i D．－1＋10i 解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i. 答案：A 2．已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是(　　) A．1　　　　B.eq \r(2)　　　　C．－1　　　　D．－i 解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i， 故复数z的虚部为－1. 答案：C 3．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________. 解析：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，且z1＋z2＝5－6i， ∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3＝5，,2－y＝－6，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝8.)) ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i 方法归纳 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加、减运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算； (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 题型二　复数加、减运算的几何意义——师生共研 例1　如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)向量eq \o(AO,\s\up14(→))对应的复数； (2)向量eq \o(CA,\s\up14(→))对应的复数； (3)向量eq \o(OB,\s\up14(→))对应的复数． 解析：(1)因为eq \o(AO,\s\up13(→))＝－eq \o(OA,\s\up13(→))，所以向量eq \o(AO,\s\up13(→))对应的复数为－3－2i. (2)因为eq \o(CA,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(OC,\s\up13(→))，所以向量eq \o(CA,\s\up13(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为eq \o(OB,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))，所以向量eq \o(OB,\s\up13(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 方法归纳 1．向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据． 2．利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数． 3．注意向量eq \o(AB,\s\up14(→))对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)． 跟踪训练1　(1)已知i为虚数单位，在复平面内，点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))，则点D对应的复数是(　　) A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i 解析：(1)∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，∴eq \o(BC,\s\up13(→))对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，∵eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(BC,\s\up13(→))， ∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝2，,y－3＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.)) ∴点D对应的复数为3＋5i，故选C. 答案：(1)C　 (2)如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好为平行四边形的四个顶点，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则zA－zC＝________. 解析：(2)因为eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i. 因为a，b∈R，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4＋a＝6，,a＋b＝8，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6.))所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i， 所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i. 答案： (2)2－4i 题型三　与复数模的几何意义有关的应用——师生共研 利用复数的代数形式表示复数的模，根据已知条件，列出方程(组)，解出未知数；也可利用复数的几何意义，借助图形，数形结合求解． 例2　设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1， |z1＋z2|＝eq \r(2)，求|z1－z2|. 解析：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,c2＋d2＝1，,a＋c2＋b＋d2＝2，)) ∴2ac＋2bd＝0， ∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝2， ∴|z1－z2|＝eq \r(2). 方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝4， ∴|z1－z2|2＝2， ∴|z1－z2|＝eq \r(2). 方法三：在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up13(→))，eq \o(OZ2,\s\up13(→))， ∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，∴eq \o(OZ1,\s\up13(→))，eq \o(OZ2,\s\up13(→))不共线， 以eq \o(OZ1,\s\up13(→))，eq \o(OZ2,\s\up13(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2， ∵|z1|＝|z2|＝1，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形， ∵|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2，∴∠Z1OZ2＝90°， ∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形，∴|z1－z2|＝eq \r(2). 方法归纳 1．设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用． 2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 跟踪训练2　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解析：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,c2＋d2＝1，,a－c2＋b－d2＝1，)) ∴2ac＋2bd＝1， ∴|z1＋z2|2＝(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2＝3， ∴|z1＋z2|＝eq \r(3). 方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝4， ∴|z1＋z2|2＝3，∴|z1＋z2|＝eq \r(3). 方法三：在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up13(→))，eq \o(OZ2,\s\up13(→))， ∴eq \o(OZ1,\s\up13(→))，eq \o(OZ2,\s\up13(→))不共线， 以eq \o(OZ1,\s\up13(→))，eq \o(OZ2,\s\up13(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴平行四边形OZ1ZZ2是有一个内角为60°的菱形， ∴|z1＋z2|＝|OZ| ＝eq \r(|OZ1|2＋|ZZ1|2－2|OZ1|·|ZZ1|·cos 120°)＝eq \r(3). 易错辨析　对复数加、减运算的几何意义理解不准确致错 例3　复数z满足|z－1－i|＝1，则|z＋1＋i|的最小值为________． 解析：因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意义得复数z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为eq \r(1＋12＋1＋12)－1＝2eq \r(2)－1. 答案：2eq \r(2)－1 易错警示 易错原因 纠错心得 误认为复数z对应的点的轨迹是以点(1，－1)为圆心，1为半径的圆致错. 根据复数的几何意义知，|z|表示复数z对应的点Z与原点O的距离，也就是向量eq \o(OZ,\s\up14(→))的模；|z－a－bi|(a，b∈R)表示复数z对应的点Z与复数a＋bi对应的点A间的距离|ZA|. $$