第二十四章 圆 素能测评课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章素能测评 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 若☉O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与☉O的位置关系为 (　　) A. 点A在圆上 B. 点A在圆内 C. 点A在圆外 D. 无法确定 2. 如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是 (　　) A. B. 2 C. 6 D. 8 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3. 如图,点A,B,C在☉O上.若∠C=30°,则∠ABO的度数为 (　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD.若∠C=20°, ∠BPC=70°,则∠ADC的度数为 (　　) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5. 如图,AB是☉O的直径,C为圆上一点,AC=4,D是的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则BC的长为 (　　) A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图,☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD.若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为 (　　) A. 6 B. 8 C. 5 D. 5 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7. 如图,有一张圆心角为270°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm,则这张扇形铁皮的半径是 (　　) A. 40cm B. 50cm C. 60cm D. 80cm 　　　　 　　　　 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8. 如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,Q是的中点,则∠CPQ的度数为 (　　) A. 30° B. 45° C. 36° D. 60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9. 如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,连接AC,BC,过点O作OD⊥BC于点D,过点C作☉O的切线,交OD的延长线于点E,连接AD.若CE=4,BC=8,则AD的长为 (　　) A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10. 如图,在△ABC中,AB=AC,BC=24,AD⊥BC于点D,AD=5,P是半径为3的☉A上的动点,连接PC.若E是PC的中点,连接DE,则DE长的最大值为 (　　) A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 A 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析:连接PB.∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ CD=DB=BC=12.∵ E是PC的中点, ∴ DE是△PBC的中位线.∴ DE=PB.∴ 当PB的长取最大值时,DE的长最大.∴ 当PB过圆心A时,PB的长最大.在Rt△ABD中,∵ BD=12,AD=5,∴ 由勾股定理,得AB=13.∵ ☉A的半径为3,∴ PB长的最大值=13+3=16.∴ DE长的最大值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 如果过☉O内一点M的最长弦长为20cm,最短弦长为16cm,那么OM的长为　　　　cm.  12. 如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC的度数为　　　　.  　 　　 　　　 13. 如图,在正六边形ABCDEF中,连接AC,CF,则∠ACF=　　　　.  6 30° 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14. 如图,边长为的正方形ABCD内接于☉O,分别过点A,D作☉O的切线, 两条切线交于点P,则图中阴影部分的面积是　　　　.  15. 数学课上,老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点A为圆心、AB长为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形ADB的面积是　　　　.  1- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16. 如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若 OA=5,PA=12,则CA的长为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、 解答题(共52分) 17. (8分)如图,☉O的直径AB垂直弦CD于点E,F是圆上一点,D是的中点,连接CF交OB于点G,连接BC. (1) 求证:GE=BE; (1) ∵ D是的中点,∴ ∠ECG=∠ECB.∵ CD⊥AB, ∴ ∠CEG=∠CEB=90°.∴ ∠CGE=∠CBE.∴ CG= CB.∵ CE⊥BG,∴ GE=BE 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若AG=6,BG=4,求CD的长. (2) 连接OC.∵ AG=6,BG=4,∴ AB=6+4=10.∴ OC=OB= AB=5.由(1),知GE=BE=BG=2,∴ OE=OB-BE=5-2=3. ∴ CE==4.∵ AB⊥CD,∴ CD=2CE=2×4=8 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18. (8分)如图,☉O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,且AE=DE,BC=CE,连接CD. (1) 求∠ACB的度数; (1) 在△AEB和△DEC中,∵ ∠A=∠D,AE=DE,∠AEB= ∠DEC,∴ △AEB≌△DEC.∴ BE=CE.又∵ BC=CE, ∴ BE=CE=BC.∴ △EBC是等边三角形.∴ ∠ACB=60°　 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长. (2) 过点B作BM⊥AC于点M.∵ OF⊥AC,∴ AF=CF. ∵ △EBC是等边三角形,∴ ∠GEF=∠BCM=60°. ∴ ∠EGF=30°.∵ EG=2,∴ EF=1.又∵ DE=AE=3, ∴ CF=AF=AE+EF=4.∴ AC=8,CE=5.∴ BC=5.∵ ∠BCM=60°,∴ ∠MBC=30°.∴ CM=BC=.∴ 易 得BM=.∴ AM=AC-CM=.∴ AB==7 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19. (8分)如图,△ABC内接于☉O,CO的延长线交AB于点D,交☉O于点E,交☉O的切线AF于点F,且AF∥BC.求证: (1) AO∥BE; (1) ∵ AF是☉O的切线,∴ AF⊥OA,即∠OAF=90°. ∵ CE是☉O的直径,∴ ∠CBE=90°.∴ ∠OAF=∠CBE. ∵ AF∥BC,∴ ∠BAF=∠ABC.∴ ∠OAF- ∠BAF=∠CBE -∠ABC,即∠OAB=∠ABE.∴ AO∥BE 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) AO平分∠BAC. (2) ∵ ∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角,∴ ∠ABE= ∠ACE.∵ OA=OC,∴ ∠ACE=∠OAC.∴ ∠ABE=∠OAC. ∵ ∠OAB=∠ABE,∴ ∠OAB=∠OAC.∴ AO平分∠BAC 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20. (8分)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,CE平分∠ACB,交☉O于点E,过点E作EF∥AB,交CA的延长线于点F. (1) 求证:EF与☉O相切; (1) 连接OE.∵ AB是☉O的直径,∴ ∠ACB=90°. ∵ CE平分∠ACB,∴ ∠ACE=∠ACB=45°.∴ ∠AOE=2∠ACE=90°.∴ OE⊥AB.∵ EF∥AB, ∴ OE⊥EF.∵ OE是☉O的半径,∴ EF与☉O相切 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若∠CAB=30°,AB=8,过点E作EG⊥AC于点M,交☉O于点G,求的长. (2) 连接OG,OC.∵ ∠CAB=30°,∠ACB=90°, ∴ ∠B=60°.∵ OB=OC,∴ △OBC为等边三角形. ∴ ∠COB=60°.∴ ∠AOC=120°.∵ ∠ACE=45°, EG⊥AC,∴ ∠MEC=45°.∴ ∠GOC=2∠MEC=90°.∴ ∠AOG=∠AOC -∠GOC=30°.∵ AB=8,∴ OA=OG=4.∴ 的长== 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21. (10分)如图,正方形ABCD内接于☉O,在上取一点E,连接AE,DE,过点A作AG⊥AE,交☉O于点G,交DE于点F,连接CG,DG. (1) 求证:△ADF≌△CDG; (1) ∵ AG⊥AE,∴ ∠EAG=90°.∴ ∠EDG=∠EAG=90°. ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AD=CD,∠ADC=90°.∵ ∠ADF+∠FDC=∠CDG+∠FDC=90°,∴ ∠ADF=∠CDG. 在△ADF和△CDG中,∴ △ADF≌△CDG　 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若AB=2,∠BAE=30°,求涂色部分的面积. 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 过点D作DH⊥AG于点H,连接OA,OD.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB=AD=2,∠BAD=90°,∠AOD=90°.∴ ∠AGD=∠AOD=×90°= 45°.∵ DH⊥AG,∴ ∠DHG=90°.∴ △HDG是等腰直角三角形.∴ HG =DH.∵ ∠DAG+∠BAG=∠BAE+∠BAG=90°,∴ ∠DAG=∠BAE=30°.在Rt△ADH中,∠DAG=30°,∴ DH=AD=×2=1.∴ AH== ,HG=DH=1.∴ AG=AH+HG=+1,DG=DH=.由(1),得△ADF≌ △CDG,∴ DF=DG=.∴ S△ADF=S△ADG-S△DFG=×(+1)×1- =.∵ OA=OD,∠AOD=90°,∴ △AOD是等腰直角三角形.∴ OA= AD=.∴ S弓形AD=S扇形AOD-S△AOD=-=-1.∴ S涂色部分=S△ADF+S弓形AD=+-1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22. (10分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC,交边BC于点E,经过点A,D,E的圆的圆心F恰好在y轴上,☉F与y轴相交于另一点G. (1) 求证:BC是☉F的切线; (1) 连接EF.∵ AE平分∠BAC,∴ ∠BAE=∠CAE.∵ FE=FA, ∴ ∠FEA=∠BAE.∴ ∠CAE=∠FEA.∴ EF∥AC.∴ ∠FEB =∠C=90°.∴ EF⊥BC.又∵ EF是☉F的半径,∴ BC是☉F 的切线 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若点A的坐标为(0,-1),点D的坐标为(2,0),求☉F的半径; (2) 连接FD.∵ 点A的坐标为(0,-1),点D的坐标为(2,0),∴ OA =1,OD=2.设☉F的半径为R,则OF=R-1.在Rt△FOD中,由勾 股定理,得OF2+OD2=FD2,∴ (R-1)2+22=R2,解得R=2.5.∴ ☉F 的半径为2.5 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (3) 试探究线段AG,AD,CD之间满足的数量关系,并证明. (3) AG=AD+2CD　过点E作EM⊥AG,垂足为M.∵ ∠C= 90°,∴ EC⊥AC.又∵ AE平分∠BAC,EM⊥AG,∴ EM= EC.在Rt△AEM和Rt△AEC中,∴ Rt△AEM≌ Rt△AEC.∴ AM=AC.∴ AG-MG=AD+CD.连接GE,ED. ∵ ∠BAE=∠CAE,∴ =.∴ EG=ED.又∵ EM=EC, ∴ Rt△GEM≌Rt△DEC.∴ MG=CD.∴ AG-CD=AD+CD, 即AG=AD+2CD 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$