精品解析：浙江省金华市第五中学2022-2023学年八年级上学期期初考试数学试卷

2022-2023学年浙江省金华五中八年级（上）期初数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直角三角形两锐角之和等于90°即可得到答案. 【详解】解：∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠A=90°， ∠BAD+∠CAD=90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°， ∠C+∠CAD=90°， 综上，共有4对互余的角. 故选C. 【点睛】本题主要考查余角，解此题的关键在于准确分析题图，切勿遗漏. 2. 已知，，，则代数式的值是（　　） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解． 【详解】解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 3. 下列命题：（1）无限小数是无理数（2）绝对值等于它本身的数是非负数（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，（5）面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义对（1）进行判断；根据绝对值的意义对（2）进行判断；根据平行线的判定方法对（3）进行判断；根据全等三角形的判定方法对（4）（5））进行判断． 【详解】解：无限不循环小数是无理数，所以（1）错误；  绝对值等于它本身的数是非负数，所以（2）正确；  在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以（3）错误；  有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以（4）错误； 面积相等的两个三角形不一定全等，所以（5）错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 4. 如图所示，在中，，，D、E在上，，于F，则图中全等三角形的对数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件直接利用可证，得到，然后利用可证，得到，求出，利用可证，再求出，利用可证． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即和是直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴图中全等三角形的对数为4对， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理． 5. 如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，内错角相等可得．本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ．   故选： C． 7. 如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为，．则下列四个结论：①上任意一点到点，的距离相等；②上任意一点到边，的距离相等；③，；④；⑤．其中，正确的个数为（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得垂直平分，，可判断③，由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断①②，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：，是的角平分线， 垂直平分，， 上任意一点到点和点的距离相等，故①正确； 是的角平分线， 上任意一点到，的距离相等，故②正确； ，是的角平分线， ，，故③正确； ，， ， 又∵， ， ，，， ， ， ，故④正确， 由条件无法证明，故⑤错误， 故选：C． 8. 在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，还考查了多项式乘多项式．设出小长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图1可得，， 即①， 由图2可得，， 即②， 由①②得，， 所以， 即每个小长方形的面积为5， 故选：A． 10. 如图，与是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，交于点O，．现有如下结论：①；②，③；④；⑤平分，平分；⑥；一定成立的有（ ）个． A. 5个 B. 6个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，故①②正确；证明，则，得到，，故③正确；求出，，则，得到平分，求出，平分，故⑤正确；证明，则，故④正确；由得到，在中，，则，故⑥错误． 【详解】解：∵与是全等的等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，故③正确； ∴，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴平分，故⑤正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， 在中，， ∴，故⑥错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算以及幂的乘方运算，本题属于基础题型．根据积的乘方运算以及幂的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：当，时， ，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设第一个图形中下底面积为． 倒立放置时，空余部分的体积为， 正立放置时，有墨水部分的体积是， 因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的， 故答案为：． 13. 一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形的外角是 _____度． 【答案】130或105或125 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据三角形的两个内角分别为和，分别求出三角形的三个外角即可． 【详解】解：∵三角形的两个内角分别为和， ∴这个三角形的外角可以是：， 或， 或． 故答案为：130或105或125． 14. 用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 可把三角形的周长看作24，再根据三角形的三边关系可得出结论． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边， 只能有12种答案，即① 2、11、11；② 3、10、11；③ 4、9、11；④ 4、10、10；⑤ 5、8、11；⑥ 5、9、10；⑦ 6、7、11；⑧ 6、8、10；⑨ 6、9、9；⑩ 7、7、10；⑪ 7、8、9；⑫ 8、8、8． 故答案为：12． 15. 如图，、分别是边，上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】，所以求出三角形的面积和三角形的面积即可，因为，，且，就可以求出三角形的面积和三角形的面积 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差． 16. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第n个图案有_____个黑色棋子． 【答案】 【解析】 【分析】观察所给图形中点的个数，发现后面一个图形比前面一个图形多3个点，据此发现规律即可． 【详解】第1个图案有(个)， 第2个图案有(个)， 第3个图案有(个)， 第4个图案有(个)， 所以第n个图案有(个)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减中规律猜想问题，掌握枚举法的实质是解题的关键． 三、解答题（本题有8个小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及因式分解，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则，提公因式和公式法进行因式分解． （1）利用负整数指数幂、零次幂、平方根分别计算即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再提公因式，再用完全平方公式进行因式分解； 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）解方程组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）运用加减消元法解决此题． （2）先变形，再去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1、检验，进而解决此题． 本题主要考查解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法、分式方程的解法是解决此题的关键． 【详解】解：（1） ，得③． ，得． 将代入②，得． ． 这个方程组的解为 （2）， ． 方程两边同乘， 得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 的系数化为1，得． 当，． 经检验：是原分式方程的解 这个分式方程的解为． 19. 若，求代数式的值． 【答案】或40或10 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、乘方、代数式求值等知识点，根据零次幂、乘方确定或或是解题的关键． 先根据零次幂、乘方确定或或，然后再分三种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴或或． 当时，原式； 当时，原式； 当时，． 综上，代数式的值或40或10． 20. 如图，与相交于点．求证：． 【答案】 证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 连接，得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据等角对等边得到结论． 【详解】略 21. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ． （2） 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，一元一次方程的应用，分三种情况：当P在上时， 当P在上时，当点P在上时，分别画出图形，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：在长方形中，， ∵点是的中点， ∴， 当P在上时，如图1所示：此时， ∵的面积等于， ∴ ， 解得：； 当P在上时，，如图2所示：， ， ， ∵的面积等于， ∴ 解得：，不符合要求，舍去； 当点P在上时，如图3所示： ， ， ∵的面积等于10， ∴， 解得，符合要求； 综合上述，当或时，的面积会等于10 ． 23. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）； （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2） 略 24. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90； （2）①，理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【解析】 【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①略 ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年浙江省金华五中八年级（上）期初数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 2. 已知，，，则代数式的值是（　　） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 3. 下列命题：（1）无限小数是无理数（2）绝对值等于它本身的数是非负数（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，（5）面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图所示，在中，，，D、E在上，，于F，则图中全等三角形的对数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为，．则下列四个结论：①上任意一点到点，的距离相等；②上任意一点到边，的距离相等；③，；④；⑤．其中，正确的个数为（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 10. 如图，与是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，交于点O，．现有如下结论：①；②，③；④；⑤平分，平分；⑥；一定成立的有（ ）个． A. 5个 B. 6个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，，则的值为_____． 12. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的_____． 13. 一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形的外角是 _____度． 14. 用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形． 15. 如图，、分别是边，上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为________． 16. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第n个图案有_____个黑色棋子． 三、解答题（本题有8个小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）因式分解：． 18. （1）解方程组：； （2）解方程：． 19. 若，求代数式的值． 20. 如图，与相交于点．求证：． 21. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 22. 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 23. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 24. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $