1.2空间向量基本定理同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（    ） A．a B．a C．a D．a 3．在正四面体中，记，，，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（    ）    A． B．1 C． D．2 5．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若，则（    ） A． B．1 C． D． 7．体积为的圆锥底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足（其中），则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 8．已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 13．如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    14．已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 16．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 17．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 18．在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 19．如图，在三棱锥中，，，点M，N分别是，的中点 (1)求的值； (2)求异面直线，所成角的余弦值. ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由空间向量基本定理建立方程组求解即可. 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得， ，解得， 故选：B． 2．A 【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题. 【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底. ， 故，所以MN＝a. 故选：A 3．B 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解． 【详解】因为为棱的中点， 所以．      故选：B． 4．B 【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案. 【详解】正方体中，点为上底面的中心， 所以， 故， 因为，所以，. 故选：B. 5．D 【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案. 【详解】依题意构成空间的一个基底， A选项，由于，所以，，共面，故A错误； B选项，由于，所以共面，故B错误； C选项，因为，所以共面，故C错误. D选项，假设存在实数使得， 则有，无实数解，则假设不成立，则不共面. 故选：D. 6．D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】设， 则 ， 所以,解得． 故选：D    7．A 【分析】由向量共面的推论判断N的位置，进而得到最小时N的位置，设圆锥MO底面圆的半径为r，结合已知及圆锥体积公式求半径，即可得结果. 【详解】因为N满足（其中），即N在圆O所在的平面内． 所以的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高． 设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥MO的高为，则圆锥的体积为，解得． 所以的最小值为. 故选：A 8．D 【分析】 根据空间四点共面及二次函数的最值求解. 【详解】因为，且四点共面， 由空间四点共面的性质可知，即， 所以， 所以当时，有最小值. 故选：D 9．BC 【分析】 根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；   对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 10．BCD 【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D. 【详解】设正三棱柱的棱长为2， 以，，为基底向量，则， ，， 可得 ， 若，则， 则， 即， 所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误； 又，故，，，在同一平面内， 连接、、，依题意，，，平面， 所以平面，要使，所以需在上， 由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确. 故选：BCD． 11．ABD 【分析】A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到. 【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心， 故， 又，故 ，A正确； B选项，，故 ， 故，B正确； C选项，， 又， 设，即，无解，故与不平行，C错误； D选项， ， 故，D正确. 故选：ABD 12． 【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】取中点N，连接， 又 ，. 故答案为：. 13． 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，    所以 ， 所以. 故答案为：. 14．8 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】设正方体内切球的球心为G，正方体内的体对角线长为， 则，, 因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以．又点P在正方体表面上运动， 所以当P为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为8． 故答案为：8. 15．/ 【分析】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围. 【详解】设， 则 ， 又， ， ， 设，则， 所以，即． 由题设可得，故且， 故， 解得，故． 当且仅当，时等号成立． 故的最大值为． 16．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2）， 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 18．(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 19．(1)-14 (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，，利用表达出，从而求出； （2）方法一：在（1）的基础上，求出，利用求出答案； 方法二：作出辅助线，找到异面直线，所成角为或其补角，求出各边，利用余弦定理求出答案. 【详解】（1）选取一个基底， 由题意得，， ， ， 因为， 所以 . （2）方法一：由（1）知，， 所以 所以 ， 所以. 即异面直线，所成角的余弦值为. 方法二：取的中点E，连接，，如图， 因为点M是的中点，所以，且， 故异面直线，所成的角为或其补角. 因为，，点M，N分别是，的中点， 所以，⊥，⊥，⊥， 由勾股定理得， 所以，， 由勾股定理得， 在中，， 即异面直线，所成角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$