三角函数的最值（值域）问题专题训练-2025届高三数学一轮复习

三角函数的最值（值域）问题 1、 求函数的最小值。 2、 求函数的值域。 3、 求函数的最大值。 4、 求函数的值域。 5、 求函数，的最值。 6、 求函数的最大值。 7、求函数的最小值。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数的最值（值域）问题 1、求函数的最小值。 解： 又 2、求函数的值域。 解： 当时，， 当时，， 函数的值域为 注：可利用正弦函数的图象或者三角函数的定义寻找所求函数的最值： ①正弦函数的图象： ②三角函数的定义： 3、求函数的最大值。 解： 又 4、求函数的值域。 解： 当时，， 当时，， 函数的值域 归纳：形如可化为 ①若，则，； ②若的取值范围有给定，则需要结合正弦函数的图象，判断的最值，进而求得的最值。 5、求函数，的最值。 解： 令，由，得 则原函数可转化为：， 二次函数的对称轴为 当时，；当时， 函数，的最小值为，最大值为2 归纳：形如或，可采用换元法求最值，令（或），则原函数可转化为二次函数，注意要结合变量的取值范围，求新元的取值范围，再求二次函数的最值。 6、求函数的最大值。 解： 令，则 又，， 则原函数可转化为：， 二次函数的对称轴为 当时， 函数的最大值为 归纳：形如，可采用换元法求最值，令，，则原函数可转化为二次函数，注意要结合变量的取值范围，求新元的取值范围，再求二次函数的最值。 7、求函数的最小值。 解： ， 当时，即，；当时，即 ， 函数在上单调递增，在上单调递减 当时，函数取得最小值，此时，，， 归纳：利用导数判断函数的单调性，从而求得函数的最值，这里涉及到解三角函数不等式，可结合三角函数的定义解不等式，如下图所示，直观写出不等式的解集。 此外，我们知道函数的最值在区间端点处或者极值点处取得，那么开区间内，函数如果有最值的话，最值就一定在极值点处取得，所以我们也可以直接将极值点代入，寻找函数的最值。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$