2024-2025学年高二上学期数学阶段检测（四）（选择性必修一+数列）

2024-2025学年第一学期阶段检测（四） 高二数学试题 注意事项： 1．试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。 4．试卷包括试题卷（共4页）和答题卡（共6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5. 本套试卷的范围：选择性必修一+数列。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为 A．60 B．72 C．76 D．80 2．数列满足，则数列的前8项和为 A．63 B．127 C．255 D．256 3．已知椭圆，点关于直线的对称点在上，且点与不重合，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，共面，则实数t的值是 A． B．0 C．1 D．2 5．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为 A． B． C． D． 6．已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为 A． B．8 C． D． 8．数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是 A．， B．， C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则 A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 10．已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是 A．是等差数列 B．若，则有最大值 C．，，成等差数列 D．若，，则 11．在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是 A．若，则平面 B．若，则过点的截面面积是 C．若，则点到平面的距离是 D．若，则与平面所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）. 13．过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． 14．已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分） 已知空间三点，，．设，． （1）求与的夹角； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值． 16．（本题满分15分） 数列满足 （1）求数列的通项公式 （2）设，求数列的前项和 17．（本题满分15分） 如图，在三棱锥中，为上的动点. （1）若，求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的长. 18．（本题满分17分） 已知椭圆分别为椭圆的左､右顶点，分别为椭圆的左､右焦点，斜率存在的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为. （1）证明：； （2）若，求的取值范围. 19．（本题满分17分） 记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换 ，．定义运算：若，则，． （1）若，用表示； （2）证明：； （3）若，，，证明：． 答案第1页，共2页 高二数学试题卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$答案第 1页，共 15页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（四） 高二数学参考答案 1．C 【分析】直接利用等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为 (4 34) 16 38 8 2     ， 由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等， 所以每行的数字之和为 38 8 76 4   . 故选：C. 2．C 【分析】根据给定条件，求出数列 2{log }na 的特征，再利用等比数列前 n项和公式计算即得. 【详解】由 21 1, 2n na a a   ，得 2 1 2 1 2log 1, log 2 logn na a a  ， 因此数列 2{log }na 是首项为 1，公比为 2的等比数列， 数列 2{log }na 的前 8项和为 81 2 255 1 2    . 故选：C 3．C 【分析】设 0(N x ， 0 )y ，由题意可得MN的斜率为 1 ，由两点的斜率公式可得 0x ， 0y 的一个关系式，由M ，N 的中点在直线方程上，从而可得N的坐标，将点N的坐标代入椭圆方程，可求出 t的值． 【详解】不妨设 0(N x , 0 )y ， 由题意可得 0 0 1 1 0 y x     ，即： 0 0 1y x  ， 又MN的中点 0 0 1, 2 2 x y      在直线 :l y x t  上， 所以 0 0 1 2 2 y x t   ，解得�0 = �，故 (1 , )N t t ， 而N在椭圆C上．故 2 2(1 ) 1 5 t t   ，解得 1t  或 2 3 t   ， 由于 1t  时N与M 坐标相同，故 2 3 t   ． 故选：C． 答案第 2页，共 15页 4．B 【分析】利用空间共面向量定理，设实数 ,x y满足a xb yc     ，列出方程组求解即可. 【详解】因为  1,3,1a   ，  2,1,1b   ，  ,5,1c t  三向量共面， 所以存在实数 ,x y，使得 a xb yc     ， 所以 1 2 3 5 1 x yt x y x y         ，解得 1 2 1 2 0 x y t         ， 故选：B. 5．D 【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有 244 10ba a a   ，即可求离心率范围. 【详解】 根据双曲线定义知： 1AF B 的周长为4 2a AB ，而 22bAB a  ， 所以 244 2 4 ba AB a a    ，而 1AF B 的周长为10a， 所以 244 10ba a a   ，即 2 22 3b a ，所以  2 2 22 3c a a  ，解得 10 2 e  ， 双曲线离心率的取值范围是 101, 2       . 故选：D 6．B 【分析】求出以线段 AB为直径的圆的方程，由题意可知直线 2y x 与该圆相离，再利用点到直线的距离公式 计算即可. 答案第 3页，共 15页 【详解】以线段 AB为直径的圆的方程为     2 2 213 16 2 4 ax y a         ， 圆心 3, 2 aC      ，半径 21 16 2 r a  ， 因为直线 2y x 上不存在点M ，使得 90AMB  ， 所以圆C与直线 2y x 没有交点， 则圆心 3, 2 aC      到直线 2 0x y  的距离d r> ， 即 2 6 12 16 24 1 a a     ，解得 8 2a   ， 所以实数 a的取值范围是  8, 2 . 故选：B. 7．A 【分析】以 AB的中点为坐标原点，AB所在直线为 x轴建立直角坐标系,可得M 的轨迹方程为圆  2 26 32x y   ， 数形结合 MAB△ 高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】以 AB的中点为坐标原点， AB所在直线为 x轴建立直角坐标系， 设� �, � ，且    2,0 , 2,0A B ， 由 2MA MB ，得    2 22 22 2 2 2x y x y     ， 化简得M 的轨迹方程为圆  2 26 32x y   ，半径 4 2r  ， 如下图，有 1 8 2 2MAB S AB r    ． 故选：A 8．B 【分析】根据定义列方程组，判断 2 3,a a 是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可. 【详解】由题知， 3 1 2n n n na a a a c    ， 又 3n na a  ，所以 2 1 2n n na a a c   ， �� 是周期为 3的周期数列. 答案第 4页，共 15页 对于 A，若 1 1a  ， 1c  ，则 2 3 0a a  ，则 2 0a  或 3 0a  若 2 0a  ，则 2 2 3 4 3 1 1a a a a a    ，得 3 1a   ， 又  223 4 5 1 21 1a a a a a     ， 由周期性可知，当 1 2 31, 0, 1a a a    时，满足 1 2 3 1n n n n a a a a     ，A不满足题意； 对于 B，若 1 2a  ， 2c  ，则 2 34 2a a  ，即 2 3 2a a  ， 又 2 2 2 3 4 2 3 2 2 3 4 5 3 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a           ，消元整理得 2 3 32 2 0a a   ， 即  23 1 1a    ，无实数解，故 B满足题意； 对于 C，若 1 1a  ， 0c  ，则 2 1 2 3 2 3 2 2 2 3 4 2 3 1 0 0 a a a a a a a a a a           ， 解得 2 3 1a a  ，显然 1 2 3 0n n n n a a a a     恒成立，C不满足题意； 对于 D，若 1 2a  ， 0c  ，则 2 1 2 3 2 3 2 2 2 3 4 2 3 4 0 2 0 a a a a a a a a a a           ， 解得 32 2a a  ，显然此时 1 2 3 0n n n n a a a a     恒成立，D不满足题意. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解题关键在于根据定义列方程组，判断 2 3,a a 是否有实数解，当有解时，结合周期性 即可判断. 9．BD 【分析】根据通径可得 2 6b  ，即可求解 A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解 B，根据离心率公 式即可求解 C，根据余弦定理求解最大角，即可求解 D. 【详解】 答案第 5页，共 15页 易知当 AB x 轴时，即线段 AB为通径时， �� 最短， 22 4 3 bAB   ，解得 2 6b  ，椭圆方程为 2 2 1 9 6 x y   ， 对于A，椭圆的短轴长为 2 2 6b  ，故 A错误； 对于B，因为 2ABF△ 的周长为 2 2 1 2 1 2 4 12AB AF BF AF AF BF BF a        ，且  min 2 2 minmax| 4, 12 | 8AB AF BF AB      ，故 B正确； 对于 C， 2 2c a b  3, 3,a  离心率 3 3 ce a   ，故 C错误； 对于D，易知当点 P位于短轴顶点时， 1 2PPF 最大，此时 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 (2 )3, 2 2 3, cos 0 2 a a cPF PF a F F c F PF a            ，又 1 2FPF 为三角形内角， 1 2 π0, , 2 F PF        椭圆上不存在点 P，使得 1 2 90F PF   ，故 D正确， 故选:BD. 10．ABD 【分析】根据等差数列前 n项和应用对应证明等差判断 A,应用数列正负求前 n项和的最大值，特殊值法判断 C, 结合等差数列性质判断 D. 【详解】 1 2 n nS a a n   ， 1 1 1 2 2 n n n nS S a a d n n       ，故 A正确； 若 2 0a  ，则 2 30 a a  ， 1S 最大；若 2 0a  ， 3 40 a a  ， 1 2S S 最大； 若 2 0a  ，则 2 ( 1)na a n d   ，则存在 *Nm ， 0ma  ， 1 0ma   ，故 mS 最大，故 B正确； 对数列：1，2，3，…，取 1n  ， 1 1S  ， 2 3S  ， 3 6S  ，故 C错误； 不妨设 n m ，则 1 20 0n m m m nS S a a a        ， 即 1 1( ) 0 0 2 2 m n m na a a an m      ，∴ 1 ( ) 2 m n m n a aS m n     ， 而 1 1 0 2 2 m n m na a a a    ，故 0m nS   ，D正确． 故选:ABD． 11．BD 【分析】延长 1,BB QP相交于点L，若 1 1 //A B 平面MPQ，根据线面平行的性质定理可得 L与 B重合可判断 A；连 接 1 1 1, ,AD QD C B，得四边形 1ADQP即为过点 , ,M P Q的截面，利用四边形 1ADQP是等腰梯形，求出面积可判断 B； 以D为原点， 1, ,DA DC DD所在的直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，求出平面MPQ的一个法向量，利 用点到平面的向量求法可判断 C；利用线面角的向量求法可判断 D. 【详解】对于 A，若 1t  ，则    BM BA，即点M 与点A重合， 答案第 6页，共 15页 延长 1,BB QP相交于点 L，连接 AL，则平面 1 1ALB A I 平面 MPQ AL， 若 1 1 //A B 平面MPQ， 1 1A B 平面 1 1ALB A，所以 1 1 //A B AL， 因为 1 1 //A B AB，所以 //AB AL，即L与 B重合，显然不可能，故 A错误； 对于 B，若 1t  ，则    BM BA，即点M 与点A重合， 连接 1 1 1, ,AD QD C B ，因为 1 1 1// , //AD C B PQ C B ，所以 1 //AD PQ， 即四边形 1ADQP即为过点 , ,M P Q的截面，且 1=2 2, = 2AD PQ ， 2 2 2 2 1 1 1 15, 5AP AB BP DQ C D CQ      ， 所以四边形 1ADQP是等腰梯形，其高为   2 2 1 32 2 2 2 2 h AP        ， 所以四边形 1ADQP的面积为  1 3 92 2 22 22  ，故 B正确； 对于 C，若 1 2 t  ，即点M 是 AB的中点，以D为原点， 1, ,DA DC DD所在 的直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，则        12,1,0 , 1,2,0 , 0,2,1 , 2,0,2M P Q A ，    1,1,0 , 2,1,1MP MQ      ，  1 0, 1, 2MA    ， 设  , ,n x y z 为平面MPQ的一个法向量，则 0 0 n MP n MQ         ，所以 0 2 0 x y x y z        ，令 1y  ，则 1, 1x z  ， 答案第 7页，共 15页 所以  1,1,1n  ，所以点 1A到平面MPQ的距离为 1 1 1 1 2 1 15 155 1 1 1 n MA n MAd MA nn MA                ，故 C错误， 对于 D，若 1 2 t  ，由 C，    2,0,0 , 2,2,0A B ，所以  0,2,0AB   ，  1,1,1n  为平面MPQ的一个法向量， 设 AB与平面MPQ所成角为 π0 2        ， 则 2 3sin 32 1 1 1 n AB n AB           ， 所以 2 6cos 1 cos 3     ， 可得 3 3tan 6 2 2 3    2 2 ，故 D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：CD选项的解题的关键点是建立空间直角坐标系求解. 12． 3 2 BC  【分析】写出PC  表达式，求出 , ,PA BC AB BC BC BC         ，即可得出向量PC  在向量 BC  上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥P ABC 中，已知 PA 平面 ABC， AB BCPC PA       , ∵ BC 面 ABC， ∴ , 0PA BC PA BC     ， 在 ABCV 中， 120ABC  ， 6PA AB BC   ， ∴ 2 36BC BC BC      , 答案第 8页，共 15页    cos 180 6 6cos 180 120 18AB BC AB BC ABC              ， ∴向量PC  在向量BC  上的投影向量为：   2 2 2 BCPC BC BC BC BCBC B PA AB BC PA AB BC BC BC BC C BC                           0 18 36 3 36 2 BC BC     ， 故答案为： 3 2 BC  . 13． 4 22, 0, 3 3            ． 【分析】根据题意，将曲线 24y x  ，变形为 2 2 4x y  ， 0y  ，分析可得其为圆的上部分， 结合直线与圆的位置关系即可． 【详解】由题意可设直线  : 1 2l y k x   ，又曲线 24y x  可化为 2 2 4x y  ， 0y  ， 作出直线 l与曲线 24y x  的图象如图所示： 设图中直线 1l ， 2l ， 3l ， 4l 的斜率分别为 1k ， 2k ， 3k ， 4k ， 则  1 2 0 2 1 2 3 k     ， 2 0k  ， 3 2 0 2 1 2 k     ， 又直线 4l 的方程为  42 1y k x   ， 圆心  0,0 到直线 4l 的距离为 4 2 4 2 2 1 k k    ， 解得 4 0k  （舍去）或 4 4 3 k   ， 要使两图象有两个不同的交点，则 4 22, 0, 3 3 k             ． 故答案为： 4 22, 0, 3 3            14．3 【分析】分析题意，得到 PA MBk k 是定值，再结合椭圆对称性求解即可. 【详解】由题意可知 ( 2,0), (2,0)A B ．如图，设� �0, �0 ， 答案第 9页，共 15页 可得直线 ,PA PB的斜率分别为 0 0 0 0 , 2 2PA PB y yk k x x     ． 因为点 P在双曲线上，则�0 2 4 − �0 2 3 = 1，因此 0 0 0 0 3 2 2 4PA PB y yk k x x       ． 设点� �1, �1 ，可得直线 ,MA MB的斜率 1 1 1 1 , 2 2MA MB y yk k x x     ， 因为点� �1, �1 在椭圆上，则 2 2 1 1 1 4 3 x y   ，整理得 1 1 1 1 3 2 2 4MA MB y yk k x x        ， 所以 3 4MA MB k k   ，即 3 4PA MB k k   ，可得 MB PB BNk k k    ， 所以直线MB与NB关于 x轴对称． 又因为椭圆也关于 x轴对称，且M，N过椭圆右焦点 F，则MN x 轴， 则 3| | 2 MF  ，所以 1 1 3| | | | 4 3 2 2 2MAB S AB MF      △ ． 故答案为：3． 【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线上的任一点与顶点的连线所在直线的斜率之积为定值. 15．（1） 2 3  （2） 1 33 8   【分析】（1）根据空间向量模的坐标运算公式即可求出模长，又可知 ,a b  的坐标，根据空间向量夹角的坐标运 算公式，即可求出结果； （2）由（1）可求出 ka b   ， 2ka b   的坐标，由向量 ka b   与 2ka b   互相垂直， 可得    2 0kaka bb      ，再根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程，即可求出结果. 【详解】（1）解：因为  4,0,4A  ，  2,2,4B  ，所以  2,2,0a AB    , 所以 2 2 22 2 0 2 2a      ； 因为  2,2,4B  ，  3,2,3C  ，所以  1,0, 1b BC    r uuur ， 所以    2 221 0 1 2b       r ； 答案第 10页，共 15页    2 1 2 0 0 1 1cos 22 , 2 2 a ba b a b                      ， 又  0, ,a b     ，所以 2, 3 a b      ， 即a与b  的夹角为 2 3  . （2）解：由（1）可知  2 1,2 , 1ka b k k      ，  2 2 ,22 ,2kka kb     ， 又向量 ka b   与 2ka b   互相垂直， 所以    2 0kaka bb      ，所以    2 1,2 , 1 2 2,2 ,2 0k k k k     ， 即    22 1 2 2 4 2 0k k k     ，解得 1 33 8 k   . 16．（1） 2 1na n  （2） 1 16 3 4 9 9 4n n nS      【分析】（1）由 1 2 3 1 1 1 1 3 5 7 (2 1) 2 1n n a a a n a n         可得 1 2 3 1 1 1 1 1 1 3 5 7 (2 1) 2 1n n a a a n a n          ，两式相减即 可求解. （2）代入 2 1na n  可得 12 1 (2 1) 1 1( ) 2 4 n n n nb n       ，运用错位相减法即可求解. 【详解】（1）依题意， 当 1n  时，由已知得 1 1 1 3 2 1 1a    ，得 1 1a  ， 当 2n  时，由 1 2 3 1 1 1 1 3 5 7 (2 1) 2 1n n a a a n a n         ，① 得 1 2 3 1 1 1 1 1 1 3 5 7 (2 1) 2 1n n a a a n a n          ，② 由①②得 1 1 1 (2 1) 2 1 2 1 (2 1)(2 1)n n n n a n n n n          ， 所以 2 1na n  ， 当 1n  时， 1 1a  也适合上式， 综上， 2 1na n  . （2）由（1）知 12 1 (2 1) 1 1( ) 2 4 n n n nb n       ， 所以 2 1 2 31 4 4 4n n nS      ， 所以 2 1 1 1 2 1 4 4 4 4 4n n n n nS        ， 两式相减，整理得： 答案第 11页，共 15页 2 1 113 1 1 1 4 4 141 14 4 4 4 4 4 3 3 4 41 4 n n n n n n n n n nS                 ， 所以 1 16 3 4 9 9 4n n nS      . 17．（1）证明见解析 （2） 11 3 4 CD  【分析】（1）两次利用勾股定理分别证明PD AD ，PD BD ，即可得证； （2）由（1）问可知，确定空间直角坐标系的原点位置，然后建系，利用已知的二面角建立等式关系，求出动 点 D的坐标，即可得出答案. 【详解】（1） 在Rt ABC△ 中， 6, 2 3AB BC  ，则 4 3AC  ， 又 2 3, 6PA PC  ，所以 2 2 2AC PC PA  由勾股定理可得 APC△ 为直角三角形， 90APC   , 所以 tan 3 PCPAC PA    ，所以 60PAC   在 PAD△ 中，因为 3AD  ，由余弦定理可得： 2 2 2 2 22 cos (2 3) ( 3) 2 2 3 3 cos60 9PD AP AD AP AD PAD            则 2 2 2PD AD PA  ，所以 PD AD ， 又 3 3, 60CD ACB  ，在 DCB△ 中由余弦定理可得：    2 22 2 2 2 cos 2 3 3 3 2 2 3 3 3 cos60 21BD BC CD BC CD ACB            ， 则 2 2 2PD BD PB  ，所以 PD BD ， 又 AD BD D AD  ， 平面 ABC BD ， 平面 ABC， 所以PD 平面 ABC （2）在 AC上取一点O，使 3AO  由（1）可得 PO 平面 ABC，作OE AC ， 如图以O为坐标原点， , ,OE OC OP所在的直线分别作为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系. 答案第 12页，共 15页 则点          0,0,0 , 1,0,0 , 0,0,3 , 3,2 3,0 , 0, ,0O E P B D t ， 因为OE 平面 APD，所以  1,0,0OE   为平面 APD的一个法向量， 设平面 PDB的一个法向量为      , , , 3, 2 3, 3 , 3,2 3 ,0n x y z PB DB t      ， 由 0 0 n PB n DB         可得   3 2 3 3 0 3 2 3 0 x y z x t y         ，取 3y  ，则 2 3,x t z t   ，所以  2 3,3,n t t  ， 因为 πcos 4 n OE n OE      ，所以 2 2 2 3 2 2( 2 3) 9 t t t      ，解得 3 4 t  ， 即 3 4 OD  ，又 4 3 3 3 3OC AC AO     ，所以 3 11 33 3 4 4 CD OC OD     , 所以当 11 3 4 CD  时，则二面角 A PD B  的大小为 π 4 . 18．（1）证明见解析 （2） 9 50, 2        【分析】（1）设出直线，联立后消去 x得与 y有关的韦达定理后结合斜率公式计算即可得； （2）借助（1）中的结论，将 2F PQ△ 面积用未知数表达后结合换元法，借助函数性质求最最值即可得. 【详解】（1）设 l的方程为 ( 0)x ty m t   ，联立 2 2 1 16 12 x ty m x y       ， 消去 x，得  2 2 23 4 6 3 48 0t y mty m     ，需满足 0  ， 设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，则 2 1 2 1 22 2 6 3 48, 3 4 3 4 mt my y y y t t        ， 易知    1 24,0 , 4,0A A ， 所以 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 3 44 4 16 4 3 PA PA y y y yk k k k x x x y              ， 同理 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 22 2 2 2 3 44 4 16 4 3 QA QA y y y yk k k k x x x y              ； 答案第 13页，共 15页 （2）因为  1 4 2 3 5 3 k k k k   ，则由（1）知，  2 3 2 3 3 3 5 4 4 3 k k k k     ， 即  2 3 2 3 2 3 3 5 4 3 k k k k k k      ， 由 l与 x轴不垂直可得 2 3 0k k  ，所以 2 3 9 20 k k   ，即 2 2 9 20PA QA k k   ， 所以 1 2 1 2 9 4 4 20 y y x x      ，即   1 2 1 220 9 4 4 0y y ty m ty m      ， 整理得      2 21 2 1 29 20 9 4 9( 4) 0t y y t m y y m       ，     2 2 2 2 2 3 48 69 20 9 4 9( 4) 0 3 4 3 4 m mtt t m m t t             ， 整理得 2 3 4 0m m   ，解得 1m   或 4m  ， 因为P Q､ 在 x轴的两侧，所以 2 1 2 2 3 48 0 3 4 my y t     ，解得 4 4m   ， 又 1m   时，直线 l与椭圆C有两个不同的交点，因此 1m   ，直线 l恒过点  1,0D  ， 当 1m   时， 1 2 1 22 2 6 45, 3 4 3 4 ty y y y t t       ，   2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 3 3 6 45 18 4 54 4 2 2 2 3 4 3 4 3 4F PQ t tS F D y y y y y y t t t                  ， 设 24 5t   ，则 2 2 5 4 t   ，由 l与 x轴不垂直得 5  ， 且 2 2 2 2 18 4 5 72 72 13 4 3 1 3 F PQ t t            △S ， 因为函数 72 13 y x x   在 5,   上为减函数，所以 2F PQS 的取值范围为 9 50, 2        . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为    1 1 2 2, , ,x y x y ； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为 1 2x x 、 21x x （或 1 2y y 、 1 2y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解. 答案第 14页，共 15页 19．（1） 4 1 4 2 3 3 2 4 1m a b a b a b a b    ； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【分析】（1）根据新定义，由 3x 项系数相等可得； （2）利用新定义证明 (({ } { }) { }) ({ } ({ } { }))n n n n n nf a b f c f a b f c     即可； （3）根据多项式的乘法可得 1 2 1 1 1 2 1n n n k n k n nd a b a b a b a b a b           ，然后利用通项公式整理化简即可得 证. 【详解】（1）因为           n n n nf a b f a f b     2 3 2 31 2 3 4 1 2 3 4a a x a x a x b b x b x b x          31 4 2 3 3 2 4 1a b a b a b a b x      ， 且    2 31 2 3 4nf m m m x m x m x    ， 所以，由     n n na b m  可得 3 34 1 4 2 3 3 2 4 1( )m x a b a b a b a b x    ， 所以 4 1 4 2 3 3 2 4 1m a b a b a b a b    . （2）因为 ({ } { }) ({ }) ({ })n n n nf a b f a f b   ， 所以 ({ }) ({ }) ({ }) ({ } { }) ({ })n n n n n nf a f b f c f a b f c      (({ } { }) { })n n nf a b c  又因为            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nf a f b f c f a f b f c       ({ }) ({ } { })n n nf a f b c   ({ } ({ } { }))n n nf a b c   所以 (({ } { }) { }) ({ } ({ } { }))n n n n n nf a b f c f a b f c     ， 所以              n n n n n na b c a b c     . （3）对于{ },{ }n na b S ， 因为 1 1 1 1 2 1 2 1 2( )( ) n n n n n na a x a x b b x b x d d x d x                    ， 所以 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1( ) ( ) ( ) n n k n k n n n k n k n nnd x a b x a x b x a x b x a x b                ， 所以 1 2 1 1 1 2 1n n n k n k n nd a b a b a b a b a b           ， 答案第 15页，共 15页 所以      1 1 n n n n k n k k a b d a b              ， 2200 100 200 100 100 200 201 201 201 201 2 1 1 101 1 1 ( 1) 1 ( 1)2k k k k k k k k kk k k k k kd a b a b a b a b k k                     ， 所以 100 200 2 1 1 2 11 2 1kk d k k        ，   100 100 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2k k kk k k k                 102 1 102 1 2 101 2 2     . 【点睛】难点点睛：本题属于新定义问题，主要难点在于对新定义的理解，利用多项式的乘法分析，结合通项 公式即可得证. 2024-2025学年第一学期阶段检测（四） A.--B.-82) C.(-81) D.(L+ 高二数学试题 T.已线段A语前彩度为4，动点M与点A的距离是它与点s的距离的√互信，别△“B而积的最大植为 注童事项： A.85 B. C.4w2 n号 1.试卷共19烟。满分10分，考时同120分钟。 2.答静前，考生务经将白已的考号、姓名等相关结皇第写在答卡上. 表数到a条明购为实疏，对任意，eN满是说：定义行州试》时-女且行火小c为 3.回溶这择题时，速出每小题答案后，用相笔把答海卡上对应增目的答案标号徐用，知盾要支动用橙皮擦 定第，测下列建寞中不可能的是 干净后，再这涂其他答案标号，同容非透样烟时，将容案写在若题卡的指定区域。写在本试题套上无效 A。a=l,c= 日.馬m2.e。2 4,试卷包括试题静《共4页)和答烟卡（共6资）两部分，考试法束后。将本试卷和答题华并父回。 五，本套试卷的范国：法择性必修。数列 C.4=1,e=0 D.号=2，c-0 一，远释题：本莲找8小题，每小题5分，其40分，在蜂小则始出的四个选项中，只有一项是符合题月要 求的 二、选师愿：本愿共3小愿，华小愿6分，共18分，在每小题给曲的选项中。有多项符合愿日要求.全选 1,我国古代《洛书2中记我看一种三图方：将1-9九个数学嚼入一个5×小约正方形方 对的得6分，难对但不全得第分分，有选辑约得0分。 格，调足每行.母到.每条对角线上的三个数之和门《图).已知数到和，口N 身已妇稀侧号卡一和cc到的无，右新点行别为5，注点的直线发要下B两点，书调的最小 的通现公式为年，=+2，观将请数到的镇16项填入一个4网4的正方形方格。使其满是四 值为4。期 输幻方，则此四除幻方中每一行的数字之相为 三阶灯方 A。脑图的7轴长为 A.0 B.72 C.76 D.80 B,4+B旷的最大值为8 2.数判每端足此，4-，则数列kg的喻书项和为 C离心常为过 A.③ B.127 C.255 D.25% D.椭帽上不存在点P,使得∠FP5=0 3.己知明网C:+y2-1,点M(0,)关干直线：=+的对称高X在C上，月点M与N不重合，期：一 10.已知等装数列{a,》的公差0，其殖n须和为5·则下列说法E确的是 A吉 B c D.-1 人侣是等装数列 B.若<0，喇S有量大植 4.已如向量a=(儿入)，62,1.)，c=.)共直，实数的值是 C,8。品。品成等差数刻 D,若S-品，刚，则5,0 A.-1 B.0 C.I D.2 5.已知双h线C号兰-=0≥0,6≥物的左在纯点分别为气名：过尽的直线双盐线的右支交于么8两点， 1l,在棱长为2的正方第ACD-A底CD中，PQ分别是棱C,Cm中点，点M满足丽1可，下 列结论正需的是 若aA5的同长为心如，则双线两心率的取植范国为 A.若1=1。期4平丽P可 B.着1-，期过成M,户Q的量面面积是 6.已知点A1,a,S0,直伐y=2上不存在点划，使得∠倦r,国文数的值范围是 高二数学以增鞋第1宜共4真 高二数学试是在境叫关4项 C,若一宁则点《到平面吧的距商是马 17.(本墨满分5分) D.着1子彩与平所w?所成角的正切值为号 如图，在三棱锥P-AC中，P-C-25.C-AB-A,F路=，∠4BC-%,D为4松上的词点 (1)看AD=5,求证：PD⊥平面AC: 三、填空圆：木是共3小娜，每小冕5分，共15分 (2)若半面P4D与平值P即的夹角为子求G0的长 2.知图.在三传望P-AC中，己知PA⊥平直AC,∠AC-r,A=A=C6,图向量风在海量风 上的授向量为 (用量C米表示). 8。(本题满分7分) 已如圆C云后-七毛分别为屏器C的无，右顶点：人男分别为州网C的左.有点，新车作在的 钱r交输同C于P0两点，配直线4只P4,Q4的斜率分别为4与k- E明：6女 3,过点L)的直线与战，=、-x有且仅有丙个不的交点，素解常的取情范国为 2石+6色+小，求5的取的藏属 4已细小，B是所测号子-1中双直线兰子一的公共起，右随点，户是双由线在结一家限上的一点，直 线P4,P竖交桶程于M,N丙点，覆直线MN过解图的右焦点F,则△B的面积为 19.(本思满分17分) 记集合3=向，无穷数列间1中存在有表项不为零，e斗，对任意风{eS,授变装/，》日 因、解答题：本塞共5小题。共了分，然若应写出文字说明，任明过园减演算步理， 馬+a+…+a+一，@R.定又运夏8若。)68，则间}@收}起3，fa®执小f(风（他. 15.(本题满分13分 已知空间三点-4.0，-22,4，C(-点2.设@-店，- (1)石风}0恢}=围1，用属网4内，4，b表示 1)求a与6的夹角： (2)证明：{®6)8}■a他，0 (2)若白量a+与ka-2五互相击直，求实数★自望 ui1sas10的. 3)若4=+1 小50，-a@,证男，n分 且n>100 16.(本遵满分15分) 列满限女名六一司 《1)求数列何，}的通项公式 2)设我，术数到队，的背0项和5 高一数学以增鞋第3真共4真 高二数学认鞋在第4琪兴4高二数学试题卷 第 1页 共 4页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（四） 高二数学试题 注意事项： 1．试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。 4．试卷包括试题卷（共 4页）和答题卡（共 6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5. 本套试卷的范围：选择性必修一．．．．．．+数列．．。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1 9 九个数字填入一个3 3 的正方形方 格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列  *na nN 的通项公式为 2 2na n  ，现将该数列的前16项填入一个 4 4 的正方形方格，使其满足四 阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为 A．60 B．72 C．76 D．80 2．数列{ }na 满足 21 1, 2n na a a   ，则数列 2{log }na 的前 8项和为 A．63 B．127 C．255 D．256 3．已知椭圆 2 2: 1 5 xC y  ，点  0,1M 关于直线 :l y x t  的对称点N在C上，且点M 与N不重合，则 t  A． 1 3  B． 1 2  C． 2 3  D． 1 4．已知向量  1,3,1a   ，  2,1,1b   ，  ,5,1c t  共面，则实数 t的值是 A． 1 B．0 C．1 D．2 5．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左右焦点分别为 1 2,F F ，过 2F 的直线与双曲线的右支交于 ,A B两点， 若 1ABF 的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为 A． 6 , 2       B． 10 , 2       C． 61, 2       D． 101, 2       6．已知点  1,A a ，  5,0B ，直线 2y x 上不存在点M ，使得 90AMB  ，则实数 a的取值范围是 高二数学试题卷 第 2页 共 4页 A．  , 8  B．  8, 2 C．  8,1 D．  1, 7．已知线段 AB的长度为 4，动点M 与点A的距离是它与点 B的距离的 2倍，则 MAB△ 面积的最大值为 A．8 2 B．8 C．4 2 D． 16 3 8．数列 na 各项均为实数，对任意 *nN 满足 3n na a  ，定义：行列式 a b ad bc c d   且行列式 1 2 3 n n n n a a c a a     为 定值，则下列选项中不可能的是 A． 1 1a  ， 1c  B． 1 2a  ， 2c  C． 1 1a  ， 0c  D． 1 2a  ， 0c  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 6分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分. 9．已知椭圆 2 2 2 1(0 3)9 x y b b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，过点 1F 的直线 l交椭圆于 ,A B两点，若 AB 的最小 值为 4，则 A．椭圆的短轴长为 6 B． 2 2AF BF 的最大值为 8 C．离心率为 3 2 D．椭圆上不存在点 P，使得 1 2 90F PF   10．已知等差数列 na 的公差 0d  ，其前 n项和为 nS ，则下列说法正确的是 A． n S n       是等差数列 B．若 0d  ，则 nS 有最大值 C． nS ， 2nS ， 3nS 成等差数列 D．若 m nS S ，m n ，则 0m nS   11．在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,P Q分别是棱 1,BC CC 的中点，点M 满足  , 0,1BM tBA t    ，下 列结论正确的是 A．若 1t  ，则 1 1 //A B 平面MPQ B．若 1t  ，则过点 , ,M P Q的截面面积是 9 2 高二数学试题卷 第 3页 共 4页 C．若 1 2 t  ，则点 1A到平面MPQ的距离是 3 6 D．若 1 2 t  ，则 AB与平面MPQ所成角的正切值为 2 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．如图，在三棱锥P ABC 中，已知 PA 平面 ABC， 120ABC  ， 6PA AB BC   ，则向量PC  在向量 BC  上的投影向量为 （用向量BC  来表示）. 13．过点  1,2P 的直线 l与曲线 24y x  有且仅有两个不同的交点，则 l斜率的取值范围为 ． 14．已知 A，B是椭圆 2 2 1 4 3 x y   与双曲线 2 2 1 4 3 x y   的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直 线 ,PA PB交椭圆于M，N两点．若直线MN过椭圆的右焦点 F，则 MAB△ 的面积为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分 13分） 已知空间三点  4,0,4A  ，  2,2,4B  ，  3,2,3C  ．设a AB   ，b BC r uuur ． （1）求a与b  的夹角； （2）若向量 ka b   与 2ka b   互相垂直，求实数 k的值． 16．（本题满分 15分） 数列 na 满足   * 1 2 3 1 1 1 1 , 3 5 7 2 1 2 1n n n a a a n a n         N （1）求数列 na 的通项公式 （2）设 1 2 n n n a ab  ，求数列 �� 的前n项和 nS 高二数学试题卷 第 4页 共 4页 17．（本题满分 15分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， 2 3, 6, 30, 90 ,PA BC PC AB PB ABC D       为 AC上的动点. （1）若 3AD  ，求证：PD 平面 ABC； （2）若平面 PAD与平面 PBD的夹角为 π 4 ，求CD的长. 18．（本题满分 17分） 已知椭圆 2 2 1 2: 1, ,16 12 x yC A A  分别为椭圆C的左､右顶点， 1 2,F F 分别为椭圆C的左､右焦点，斜率存在的直 线 l交椭圆C于 ,P Q两点，记直线 1 2 2 1, , ,AP PA A Q QA的斜率分别为 1 2 3 4, ,k k k k､ . （1）证明： 3 4 3 4 k k   ； （2）若  1 4 2 3 5 3 k k k k   ，求 2F PQS 的取值范围. 19．（本题满分 17分） 记集合   |nS a 无穷数列 na 中存在有限项不为零， *nN ，对任意 na S ，设变换    11 2 nn nf a a a x a x          11 2 nn nf a a a x a x      ，� ∈ �．定义运算：若   ,n na b S ，则   n na b S  ，           n n n nf a b f a f b   ． （1）若     n n na b m  ，用 1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , , ,a a a a b b b b 表示 4m ； （2）证明：              n n n n n na b c a b c     ； （3）若     21 1 ,1 100 1 0, 100 n n n a n n n          ， 2031 ,1 500 2 0, 500 n n nb n          ，     n n nd a b  ，证明： 200 1 2 d  ． 高二数学答题卡 第 1页 共 6 页 高二数学答题卡 第 2页 共 6 页 高二数学答题卡 第 3页 共 6 页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（四） 高二数学答题卡 姓名： 班级： 学校： 准考考号 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分. 9[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 13. 14. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 16.（15 分） 17.（15 分） 贴 条 码 粘 贴 区 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码， 并用 2B 铅笔填涂该缺考标记。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号 填写清楚。 2、选择题填涂时，必须使用 2B 铅笔按 图 示填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔 书写。 3、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超 出范围的答案无效，在草稿纸、试题卷上作答 无效。 4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学答题卡 第 4页 共 6 页 高二数学答题卡 第 5页 共 6 页 高二数学答题卡 第 6页 共 6 页 18.（17 分） 19.（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效