22.3实际问题与二次函数 同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

实际问题与二次函数 一、 利润最大问题 这类问题通常涉及商品销售，要求根据给定的售价、成本、销售量之间的关系，确定最佳的售价以达到最大利润。解决这类问题的关键步骤包括： 确定销售单价、进货单价、销售量和总利润之间的关系。 列出二次函数关系式。 确定自变量的取值范围。 利用二次函数的性质（如开口方向、对称轴等）找到最大值或最小值。 1． 为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档）的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议． 2．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 3．某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 4．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元． (1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？ (2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆，每盆利润增加3元；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元；每减少1盆，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）． ①求，关于x的函数关系式； ②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？ 二、 面积问题 面积问题常与二次函数相关，特别是当涉及到抛物线形（如拱桥、抛物线型屋顶等）的面积计算时。这类问题通常要求根据给定的几何条件，列出面积与某个变量（如宽度、高度等）之间的二次函数关系式，并求解最大值或最小值。 5．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为12米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求的长． (2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？ 6．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？ 7．如图，抛物线过，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于的上方，当的面积为6时，求点的坐标； (3)过作于，连接，点是抛物线上一点，当时，请求出此时点的坐标． 8．校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸三角形ABC裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在三角形ABC的边上．    (1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是三角形ABC纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； (2)设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形MNPQ的面积的最大值． 三、 路径优化问题 路径优化问题也是二次函数在实际应用中的一个重要方面。例如，某物体在重力作用下沿抛物线轨迹运动，需要计算其达到最大高度或最远距离时的条件。这类问题通常要求建立物体的运动轨迹与时间、速度、加速度等变量之间的二次函数关系，并通过求解二次函数来找到最优解。 9．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行．在某场比赛中，球员甲在离对方球门23米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离对方球门11米时，足球达到最大高度6米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求满足条件的抛物线的函数表达式； (2)如果对方球员乙站在球员甲前3米处，乙球员跳起后最高能达到2.88米，请通过计算说明：乙球员能否在空中截住这次吊射？ 10．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为． (1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1． ①求抛物线的解析式； ②通过计算判断此球能否过网； (2) 甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明． 11．足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门米的点处起脚吊射，假如球飞行的线是一条抛物线，在离球门米时，足球达到最大高度米，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是米，在球门前方距离球门线米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？请说明理由． 12．火炮射程的远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，假设在这两个因素都固定的前提下（忽略空气阻力、炮口与底面的高度等其他因素），某科研机构对新研制的火炮（如图1）进行测试，射击时，炮弹飞行的竖直高度单位：百米与水平距离x（单位：百米）近似满足二次函数关系在某次测试时，以炮口为坐标原点，以火炮和山丘所在水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现，当炮弹飞行的水平距离是百米时，达到最大高度是百米；山丘位于火炮正前方，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，山丘高为百米； (1)求出满足炮弹飞行轨迹的函数关系式； (2)判断炮弹是否能够越过山丘，并请说明理由； (3)若在山丘另一侧点处设置一目标物假设火炮、山丘、目标物在同一水平线上；炮弹的最大杀伤半径为百米，则目标物应该设置在距山丘顶部水平距离为多少百米范围内，才能使射击有效？ 四、几何建模问题 几何建模问题通常涉及根据给定的几何条件和约束条件，建立适当的直角坐标系，并列出描述该几何形状的二次函数关系式。例如，通过测量抛物线形拱桥的某些特征点（如顶点、水面宽度等），可以建立描述该拱桥形状的二次函数模型，并用于进一步的计算和分析。 13．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 14．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即）．现以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求出这条抛物线的函数解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 15．学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度． 16．自古就有着“岭南名郡”、“粤东门户”之称的惠州古建筑数量众多，在这些古代建筑中，桥梁是一个重要的组成部分，据不完全统计，惠州有古桥40余座，这些古桥点缀于惠州的青山绿水之间建筑年代不一风格各异，虽历经岁月却古风犹存，不仅代表了惠州城市的变迁、发展，也见证了惠州千百年来的沧桑巨变．其中烟霞桥是惠州西湖六桥中的第三桥，被人们称为六桥中的美女子，它飘逸秀丽气质不凡，桥上可静观湖光山色，看柳色生烟，群鸟飞翔，有“世上黄尘吹不到，烟霞桥外白云封”的意境．如题1图，烟霞桥是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：    (1)如题2图，求该抛物线的函数解析式； (2)当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（结果保留根号） 五、增长率问题 增长率问题也是二次函数在实际应用中的一个重要领域。例如，某公司或地区的经济增长率随时间的变化可以用二次函数来描述。通过求解该二次函数，可以预测未来的增长率趋势或找到最优的增长策略。 17．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 18．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$