6.1.3简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 新知初探-课前预习 [教材要点] 要点一　球 1．球面： 以半圆的________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面． 2．球： ________所围成的几何体． 直径 球面 3．球心： 半圆的________． 4．球的半径： 连接________和球面上任意一点的线段． 5.球的直径： 连接球面上两点且过________的线段． 圆心 球心 球心 6．球的性质： (1)球面上所有的点到________的距离都等于球的半径； (2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是________，其中________的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径． 球心 圆 过球心 eq \x(状元随笔)　球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分． 要点二　旋转体 1．旋转面： 一条平面曲线绕着它所在的平面内的__________旋转一周所形成的曲面． 2．旋转体： ________的旋转面围成的几何体． 一条定直线 封闭 要点三　圆柱、圆锥、圆台 名称 定义 图形表形 圆柱 以________所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的所围成的几何体 圆锥 以_________________________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体 圆台 以______________________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体 矩形的边　 直角三角形的一条直角边 直角梯形垂直于底边的腰 全等的矩形　 等腰梯形 相同 概念 高：在旋转轴上的这条边的长度． 底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的________． 侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的________． 母线：无论转到什么位置，这条边称为侧面的母线． 相同 性质 (1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是________； (2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是________、等腰三角形、________. 圆面　 曲面 圆 eq \x(状元随笔)　1.以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥． 2．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．(　　) (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．(　　) (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(　　) (4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．(　　) × × × √ 2．下列说法不正确的是(　　) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥的侧面展开图是一个扇形 C．圆台的侧面展开图是一个梯形 D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 解析：圆台的侧面展开图是一个扇环，其余的A、B、D都正确． 答案：C 3．如图所示，其中为圆柱体的是(　　) 解析：B、D不是旋转体，首先被排除．又A不符合圆柱体的定义，只有C符合，所以选C. 答案：C 4．如图所示，已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝________. 解析：连接OS，OA，在Rt△OSA中，OA＝4，所以h＝eq \r(SA2－OA2)＝eq \r(52－42)＝3. 答案：3 题型一　旋转体的结构特征——自主完成 1．[多选题]下列说法错误的是(　　) A．球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 B．球的直径是球面上任意两点间的连线 C．用一个平面截一个球，得到的是一个圆 D．空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球 解析：A中，球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，A正确； B中，如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，B错误； C中，球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，C错误； D中，空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，D错误．故选BCD. 答案：BCD 2．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________． 解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面． (2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； (3)不正确，圆台的母线延长相交于一点； (4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体． 答案：(1)(2) 方法归纳 1．判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 题型二　简单组合体的结构特征——师生共研 例1　(1)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 解析：图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．故选D. 答案：D (2)右图中平面图形从下往上依次由等腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，下面说法不正确的是________(填序号)． ①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球； ②该组合体中的圆锥和球只有一个公共点； ③该组合体中的球和半球只有一个公共点. 解析：由题图得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台，所以①不正确，②③正确． 答案：① 方法归纳 (1)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割． (2)用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)，进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体． 跟踪训练1　(1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体是(　　) A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台 解析：(1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°得到的旋转体为两个同底的圆锥的组合体． 答案：C (2)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是________．(填序号) 解析：(2)当截面过底面直径时，截面如图①；当截面不过底面直径时，截面如图⑤. 答案：①⑤ 题型三　空间几何体中的计算问题——微点探究 微点1　有关旋转体的侧面展开图的计算 例2　如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 解析：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离． ∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π， ∴AB′＝eq \r(A′B′2＋AA′2)＝eq \r(4＋2π2)＝2eq \r(1＋π2)， ∴蚂蚁爬行的最短距离为2eq \r(1＋π2). 变式探究　若例2中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？ 解析：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求，AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π， ∴AB′＝eq \r(AB2＋BB′2)＝eq \r(4＋16π2)＝2eq \r(1＋4π2). 所以蚂蚁爬行的最短距离为2eq \r(1＋4π2). eq \x(状元随笔)　解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图： 微点2　简单几何体中的有关计算 例3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解析： 设圆台O′O的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1:16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm，过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以eq \f(SA′,SA)＝eq \f(O′A′,OA).所以eq \f(3,3＋l)＝eq \f(r,4r)＝eq \f(1,4). 解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm. eq \x(状元随笔)　(1)画出圆锥的轴截面．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可． 跟踪训练2　圆锥底面半径为1 cm，高为eq \r(2) cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长． 解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x cm，则AA1＝x cm，A1C1＝eq \r(2)x cm.作SO⊥EF于点O，则SO＝eq \r(2) cm，OE＝1 cm. ∵△EAA1∽△ESO， ∴eq \f(AA1,SO)＝eq \f(EA1,EO)，即eq \f(x,\r(2))＝eq \f(1－\f(\r(2),2)x,1)， 解得x＝eq \f(\r(2),2)，即该内接正方体的棱长为eq \f(\r(2),2) cm. 易错辨析　由平面图形构成旋转体的误区 例4　如图所示，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在直线旋转所得到的几何体． 解析：四边形ABCD有四条边，分四种情况考虑： (1)以边AD所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图①所示． (2)以边AB所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图②所示． (3)以边CD所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图③所示． (4)以边BC所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成的，如图④所示． 易错警示 易错原因 纠错心得 在以边CD、AB为边所在直线旋转得到的几何体时，想象不出几何体的形状，导致画不出几何体 画由平面图形旋转得到的旋转体时要注意明确得到的旋转体的结构特征，以防画不出旋转体 $$