精品解析：山东省淄博市2023-2024学年高三下学期阶段性诊断检测数学试题答案

2024年山东省淄博市高考数学诊断试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据离心率公式，结合渐近线方程求解即可. 【详解】（a＞0，b＞0）渐近线方程为，则. 离心率. 故选：B. 2. 已知等比数列则（　　） A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决. 【详解】根据等比中项知道，求得，则. 又，则. 故选：A. 3. 已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线． 若 则下列说法正确的是（　　） A. a与l相交 B. b与l相交 C. a∥b D. a与β相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于AB，平面，，则， 同理可得，则AB错误； 对于C，由AB知道，则C正确； 对于D，由A知道平面，平面，则，故D错误. 故选：C. 4. 若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 【答案】A 【解析】 【分析】直线经过定点，然后证明定点在圆内可判断. 【详解】经过定点，由于，则定点在圆内. 故直线与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 5. 设，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对变形，进而表示出，再代值计算即得. 详解】由，得， 则，即， 因此， 而，所以. 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为圆 B. 点到原点最短距离为2 C. 点的轨迹是一个正方形 D. 点的轨迹所围成的图形面积为24 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断. 【详解】设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确. 故选：D 7. 中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（ ）种 A. 144 B. 264 C. 288 D. 432 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正面区域的可能的色彩设计方法，再求出反面区域的可能的色彩设计方法，由分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有种不同方法， 对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3， 则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种． 反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种． 同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种， 则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种， 所以双面绣不同色彩设计方法共有种． 故选：B． 8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 10. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意可得为最大值，则得，再由在上有且仅有个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，恒成立，所以的最大值为， 所以，即， 当时，，又， 因为在上有且仅有个零点，所以， 所以，即，得， 所以， 因为，所以， 所以； 对于A：函数的最小正周期，故A错误； 对于B：当时，，又在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故B正确； 对于C：因为， 所以函数的一个对称中心为，故C正确； 对于D：因为，为奇函数，故D正确. 故选：BCD 11. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则下列说法正确的是（　　） A. B. f（x）的图像关于点成中心对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得. 【详解】对A： 令，，则有，故，故A正确； 对B：令，则有，又，故，，故B错误； 对C：令，则有，即， 则 ，故C正确； 对D： ， 则，即， 又，故， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三棱锥中，平面平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面面垂直关系得到面，通过长度关系可求得外接圆圆心到四个顶点的距离相等，可知即为外接球的球心，从而可得外接球半径，进而求得表面积. 【详解】由题意，三棱锥即三棱锥，作图如下， 取中点，设为外接圆圆心， 为边长为的等边三角形， 在上，且， ， 又为以为斜边的等腰直角三角形，所以， 在中，， 面面，面面，面， 面，面，， 在中，， 故， 即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径. 故答案为：. 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，_____． 【答案】 【解析】 【分析】先应用正弦定理求边长,再应用余弦定理求出. 【详解】因为所以， 由余弦定理得, 所以. 故答案为：. 14. “若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知椭圆的性质结合椭圆定义可得轨迹，再利用圆的性质在轴上找一定点，满足，从而将转化为最值问题求解可得. 【详解】由椭圆方程，知.    如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为. 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 由，则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 由，则， 所以，当三点共线（位于两侧）时等号成立. 如图，连接，线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故答案为：5. 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数为，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到切线斜率，进而求出直线即可；（2）求导，再参变分离，构造函数，转化为最值问题即可. 【小问1详解】 当时，， 且， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立． 当且仅当在上恒成立， 则在上恒成立， 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，得， 实数的取值范围为 16. 汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x（x＝t﹣2014） 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 10 12 17 20 26 （1）计算销量y关于年份代码x的线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由； （2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率． 附：若为样本点， 相关系数公式：r；为回归方程，则，． 【答案】（1）有较强线性相关关系， （2） 【解析】 【分析】（1）运用公式求解相关系数，得出结论，进而求出线性回归方程即可; （2）运用条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得， ， ， ， 因此，销量与年份代码有较强的线性相关关系： ， ， 关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题意知，该地区名购车车主中，男车主有名，女性车主有名，购置新能源汽车的男性车主有名，购置新能源汽车的女性车主有名． “一位车主购得新能源汽车”记作事件，“车主是女性”记作事件， 一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为： 17. 已知直角梯形，，，，为对角线与交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： （1）证明：平面； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）相似可得，，结合勾股定理逆定理得到，以及折叠后，，即可证明;（2）证明点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，运用等体积法即可求解；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PBC法向量，再用向量夹角余弦值公式求解即可. 【小问1详解】 直角梯形中， 由相似可得， 因为，，可得，， 故可得，， 由，则由勾股定理逆定理得，，即， ， 翻折后可得，，， 又因为，在平面内， 故平面 【小问2详解】 因为点为边的中点， 所以，又， 所以， 因为平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h， 因为为定值， 当h最大时，三棱锥的体积最大， 而，则， 当h=1时，. 【小问3详解】 由（2）得，当三棱锥的体积最大时， 点P到平面ABC的距离为，即平面． 故，， 又因为， 故，，两两垂直． 故可以为原点， 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题可得，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②4 【解析】 【分析】（1）根据题意，找出之间的关系式，列方程求解即可； （2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；②结合①的信息，令，则，根据点到直线距离公式和三角形面积公式,结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，2ab=4， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如图所示 ①设直线AB的方程为，设 联立，得 (*) = ，， 整理得， 所以直线和直线的斜率之和为定值0． ②由①，不妨取，则 设原点到直线AB的距离为d，则 又，所以 当且仅当时取等号． ． 即四边形ABCD的面积的最大值为4． 19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． （1）求； （2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知定义求出集合，然后结合集合交集运算即可解题； （2）结合所选条件，先求出，在适当放缩后，用等差等比数列，以及求和计算，然后结合单调性以及二项式定理即可判断. 【小问1详解】 当成立时，则能被整除，得， 即， 当成立时，则能被整除，得， 即，则， 显然集合为全体正偶数组成的集合，集合中所有的元素都是奇数， 所以. 【小问2详解】 若选择①， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等差数列，其通项公式为： 设，， 由二项式定理得： ； ； 显然， 所以数列为单调递增数列， 同时， 当时， ， 则， 且， 所以数列有界； 若选择②， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等比数列，其通项公式为 设， 显然， 所以数列单调递增， 其中， ， 所以， 所以数列有界. 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，主要考查集合交集运算，二项式定理，等差等比数列通项应用和求和方法，还考查了数列与函数单调性综合应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省淄博市高考数学诊断试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（　　） A B. C. D. 2. 已知等比数列则（　　） A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10 3. 已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线． 若 则下列说法正确的是（　　） A. a与l相交 B. b与l相交 C. a∥b D. a与β相交 4. 若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 5. 设，若，，则（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 点轨迹为圆 B. 点到原点最短距离为2 C. 点的轨迹是一个正方形 D. 点的轨迹所围成的图形面积为24 7. 中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（ ）种 A. 144 B. 264 C. 288 D. 432 8. 记表示中最大数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数是奇函数 11. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则下列说法正确的是（　　） A. B. f（x）的图像关于点成中心对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三棱锥中，平面平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为 _____． 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，_____． 14. “若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 16. 汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x（x＝t﹣2014） 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 10 12 17 20 26 （1）计算销量y关于年份代码x线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由； （2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率． 附：若为样本点， 相关系数公式：r；为回归方程，则，． 17. 已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： （1）证明：平面； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． （1）求； （2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$