第六章　几何图形初步课件2024-2025学年 人教版 数学七年级上册

第六章　几何图形初步 6.3　角 6.3.3　余角和补角 1. 已知∠α=42°12',则与∠α互余的角的度数是 (　　) A. 132°12' B. 137°48' C. 57°48' D. 47°48' 2. 一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠1的余角的度数为 (　　) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 3. 如图,O是直线AB上一点,OD平分∠AOC.若∠DOC=30°,∠AOD和∠DOE互余,则∠COE的度数是 (　　) A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° 4. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°,那么这个角的度数是　　 . 5. 已知∠1=72°.若∠1与∠2互补,则∠2=　 　　;若∠3=∠1,则∠3的补角的度数为　　　　,依据是　　　　 　　　　.  A 130° 108° 108° 等角的补角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 如图,O是直线AB上的一点,OC是∠AOB的平分线. (1) ∠AOD的补角是　　　　,∠COD的余角是　　　　;  (2) ∠BOD的补角是　　　　,∠AOC的补角是　　　　;  (3) 若∠COD=35°,则∠AOD=　　　　,∠BOD=　　　　. ∠BOD ∠AOD ∠AOD ∠BOC 55° 125° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 如图,∠AOB=α(α<90°). (1) ∠AOB的余角为∠AOC,射线OM平分∠AOB,当∠AOB=40°时,求∠MOC的度数; (1) 因为∠AOB的余角为∠AOC,∠AOB=40°,所以 ∠AOC=90°-∠AOB=50°.因为射线OM平分∠AOB, 所以∠MOA=∠AOB=20°.所以∠MOC=20°+50° =70°　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若∠AOB的补角为∠BOD(OD在OB下方),射线ON平分∠BOD,请画出对应图形,并用含α的式子表示∠AON的度数. (2) 如图,因为∠AOB的补角为∠BOD,∠AOB=α,所以 ∠BOD=180°-α.因为射线ON平分∠BOD,所以∠BON =(180°-α)=90°-.所以∠AON=∠AOB+∠BON=90° + 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 下列关于余角和补角的说法,正确的是 (　　) A. 若∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互余 B. 若∠α+∠β+∠γ=180°,则∠α,∠β,∠γ互补 C. 若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互余 D. 若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互补 9. 将一副三角尺按下列方式进行摆放,∠1,∠2不互补的是 (　　) C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图,点A,O,B在同一条直线上,OC是∠AOB的平分线,OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,那么与∠COD互余的角(不包括∠COD本身)有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为OC是平角∠AOB的平分线,所以∠AOC=∠BOC=∠AOB= 90°.因为OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,所以∠AOD=∠COD =∠AOC=45°,∠COE=∠BOE=∠BOC=45°.因为∠AOD+∠COD= 90°,∠COE+∠COD=90°,∠BOE+∠COD=90°,所以∠AOD,∠COE, ∠BOE都与∠COD互余.所以题图中与∠COD互余的角(不包括∠COD本身)有3个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如果一个角的补角的度数是128°16'26″,那么它的余角的度数为 　　　　　　.  12. 若一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°,则这个角的度数为 　　　　.  38°16'26″ 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. (1) 将一副三角尺按如图①所示的方式叠放,使直角顶点重合于点O,则∠AOB+∠DOC=　　　　;  (2) 将一副三角尺按如图②所示的方式叠放,则∠CDE与∠ADC之间的数量关系是　　　　 　　　　　. ∠CDE+∠ADC=180° 180° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角,且OC是∠BOD的平分线.求∠AOC的度数. 由题意,得∠AOB+∠AOC=90°,∠AOD+∠AOC=180°. 可设∠AOC=x°,则∠AOB=(90-x)°,∠AOD=(180-x)°. 因为OC是∠BOD的平分线,所以∠DOC=∠BOC.所以 ∠AOD-∠AOC=∠AOC-∠AOB.所以180-x-x=x-(90-x), 解得x=67.5.所以∠AOC=67.5° 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,A,O,B三点在同一条直线上,∠BOD与∠BOC互补. (1) ∠AOC与∠BOD相等吗?为什么? (1) ∠AOC=∠BOD　 因为∠BOD与∠BOC互补,所以∠BOD+ ∠BOC=180°.因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠AOC=∠BOD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 已知OM平分∠AOC,射线ON在∠COD的内部,且满足∠AOC与∠MON互余. ① 若∠AOC=32°,求∠MON的度数. 如图,① 因为∠AOC与∠MON互余,所以 ∠MON=90°-∠AOC=58°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ② ∠AON与∠DON之间有怎样的数量关系?请说明理由. ② ∠AON=∠DON　理由:因为OM平分 ∠AOC,所以∠AOC=2∠AOM,∠COM= ∠AOM.因为∠AOC与∠MON互余,所以∠AOC+∠MON=90°.所以易得∠AON=90°-∠AOM.所以∠CON=90°-3∠AOM.因为∠BOD与∠BOC互补,所以∠BOD+∠BOC=180°.所以∠CON+∠DON+2∠BOD =180°.又因为∠BOD=∠AOC=2∠AOM,所以∠DON=180°-∠CON-2∠BOD=180°-(90°-3∠AOM)-4∠AOM=90°-∠AOM.所以∠AON= ∠DON. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第六章　几何图形初步 6.2　直线、射线、线段 6.2.2　线段的比较与运算 1. 关于两点之间的距离,下列说法不正确的是 (　　) A. 连接两点的线段就是两点之间的距离 B. 连接两点的线段的长度就是两点之间的距离 C. 如果线段AB=AC,那么点A到点B的距离等于点A到点C的距离 D. 两点之间的距离是连接这两点的所有线中最短的长度 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图,A,B,C,D四点在一条直线上.若AB=CD,则下列表示线段AC的式子错误的是 (　　) A. AC=AD-CD B. AC=AB+BC C. AC=BD-AB D. AC=AD-AB 3. 如图,点B,C,D依次在射线AP上,根据图示,下列线段长度错误的是 (　　) A. AD=2a B. BC=a-b C. BD=a-b D. AC=2a-b C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图,点M,N在线段AB上,N是AB的中点.已知AM=AN=2,则AB=　　　. 5. 如图,线段AB=12cm,C是线段AB的一个三等分点(AC>CB),D是线段AB的中点,则BD=　　　　cm,CB=　　　　cm,DC=　　　　cm. 12 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. (教材P165例1变式)如图所示为线段a,b,用圆规和直尺作线段AB,使它的长等于a-2b(不写作法,保留作图痕迹). 如图,线段AB即为所求作 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P166练习第3题变式)如图,AC=8,CB=6,O是线段AB的中点. (1) 求线段OC的长; (1) 因为AC=8,CB=6,所以AB=AC+CB=14.因为O是线 段AB的中点,所以OA=AB=7.所以OC=AC-OA=8-7=1　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若D是直线AB上一点,BD=2,E为线段BD的中点,求CE的长. (2) 如图①,当点D在线段AB的延长线上时,因为E为线 段BD的中点,BD=2,所以BE=BD=1.所以CE=CB+BE= 6+1=7.如图②,当点D在线段AB上时,因为E为线段BD的中点,BD=2,所以BE=BD=1.所以CE=CB-BE=6-1=5.综上所述,CE的长为7或5 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图,D是AB的中点,E是BC的中点.若AD=6,BC=8,则下列说法错误的是 (　　) A. AC=20 B. DC=16 C. DE=10 D. BE=4 9. 如图,线段AB=16cm,C是AB上的一点,M是线段AC的中点,N是线段BC的中点,则MN=　　　　cm. B 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 数轴上点A,B分别表示数-2和数+1,C是线段AB的中点,则点C表示的数是　　　　;若点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度运动,则t秒后点M表示的数为　　　　　　　　　　.  11. 延长线段AB至点C,使BC=AB,延长线段BC至点D,使CD=BC.如果BD =8cm,那么AB=　　　　cm. -0.5 -2+2t或-2-2t 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,点B在线段AC上,N为线段AB的中点,M为线段AC的中点. (1) 若MN=5cm,求线段BC的长; (2) 若BC=10cm,求线段MN的长. (1) 因为N为线段AB的中点,所以AB=2AN.因为M为 线段AC的中点,所以AC=2AM.所以BC=AC-AB=2AM -2AN=2MN=10cm　 (2) 因为N为线段AB的中点,所以AN=AB.因为M为线段AC的中点,所以AM=AC.所以MN=AM-AN=AC-AB=BC=5cm 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知点C在线段AB上,M为AB的中点,AM=7,CM=2. (1) 如图①,求BC的长; (2) 如图②,点D在线段AB上,若AC=BD,判断M是否为线段CD的中点,并说明理由. (1) 因为M为AB的中点,AM=7,所以BM=AM= 7.又因为CM=2,所以BC=BM-CM=5　 (2) M为线段CD的中点　理由:因为AC=BD,所以AB-BC=AB-AD.所以BC =AD.所以AM-DM=BM-CM.因为M为AB的中点,所以AM=BM.所以DM= CM,即M为线段CD的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图. (1) 若线段AD=6cm,线段AC=BD=4cm,E,F分别是线段AB,CD的中点,求线段EF的长. (1) 因为AD=6cm,AC=BD=4cm,所以AB=AD-BD=2cm, CD=AD-AC=2cm.所以BC=AD-AB-CD=6-2-2=2(cm).又 因为E,F分别是线段AB,CD的中点,所以EB=AB=1cm, CF=CD=1cm.所以EF=EB+BC+CF=1+2+1=4(cm) 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若线段AD=10cm,E,F分别是线段AB,CD的中点. ① 当线段EF=7cm时,求线段BC的长. ② 当AD=acm,EF=bcm时,你能用含a,b的式子表示线段BC的长吗?若能,请直接写出答案. ① 因为AD=10cm,EF=7cm,所以AE+DF=AD-EF=3cm. 因为E,F分别是线段AB,CD的中点,所以AB=2AE,CD= 2DF.所以AB+CD=2(AE+DF)=6cm.所以BC=AD-(AB+ CD)=4cm　 ② 能　BC=(2b-a)cm 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第六章　几何图形初步 6.1　几何图形 6.1.1　立体图形与平面图形 第1课时　认识立体图形与平面图形 1. (2023·巴中)如图所示的图形中为圆柱的是 (　　) 　 　 　 2. 有下列图形:① 三角形;② 长方形;③ 正方体;④ 圆;⑤ 圆锥;⑥ 圆柱.其中,属于立体图形的是 (　　) A. ③⑤⑥ B. ①②③ C. ③⑥ D. ④⑤ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 15 3. 按柱、锥、球分类,下列几何体中,与其余三个不属于同一类几何体的是 (　　) 　 　 　 4. 不透明袋子中装有一个几何体模型,两名同学摸该模型并描述它的特征.甲同学:它有4个面是三角形;乙同学:它有6条棱.该模型对应的立体图形是 (　　) A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 如图所示为一个四棱柱和一个六棱锥,它们各有12条棱,下列棱柱中,与九棱锥的棱数相等的是 (　　) A. 五棱柱 B. 六棱柱 C. 七棱柱 D. 八棱柱 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 写出与下列物体类似的立体图形,文具盒:　　　　　;笔筒:　　　　;骰子:　　　　　.  7. 写出如图①②所示的立体图形的名称,图①:　　　　;图②:　　　　. 长方体 圆柱 正方体 三棱锥 五棱柱 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. (教材P151思考变式)如图,第一行是一些具体的物体,第二行是一些立体图形,将第一行中的物体和第二行中与之相对应的立体图形用线连起来. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 有下列说法:① 正方体是棱柱,长方体不是棱柱;② 正方体是棱柱,长方体也是棱柱;③ 正方体是柱体,圆柱也是柱体;④ 正方体不是柱体,圆柱是柱体.其中,正确的有 (　　) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 如图,一个有盖的正方体盒子(可密封)里装有六分之一高度的水,改变正方体盒子的放置方式,则盒子里的水不能形成的几何体是 (　　) A. 正方体 B. 长方体 C. 三棱柱 D. 三棱锥 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图,组成这个图案的平面图形是　　　　.  　 　　 12. 如图所示的立体图形是　　 　　,它是由　　 　　个三角形和1个 　　　　形组成的.  13. 写出一个有八个面的立体图形:　 . 三角形 四棱锥 4 四边 答案不唯一,如七棱锥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图. (1) 图中哪些物体的形状分别与长方体、正方体类似? (2) 图中哪些物体的形状分别与圆柱、圆锥类似?描述一下圆柱与圆锥的相同点与不同点. (3) 请找出图中与地球形状类似的物体. (1) 长方体:文具盒,书本　正方体:魔方　 (2) 圆柱:笔筒　 圆锥:帽子 　相同点:底面都 是圆;不同点:圆柱有两个底面,圆锥只有一个 底面(合理即可)　 (3) 足球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图所示为6个立体图形,请你找出与图④具有相同特征的图形,并写出它们相同的特征.你还能找出其他具有相同特征的图形吗?若能,请写出相同的特征. 题图②与题图④具有相同的特征, 两者都是棱锥　能　答案不唯一, 如题图③⑥具有相同的特征,都是 棱柱 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第六章　几何图形初步 6.1　几何图形 6.1.1　立体图形与平面图形 第3课时　立体图形的展开与折叠 1. (2023·达州)下列图形中,是长方体表面展开图的为 (　　) 　 　 　 2. (教材P155练习第3题变式)(2022·宿迁)下列展开图中,是正方体展开图的为 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 3. (教材P159习题6.1第8题变式)(2023·长春)如图所示为一个多面体的表面展开图,若多面体的底面是面③,则多面体的上面是 (　　) A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,三棱柱的底面边长都为2cm,侧棱长为5cm,则这个三棱柱的侧面展开图的面积为　　　　cm2.  　 　　 5. 如图所示为一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,和“你”字一面相对的面上的字是　　　　. 30 清 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 小明在学习了立体图形的展开与折叠后,掌握了长方体盒子的制作方法,如图所示为他制作的一个半成品的平面图. (1) 请你在图中补充一个长方形,使该平面图能折叠成一个长方体盒子; 第6题 (1) 补法不唯一,如图所示　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 已知小明制作的长方体盒子的长是宽的2倍,宽是高的2倍,且长方体盒子所有棱长的和为56cm,求这个长方体盒子的体积. 第6题 (2) 设长方体盒子的高为acm,则宽为2acm,长为4acm. 根据题意,得4(a+2a+4a)=56,解得a=2.所以这个长方体 盒子的高为2cm,宽为4cm,长为8cm.所以这个长方体盒 子的体积为2×4×8=64(cm3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图所示为一个长方体包装盒,则该长方体包装盒的展开图可能是 (　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. (2024·江西)如图,从3×4的正方形网格中选择一空白小正方形涂上色,能与涂色部分组成正方体展开图的方法有 (　　) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,去掉这七个正方形中的一个,剩下的平面图形就能成为一个正方体的展开图,则去掉的是标有数字　　　　或　　　　的正方形.  10. 如图所示为一个正方体的展开图,则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是　　　　. 6 7 6 解析:由题意,可知原正方体1与5相对,2与6相对,3与4相对.1+5=6,2+6=8, 3+4=7,其中6最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图所示为一些立体图形的展开图,请写出这些立体图形的名称. 题图①:五棱锥　题图②:三棱柱　题图③:正方体　题图④:五棱柱 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图所示为一个正方体的展开图,每个面上都标注了字母(字母折在外面),请解答下列问题: (1) 如果A面在正方体的底部,那么哪个面会在上面? (2) 如果F面在前面,从左面看是B面,那么哪个面会在上面? (3) 如果从右面看是C面,D面在后面,那么哪个面会在上面? (1) F面　 (2) C面　 (3) A面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第六章　几何图形初步 6.2　直线、射线、线段 6.2.1　直线、射线、线段 1. 下列各图中,表示“射线AB”的是 (　　) 　 2. 如图,下列语句表述错误的是 (　　) A. P为直线AB外一点 B. 直线AB不经过点P C. 直线AB与直线BA是同一条直线 D. B是直线AB的一个端点 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 15 3. 下列叙述准确规范的是 (　　) A. 直线a,b相交于点m B. 延长直线AB C. 反向延长射线AO(O是端点) D. 延长线段AC至点B,使BC=AC 4. 如图,棋盘上有灰白两色棋子若干,找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线,这样的直线共有 (　　) A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 如图,小玉把图中的射线用以下方法进行描述:① 射线EF;② 射线EG;③ 射线GF;④ 延长射线EF.其中,正确的有　　　　　(填序号).  ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 看图填空: (1) 如图①,点C在　　　　　　;  (2) 如图②,点P在　　　　　　　,点Q在　　　　　　;  (3) 如图③,O是直线a,b,c的　　　　或点O在直线a,b,c　　　　. 线段EF上 直线l上 直线l外 交点 上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. (教材P163练习第2题变式)读下列语句,并按照这些语句分别画出图形: (1) 经过点P画直线PQ; (2) 直线CD经过线段AB的端点B; (3) 点D在直线AB上,但在直线AC外. (1) 如图①所示　 (2) 如图②所示　 (3) 如图③所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 下列直线、射线、线段中,能相交的是 (　　) 9. 如图,有下列语句:① 直线l经过点A和点B;② 点A和点B都在直线l上; ③ 直线l是A,B两点所确定的直线;④ 线段AB是直线l的一部分.其中,能正确表达出图形特点的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 根据下列要求画图:① 延长直线AB至点C;② 延长射线AB至点C;③ 反向延长射线AB至点C;④ 延长线段AB至点C;⑤ 反向延长线段AB至点C.其中,正确的要求有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 值日生小明想把教室桌椅摆放整齐,为了将一列课桌对齐,他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线,其余课桌按这条直线摆放,这样做用到的数学知识为　　　　 　　　　.  C 两点确定一条直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 两条直线相交有1个交点,三条直线相交最多有3个交点,四条直线相交最多有　　　　个交点.  6 解析:如图①,两条直线相交有1个交点;如图②,三条直线相交最多有1+2 =3(个)交点;如图③,四条直线相交最多有1+2+3=6(个)交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如果A市与B市之间是直达快车,那么铁道部门要为这次列车准备 　　　　种不同的车票.如果是某普通列车,且途中要经过4个停靠站点(不包括起始站和终点站),那么铁道部门要为这次列车准备　　　　种不同票价(相同路段票价相同)的车票,　　　　种不同的车票. 2 15 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,按照下列语句画出图形: (1) 连接AC,BD,使它们相交于点F; (2) 延长线段BA,DE,使它们相交于点G; (3) 反向延长线段EA,DC,使它们相交于点H; (4) 画射线EC; (5) 取一点P,使点P既在直线AB上又在直线CD上. 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,在一条直线上取两个点A,B,共得多少条线段?在一条直线上取三个点A,B,C,共得多少条线段?在一条直线上取四个点A,B,C,D,共得多少条线段?在一条直线上取n(n为大于1的正整数)个点,共得多少条线段? 在一条直线上取两个点A,B,共得1条线段　取三个点A, B,C,共得2+1=3(条)线段　取四个点A,B,C,D,共得3+2+ 1=6(条)线段　取n(n为大于1的正整数)个点,共得(n-1)+ (n-2)+…+3+2+1=(条)线段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第六章　几何图形初步 小专题(十二)　线段和角的计算中的数学思想 类型一　方程思想在线段和角的计算中的应用 1. 如果一个角的余角比它的补角的还少20°,那么这个角的度数是　　. 2. 如图,C,D是线段AB上的两点,CD=1cm,M是AD的中点,N是BC的中点,且MN=3.5cm,则AB=　　　　cm. 75° 1 2 3 4 5 6 7 8 8 解析:因为M是AD的中点,N是BC的中点,所以AM=DM=(AC+CD),CN= BN=BC=(AB-AC).所以AN=CN+AC=(AB-AC)+AC=(AB+AC).所以MN=AN-AM=(AB+AC)-(AC+CD)=(AB-CD)=3.5cm.所以AB=8cm. 9 10 11 12 13 3. 如图,O是直线AD上一点,且∠BOC=∠AOC=∠COD.求∠BOC的度数. 设∠BOC的度数为x.因为∠BOC=∠AOC=∠COD, 所以∠AOC=3x,∠COD=x.因为∠AOC+∠COD=180°, 所以3x+x=180°,解得x=40°.所以∠BOC的度数为40° 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,B,C两点把线段AD分成2∶5∶3的三部分(BC>CD>AB),M为AD的中点,BM=6cm,求CM和AD的长. 由题意,可设AB=2xcm,BC=5xcm,CD=3xcm, 所以AD=AB+BC+CD=10xcm.因为M是AD的中点,所以AM=MD=AD= 5xcm.所以BM=AM-AB=5x-2x=3x(cm).因为BM=6cm,所以3x=6,解得x=2.所以BC=10cm,AD=20cm.所以CM=BC-BM=4cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型二　分类讨论思想在线段和角的计算中的应用 5. 如图,∠AOB=n°,平面内有一射线OM,且∠AOM=2∠BOM.若ON平分 ∠BOM,则∠AON=　　 　　(用含n的代数式表示).  　 　 　 6. 如图,M为线段AC的中点,点B在线段AC上,N为直线AC上的一点.若= ,AC=10,BC=4,则线段MN的长为　　　　. n°或n° 或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知线段AB=12,在AB上有C,D,M,N四点,且AC∶CD∶DB=1∶2∶3, AM=AC,DN=DB.求线段MN的长. 因为AB=12,AC∶CD∶DB=1∶2∶3,所以AC=×12=2,CD=×12=4,DB= ×12=6.所以AM=AC=1,DN=DB=.① 如图①,当点N在点D右侧时,MN =MC+CD+DN=2-1+4+=;② 如图②,当点N 在点D左侧时,MN=MC+CD-DN=2-1+4-=.综 上所述,线段MN的长为或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知∠AOB=α(30°<α<45°),∠AOB的余角为∠AOC,∠AOB的补角为∠BOD,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD. (1) 如图,当α=40°,且射线OM在∠AOB的外部时,用直尺、量角器画出射线OD,ON的准确位置; (1) 如图①②所示 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求(1)中∠MON的度数,要求写出计算过程; (2) 因为∠AOB=40°,∠AOB的余角为∠AOC,∠AOB的补 角为∠BOD,所以∠AOC=90°-∠AOB=50°,∠BOD=180° -∠AOB=140°.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,所以 ∠MOA=∠AOC=×50°=25°,∠BON=∠BOD=×140°=70°.① 如 图①,∠MON=∠MOA+∠AOB+∠BON= 25°+40°+70°=135°.② 如图②,∠MON =∠BON-∠MOA-∠AOB=70°-25°-40°= 5°.所以∠MON的度数为135°或5°　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 当射线OM在∠AOB的内部时,用含α的式子表示∠MON的度数(直接写出结果). (3) 如图③④,∠MON=α+45°或135°-2α 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型三　整体思想 9. 如图,C,D是线段AB上的任意两点,E是AC的中点,F是BD的中点.如果EF=m,CD=n,那么线段AB的长度为 (　　) A. m+n B. 2m+n C. 2m-n D. 3m-2n C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,在长方形纸片ABCD中,M为边AD的中点.将纸片沿BM,CM折叠,使点A落在点A1处,点D落在点D1处.若∠1=30°,则∠BMC的度数为　　 . 11. 如图,C,D是线段AB上的两点,已知AB=10cm,CD=3cm,则以A,C,D,B为端点的所有线段长度之和为　　　　cm. 105° 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,∠AOB是平角,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线. (1) 当∠MON=140°时,求∠COD的度数; (2) 当∠COD=α时,求∠MON的度数. (1) 因为∠AOB是平角,所以∠AOB=180°.因为OM,ON 分别是∠AOC,∠BOD的平分线,所以∠AOC=2∠AOM, ∠BOD=2∠BON.所以∠COD=180°-(∠AOC+∠BOD) =180°-2(∠AOM+∠BON)=180°-2(180°-∠MON)= 2∠MON-180°=2×140°-180°=100°　 (2) ∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=∠AOC+∠BOD+∠COD= (180°-∠COD)+∠COD=90°+∠COD=90°+α 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型四　从特殊到一般的思想 13. 已知O是直线AB上的一点,∠COD=90°,OE平分∠BOC. (1) 如图①,若∠AOC=40°,则∠DOE=　　　　.  (2) 如图①,若∠AOC=α,求∠DOE的度数(用含α的式子表示). (2) 因为∠AOC=α,所以∠BOC=180°-α. 因为OE平分∠BOC,所以∠COE=∠BOC =90°-α.又因为∠COD=90°,所以∠DOE =∠COD-∠COE=90°-=α 20° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 将图①中的∠COD绕顶点O按顺时针方向旋转至如图②所示的位置,其他条件不变,那么(2)中所求得的结论是否仍然成立?请说明理由. (3) 结论仍然成立　 理由:因为∠AOC=α,所以∠BOC=180°-α. 因为OE平分∠BOC,所以∠COE=∠BOC =90°-α.又因为∠COD=90°,所以∠DOE =∠COD-∠COE=90°-=α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第六章　几何图形初步 6.1　几何图形 6.1.1　立体图形与平面图形 第2课时　从不同方向看立体图形 1. (2023·绵阳)从三个不同方向看下列几何体得到的图形完全相同的是 (　　) 　　 　　 　　 2. (2023·雅安)如图所示为由3个相同的小正方体搭成的几何体,从前面看它得到的图形是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3. (教材P153例1变式)(2023·恩施)用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形,从左面看它得到的图形是 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 图②中的三幅图分别是从哪个方向看如图①所示的立体图形得到的(填“前面”“上面”或“左面”)? 上面 左面 前面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图所示为从三个不同的方向看同一个物体所得到的平面图形,则这个物体是　 . 长方体 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 分别画出从前面、左面和上面观察如图所示的立体图形得到的平面图形. 第6题 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 下列几何体均由5个大小相同的小正方体搭成,从前面看几何体得到的图形与其他三个都不同的是 (　　) 8. (2024·齐齐哈尔)如图,该几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的,则从左面和上面看该几何体得到的图形的面积之和是 (　　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图所示为一个水管接头的示意图,请写出图①②③分别是从哪个方向看到的,图①:　　　　;图②:　　　　;图③:　　　　. 左面 上面 前面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,请将观察方向和相应得到的平面图形用线连起来. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 将五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形,画出从前面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形. 如图所示 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 一个几何体是由一些大小相同的小正方体组成的,从前面与左面看得到的平面图形如图所示,则组成这个几何体的小正方体最少有几个? 组成这个几何体的小正方体最少有5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图所示为由若干个完全相同的正方体组成的立体图形从上面看所得到的平面图形,正方形上标注的数字表示该位置上正方体的个数.请画出这个立体图形从左面看所得到的平面图形. 如图所示 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第六章　几何图形初步 6.3　角 6.3.1　角的概念 第2课时　角的度量及方位角 1. 用度、分、秒表示91.34°为 (　　) A. 91°34' B. 91°20'24″ C. 91°3'4″ D. 91°20'4″ 2. 已知∠A=45°18',∠B=45°15'30″,∠C=45.15°,则 (　　) A. ∠A>∠B>∠C B. ∠B>∠A>∠C C. ∠A>∠C>∠B D. ∠C>∠A>∠B 3. 用一副三角尺不能画出的角的度数是 (　　) A. 75° B. 105° C. 110° D. 135° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A C 4. 中午11时30分时,时钟的时针和分针所夹角的度数为 (　　) A. 170° B. 175° C. 165° D. 160° 5. 如图所示的四条射线中,表示北偏东60°的是 (　　) A. 射线OA B. 射线OB C. 射线OC D. 射线OD C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. 时钟的时针3小时旋转的角度是　　　 　,分针3分钟旋转的角度是 　　　 　.  7. 填空: (1) 2.45°=　　　　°　　　　';  (2) 76.125°=　　 　°　　 　'　　 　″;  (3) 14°25'12″=　　　　　°;  (4) 133°24'36″=　　　　　°.  8. (1) 10时整时,时钟的时针与分针所夹角的度数为　　　　;  (2) 4时40分时,时钟的时针与分针所夹角的度数为　　　　. 90° 18° 2 27 76 7 30 14.42 133.41 60° 100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. 魏老师去市场买菜,他发现若把5kg的菜放到秤上,指针盘上的指针转了180°. (1) 如果把0.5kg的菜放在秤上,求指针转过的角度; (2) 如果指针转了270°,那么这些菜有多少千克? (1) ×0.5=18°,所以指针转过的角度是18°　 (2) 270°÷=7.5(kg),所以这些菜有7.5kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. 下列关系式正确的是 (　　) A. 35.5°=35°5' B. 35.5°=35°50' C. 35.5°<35.5' D. 35.5°>35°5' 11. 钟表在8:25时,时针与分针所夹角的度数为 (　　) A. 101.5°　 B. 102.5° C. 120°　 D. 125° D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. M地是海上观测站,从M地发现两艘船A,B的方位如图所示.下列说法正确的是 (　　) A. 船A在M地的南偏东30°方向 B. 船A在M地的南偏西30°方向 C. 船B在M地的北偏东40°方向 D. 船B在M地的北偏东50°方向 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. 如图,指出射线OA,OB,OC,OD分别表示什么方向. OA:　　　　　 　 ;OB:　　　　　 　 ; OC:　　　　　 　 ;OD:　　　　　 　 . 北偏东80°方向 北偏西40°方向 南偏西35°方向 东南方向(或南偏东45°方向) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 小玉从点A出发沿南偏东40°方向走了10m到达点B,此时点A在点B的 　　　 　　方向上.  15. 3时45分时,时钟的时针与分针所在直线成的锐角的度数为　　　　.  16. 北京时间2022年11月29日23时08分,神舟十五号载人飞船成功发射,此时时钟的时针与分针所成角的度数是　　　　. 北偏西40° 22.5° 74° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. (教材P171例1变式)如图,船A,B同时从小岛O出发,船A沿北偏西20°方向航行,船B沿北偏东70°方向航行. (1) 画出表示船A和船B航行方向的射线,用OA,OB表示; (2) 直接写出∠AOB的度数. (1) 如图所示　 (2) 90° 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角(这里所说的角均是指不大于平角的角).显然,在3:00的时刻,钟面角(∠AOB)为90°,我们称此时钟面角首次为90°(如图①). (1) 从3:00开始,再间隔　　 　　分钟(用分数表示,不取近似值),钟面角(∠A'OB')第二次为90°(如图②).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2) 如图③,从钟面角第二次为90°开始,再间隔多少分钟,钟面角第三次为90°?试着画一画,并用列一元一次方程的方法解决这个问题. (2) 画图略　设再间隔y分钟,钟面角第三 次为90°.依题意,有6y-0.5y=360-90×2,解 得y=.所以再间隔分钟,钟面角第三 次为90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$第六章　几何图形初步 6.3　角 6.3.1　角的概念 第1课时　角的概念及表示 1. 下列说法正确的是 (　　) A. 两条直线相交组成的图形叫作角 B. 两条具有公共端点的线段组成的图形叫作角 C. 两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D. 过同一点的两条射线组成的图形叫作角 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,下列角的表示方法中,正确的有 (　　) 　 　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图,有下列说法:① ∠ECG和∠C是同一个角;② ∠OGF和∠OGB是同一个角;③ ∠DOF和∠EOG是同一个角;④ ∠ABC和∠ACB是同一个角.其中,正确的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图. (1) 图中能用一个大写字母表示的角是　　　 　;  (2) 以A为顶点的角有　　　　个. ∠B,∠C 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. (教材P172练习第2题变式)如图,将图中的角用不同的方法表示出来,并完成下表: ∠1   ∠3 ∠4     ∠BCA     ∠ABC ∠BCE ∠2(或∠BCD) ∠BAC(或∠BAE) ∠BAD ∠5(或∠B) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,图中一共有多少个小于平角的角?用图中字母把它们表示出来,并指出哪些角可以用一个字母表示. 14个　 ∠A,∠ABF,∠ABC,∠FBC,∠ACB,∠ACF,∠FCD, ∠ACD,∠FCB,∠AEB,∠AEF,∠BEC,∠FEC,∠F　 ∠A和∠F可以用一个字母表示 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 有下列关于角的说法:① 由两条射线组成的图形是角;② 角的边越长,角越大;③ 用放大镜可以改变一个角的度数;④ 角的两条边是两条射线.其中,正确的有 (　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图,下列表示角的方法不正确的是 (　　) A. ∠A B. ∠E C. ∠α D. ∠1 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 下列四个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是 (　　) 10. 如图,分别用三个大写字母表示下列各角:∠1为　　 　; ∠2为　　 　;∠3为　　 　.  B ∠MCB(或∠MCN) ∠AMC ∠CAN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,以B为顶点的角有几个?请把它们表示出来.以D为顶点且小于平角的角有几个?请把它们表示出来. 以B为顶点的角有3个,分别是∠ABD(或∠ABE), ∠DBC(或∠EBC),∠ABC　以D为顶点且小于平 角的角有4个,分别是∠ADB,∠ADE,∠BDC,∠EDC 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,按要求画图,并解答问题: (1) 在∠AOB内画1条射线OA1,此时图中有几个不同的角? (2) 在∠AOB内画2条不同的射线OA1,OA2,此时图中有几个不同的角? (3) 在∠AOB内画(n-1)条不同的射线OA1,OA2,OA3,…,OAn-1,此时图中有几个不同的角?当n=99时呢? (1) 如图①所示　3个　 (2) 如图②所示　6个　 (3) 如图③所示　个　 当n=99时,图中有=4950(个)不同的角 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第六章　几何图形初步 6.3　角 6.3.2　角的比较与运算 1. (教材P174练习第2题变式)如图,下列式子错误的是 (　　) A. ∠AOC=∠AOB+∠BOC B. ∠AOC=∠AOD-∠COD C. ∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC D. ∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 已知∠AOB=70°,以O为端点作射线OC,使∠AOC=42°,则∠BOC的度数为 (　　) A. 28° B. 112° C. 28°或112° D. 68° 3. 如图,∠AOB=50°,∠AOD=90°,OC平分∠AOB,则∠COD的度数是 　　　　. C 65° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 如图,BD是∠ABC的平分线,BE是∠CBD的平分线.若∠CBE=16°,则∠ABE=　　　　.  5. 已知∠AOB=70°,∠BOC=50°,OD是∠AOC的平分线,则∠BOD的度数为　　　　　　. 48° 10°或60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. (教材P174练习第3题变式)计算: (1) 33°16'28″+24°46'37″; (2) 95°37'21″-60°52'40″. (1) 58°3'5″　 (2) 34°44'41″ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 如图,点A,O,B在同一条直线上,∠COE=20°12',OD,OE分别是∠COA, ∠COB的平分线. (1) 请你分别计算出∠COB与∠COA的度数; (2) 请你计算出∠DOE的度数. (1) 因为OE是∠COB的平分线,∠COE=20°12', 所以∠COB=40°24'.所以∠COA=139°36'　 (2) 因为OD,OE分别是∠COA,∠COB的平分线,所以∠COD=∠COA, ∠COE=∠COB.因为∠COA+∠COB=180°,所以∠COD+∠COE= ∠COA+∠COB=(∠COA+∠COB)=90°,即∠DOE=90° 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 下列各式正确的是 (　　) A. 26°12'42″=26.1242° B. 26°50'=26.5° C. 78°30'÷4=19°37'30″ D. 15°14'38″×4.5=68.5°5'51″ 9. 已知点P在∠MAN的内部,有下列等式:① ∠PAN=∠MAP;② ∠PAN= ∠MAN;③ ∠MAP=∠MAN;④ ∠MAN=2∠MAP.其中,能表示射线AP是∠MAN的平分线的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图,∠AOC=∠BOD=96°,∠BOC=56°,则∠AOD的度数为　　　. 　 　 11. 如图,点C,O,D在同一条直线上,∠AOC=40°,∠BOD=50°,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,则∠MON=　　　　. 136° 135° 解析:因为∠AOC=40°,∠BOD=50°,所以∠AOB=90°.因为OM,ON分 别是∠AOC,∠BOD的平分线,所以∠MOA=∠AOC=20°,∠NOB= ∠BOD=25°.所以∠MON=∠MOA+∠AOB+∠NOB=135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. (教材P176练习第3题变式)计算: (1) 15°20'35″×6; (2) 120°48'35″÷5. (1) 92°3'30″　 (2) 24°9'43″ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图,BD平分∠ABC,BE把∠ABC分成2∶5的两部分(∠ABE<∠CBE), ∠DBE=18°.求∠ABC的度数. 因为BE把∠ABC分成2∶5的两部分,所以可设∠ABE= 2x,∠CBE=5x.所以∠ABC=∠ABE+∠CBE=7x.因为BD 平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.因为∠DBE=18°,所 以∠ABD=∠ABE+∠DBE=2x+18°,∠CBD=∠CBE- ∠DBE=5x-18°.所以2x+18°=5x-18°,解得x=12°.所 以∠ABC=7x=84° 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,O为直线AB上一点,OD平分∠BOC,∠DOF=90°. (1) 若∠BOC=40°,求∠AOF的度数; (2) 若∠COD=2∠EOF,则OE是图中哪个已知角的平分线? (1) 因为OD平分∠BOC,所以∠BOD=∠BOC=×40° =20°.因为∠DOF=90°,所以∠AOF=180°-∠DOF- ∠BOD=180°-90°-20°=70°　 (2) 设∠EOF=α.因为∠COD=2∠EOF,所以∠COD=∠BOD=2α.因为∠DOF=90°,所以∠EOD=∠DOF-∠EOF=90°-α.因为∠AOF=90°-∠BOD=90°-2α,所以∠AOE=∠AOF+∠EOF=90°-2α+α=90°-α.所以∠AOE=∠EOD.所以OE是∠AOD的平分线 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC. (1) 求∠MON的度数; (1) 因为∠AOB=90°,∠BOC=30°,所以∠AOC=∠AOB +∠BOC=120°.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,所 以∠COM=∠AOC=60°,∠CON=∠BOC=15°.所以 ∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°　 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若将题目中的“∠AOB=90°”改为“∠AOB=α”,其他条件不变,求∠MON的度数; (2) 因为∠AOB=α,∠BOC=30°,所以∠AOC=∠AOB+ ∠BOC=α+30°.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC, 所以∠COM=∠AOC=(α+30°),∠CON=∠BOC= 15°.所以∠MON=∠COM-∠CON=(α+30°)-15°=α 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 若将题目中的“∠BOC=30°”改为“∠BOC=β(β为锐角)”,其他条件不变,求∠MON的度数; (4) 探究:从(1)(2)(3)中,你发现了什么规律? (3) 因为∠AOB=90°,∠BOC=β,所以∠AOC=∠AOB+ ∠BOC=90°+β.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC, 所以∠COM=∠AOC=(90°+β),∠CON=∠BOC=β. 所以∠MON=∠COM-∠CON=(90°+β)-β=45°　 (4) ∠MON=∠AOB,∠MON的度数与∠BOC的度数无关 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第六章　几何图形初步 6.1　几何图形 6.1.2　点、线、面、体 1. 围成下列立体图形的各个面中,每个面都是平面的是 (　　) 2. 在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛,像花针,像细丝,密密地斜织着”,这里把雨看成了线.这说明了 (　　) A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 面与面交于线 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 3. 如图,将一张半圆形纸片绕轴旋转一周,得到的立体图形是 (　　) 　　　　 　　　　 　 4. 将如图所示的平面图形绕轴旋转一周,得到的立体图形是 (　　) B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 圆锥是由　　　　个面围成的,其中,　　　　个平面,　　　　个曲面. 6. (1) 夏夜,天上飞逝的流星形成一道亮光,用数学知识可解释为　　　　; (2) 国庆期间,某地举行飞行表演,飞机尾部拉出五彩斑斓的线,飞机表演的“飞机拉线”用数学知识可解释为　　　　　　;  (3) 秒针旋转一周时,形成一个钟面,用数学知识可解释为　　　　　　;  (4) 数学课本绕它的一边所在的直线旋转一周,形成一个圆柱体,用数学知识可解释为　　　　　　.  7. 三棱锥有　　　　个面,它们相交形成了　　　　条棱,这些棱相交形成了　　　　个点. 2 1 1 点动成线 点动成线 线动成面 面动成体 4 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. (教材P156练习第1题变式)如图,在围成下列立体图形的各个面中,哪些是平面?哪些是曲面? 题图①:每个面都是平面　题图②:上、下两个底面是平面,侧面是曲面　题图③:上、下两个底面是平面,侧面是曲面　题图④:每个面都是曲面　题图⑤:底面是平面,侧面是曲面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 有下列说法:① 平面上的线都是直的线;② 曲面上的线都是曲线;③ 两条线相交只能得到一个交点;④ 两个面相交只能得到一条直的线.其中,不正确的有 (　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 将如图所示的直角三角形ABC绕直角边AC旋转一周,所得几何体从前面看,得到的图形是 (　　) A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C,这说明　　　　动成　　　　;把竹竿平放在地面上,固定一端不动,旋转一定的角度得到一个扇形,这说明　　　　动成　　　　;快速推动旋转式的大门可形成“圆柱”的样子,这说明　　　　动成　　　　.  点 线 线 面 面 体 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 将如图①所示的直角三角形ABC绕它的一边旋转一周,旋转后所得的几何体可能是图②中的　　　　(填字母). b,c,d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,正方形ABCD的边长为2cm,以AB所在的直线为轴,将正方形旋转一周后得到一个立体图形,从前面看该立体图形,得到的图形的面积是多少? 得到的图形的面积是(2+2)×2=8(cm2) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图①,一个正方形绕直线a旋转一周,可得到怎样的一个立体图形?如图②,一个直角三角形绕直线b旋转一周,可得到怎样的一个立体图形? 题图①得到的立体图形是大圆柱截去里面的 一个小圆柱　题图②得到的立体图形是大圆 柱截去里面的一个圆锥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第六章　几何图形初步 小专题(十三)　几何图形中的动态问题 类型一　线段中的动态问题 1. 如图,M是线段AB上一点,点C在线段AM上,点D在线段BM上.点C,D分别从点M,B出发,分别以1cm/s,2cm/s的速度沿BA向左运动. (1) 若AB=20cm,当点C,D运动了2s时,求AC+MD的长度; (2) 当点C,D运动时,总有MD=2AC,设AM=ncm,求AB的长; 1 2 3 4 (1) AC+MD=AB-MC-BD=20-2×1-2×2=14(cm)　 (2) 设BM=xcm,运动时间为ts.由题意,得x-2t=2(n-t), 所以x=2n.所以AB=AM+BM=3ncm　 (3) 在(2)的条件下,N是直线AB上一点,且MN+BN=AN,求的值. (3) 如图①,当点N在线段BM上时,设MN=ycm.由题 意,得y+2n-y=n+y,解得y=n.所以MN=ncm.因为AB= 3ncm,所以=3.如图②,当点N在线段AB的延长线上时,设MN=zcm.由题意,得z+z-2n=n+z,解得z=3n.所以MN=AB=3ncm.所以=1.综上所述,的值为3或1 1 2 3 4 2. 如图,C是线段AB上一点,AB=20cm,BC=8cm,点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向右运动,终点为B;点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA向左运动,终点为A.已知P,Q两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P的运动时间为xs. (1) AC=　　　　cm.  (2) 当x=　　　　时,P,Q两点重合.  12 1 2 3 4 (3) 是否存在某一时刻,使得C,P,Q这三个点中,有一个点恰为另外两点所连线段的中点?若存在,求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由. (3) 存在　由题意,知AP=2xcm,BQ=xcm.① 当 C是线段PQ的中点时,得12-2x=8-x,解得x=4; ② 当P为线段CQ的中点时,得2x-12=(8-x),解得x=;③ 当Q为线段PC的中点时,得2x+x-20=8-x,解得x=7.综上所述,x的值为4或或7 1 2 3 4 类型二　角中的动态问题 3. 如图,O为直线AB上一点,将一直角三角形OMN的直角顶点放在点O处,射线OC平分∠BOM. (1) 如图①,若∠AOM=30°,求∠CON的度数. (1) 因为∠AOM=30°,所以∠BOM=180°- ∠AOM=150°.又因为∠MON是直角,OC平 分∠BOM,所以∠CON=∠MON-∠BOM= 90°-×150°=15°　 1 2 3 4 (2) 在图①中,若∠AOM=α,求∠CON的度数(用含α的式子表示). (2) 因为∠AOM=α,所以∠BOM=180°- ∠AOM=180°-α.又因为∠MON是直角, OC平分∠BOM,所以∠CON=∠MON- ∠BOM=90°-×(180°-α)=α　 1 2 3 4 (3) 将图①中的直角三角形OMN绕顶点O按顺时针方向旋转至如图②所示的位置,一边OM在射线OB上方,另一边ON在直线AB下方. ① 探究∠AOM和∠CON之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由; (3) 设∠AOM=β,则∠BOM=180°-β. ① ∠AOM=2∠CON　理由:因为OC平分 ∠BOM,所以∠MOC=∠BOM=(180°-β) =90°-β.因为∠MON=90°,所以∠CON=∠MON-∠MOC=90°-(90°-β)=β.所以∠AOM=2∠CON.　 1 2 3 4 ② 当∠AOC=3∠BON时,求∠AOM的度数. ② 由①,知∠BON=∠MON-∠BOM=90°- (180°-β)=β-90°,∠AOC=∠AOM+∠MOC =β+90°-β=90°+β.因为∠AOC=3∠BON, 所以90°+β=3(β-90°),解得β=144°.所以 ∠AOM=144° 1 2 3 4 4. 如图①,点A,O,B依次在直线MN上,现将射线OA绕点O按顺时针方向以每秒2°的速度旋转,同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒4°的速度旋转,如图②所示.设旋转时间为t秒(t在0~45之间). (1) ∠AOM=　　　　,∠BON=　　　　(用含t的式子表示).  (2) 在旋转过程中,分别求∠AOB第一次、第二次达到60°时t的值. 2t° 4t° (2) 根据题意,知∠AOM=2t°,∠BON=4t°.当 ∠AOB第一次达到60°时,∠AOM+∠BON+ 60°=180°,即2t+4t+60=180,解得t=20.所以当 t=20时,∠AOB第一次达到60°.当∠AOB第二次达到60°时,∠AOM+ ∠BON-∠MON=60°,即2t+4t-180=60,解得t=40.所以当t=40时,∠AOB第二次达到60° 1 2 3 4 (3) 在旋转过程中是否存在这样的t的值,使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线?如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由. (3) 存在　有以下三种情况:① 当OB平分 ∠AOM时,∠AOM=∠BOM,所以t=180-4t, 解得t=36.② 当OB平分∠MON时,∠BON=∠MON,即∠BON=90°,所以4t=90,解得t=22.5.③ 当OB平分∠AON时,∠BON=∠AON,所以4t=(180-2t),解得t=18.综上所述,t的值为18或22.5或36 1 2 3 4 $$第六章　几何图形初步 阶段训练(6.1~6.2) 一、 选择题 1. (2023·重庆A卷)四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,从前面看得到的图形是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. (2023·仙桃)如图所示为从前面、左面、上面看某立体图形得到三个平面图形,则该立体图形是 (　　) A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图所示为一个正方体的平面展开图,把展开图折叠成正方体后,“城”字对面的字是 (　　) A. “文” B. “明” C. “典” D. “范” B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,D是线段AB的中点,延长线段AB至点C,使得BC=AB.有下列结论:① AB=2AD;② AC=2BC;③ AD=BD=AC;④ BC=AC;⑤ BD=BC;⑥ AC =4BD.其中,正确的有 (　　) A. ①③④⑥ B. ①②⑤⑥ C. ①②③④ D. ②③⑤⑥ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,C为线段AD上一点,B为CD的中点,且AD=9,BD=2.若点E在直线AD上,且EA=1,则BE的长为 (　　) A. 4 B. 8或6 C. 6 D. 8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. 用棱长为1cm的小正方体搭成如图所示的几何体,则它的表面积为 　　　　cm2.  　　 　　 7. 如图,正方体的六个面上标着六个连续的整数.若相对的两个面上所标之数的和相等,则这六个数的和为　　　　.  22 81 解析:根据题意分析,六个面上分别写着连续的整数.所以六个整数可能为① 11,12,13,14,15,16或② 10,11,12,13,14,15.因为相对的两个面上所标之数的和相等,11+16=27,10+15=25,所以②中11和14相对,与题图不符.所以这六个整数为11,12,13,14,15,16,和为81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在每个小正方形的边长都是1的3×3方格纸中,3个白色的小正方形已被剪掉,现需在编号为①~⑥的小正方形(涂色部分)中,再剪掉一个小正方形,从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体,则需要再剪掉的小正方形可能是　　 　　(填序号).  ①或②或③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,在一条笔直的马路(直线l)两侧各有一个居民区(点M,N).如果要在这条马路旁建一个购物中心,使购物中心到这两个小区的距离之和最小,那么购物中心应建在线段MN与直线l的交点P处,这样做的依据是 　　　　　　　　　　.  10. 如图,点C在线段AB上,AC=2,AC=AB.如果D是BC的中点,那么CD= 　　　　. 两点之间,线段最短 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 11. 每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2. (1) 求如图①所示的正方体看不见的三个面上的数的积; (1) 因为每个正方体相对两个面上写的数之和都等 于2,所以易得题图①中正方体下底面的数是1,后面 的数是4,左面的数是-1.所以它们的积是1×4×(-1) =-4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 现将两个这样的正方体黏合放置(如图②),求所有看不见的七个面上所写的数的和. (2) 因为每个正方体相对两个面上写的数之和都 等于2,所以易得题图②中左边的正方体下底面的 数是1,后面的数是,左右两面的数的和是2,右边的正方体下底面的数是6,左面的数是-1,后面的数是0.所以它们的和是1++2+6-1+0=8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,线段AC=6cm,线段AB=21cm,M是AC的中点,在BC上取一点N,使得CN∶NB=1∶2,求MN的长. 因为M是AC的中点,AC=6cm,所以MC=AC=3cm. 因为AC=6cm,AB=21cm,所以BC=AB-AC=15cm.因为CN∶NB=1∶2,所以CN=15×=5(cm).所以MN=MC+CN=3+5=8(cm).所以MN的长为8cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,P是线段AB上任意一点,AB=12cm,C,D两点分别从点P,B同时向点A运动,且点C的运动速度为2cm/s,点D的运动速度为3cm/s,运动的时间为ts. (1) 若AP=8cm. ① 运动1s后,求CD的长; ① 由题意,可知CP=2×1=2(cm),DB=3×1=3(cm). 因为AP=8cm,AB=12cm,所以PB=AB-AP=4cm.所 以CD=CP+PB-DB=2+4-3=3(cm)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ② 当点D在线段PB上运动时,试说明:AC=2CD. ② 由题意,可知CP=2tcm,DB=3tcm.因为AP=8cm, AB=12cm,所以PB=4cm,AC=(8-2t)cm.所以DP=(4- 3t)cm.所以CD=CP+DP=2t+4-3t=(4-t)cm.所以AC= 2CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当t=2,CD=1cm时,求AP的长. (2) 当t=2时,CP=2×2=4(cm),DB=3×2=6(cm).如图①, 当点D在点C的右边时,因为CD=1cm,所以CB=CD+DB =7cm.所以AC=AB-CB=5cm.所以AP=AC+CP=9cm.如图②,当点D在点C的左边时,因为AD=AB-DB=6cm,所以AP=AD+CD+CP=11cm.综上所述, AP的长为9cm或11cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$