1.4.3诱导公式与对称课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

4.3　诱导公式与对称 新知初探-课前预习 [教材要点] 要点一　特殊角的终边的对称关系 1．角－α的终边与角α的终边关于________对称． 2．角α±π的终边与角α的终边关于________对称． 3．角π－α的终边与角α的终边关于________对称． x轴 原点 y轴 －cos α －sin α　 －cos α sin α　 －cos α 要点二　诱导公式 －α：sin(－α)＝________ cos(－α)＝________ α＋π：sin(α＋π)＝________ cos(α＋π)＝________ α－π：sin(α－π)＝________ cos(α－π)＝________ π－α：sin(π－α)＝________ cos(π－α)＝________ －sin α cos α －sin α eq \x(状元随笔)　①记忆方法：－α、α±π、π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”． ②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α. [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若α＋β＝π，则α与β的终边关于y轴对称．(　　) (2)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (3)存在角α，使sin(π＋α)＝sin α，cos(π－α)＝cos α.(　　) (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) √ × × √ 2．sin 600°的值是(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2). 答案：D 3．若sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则sin(4π－α)的值是(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：∵sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)， ∴sin α＝eq \f(1,2)，sin(4π－α)＝－sin α＝－eq \f(1,2). 答案：A 4．已知cos(α－π)＝eq \f(2,3)，则cos(π＋α)＝________. 解析：∵cos(α－π)＝－cos α＝eq \f(2,3)， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3) 题型一　利用诱导公式求值——微点探究 微点1　给角求值 例1　(1)sineq \f(4π,3)·coseq \f(5π,6)的值是(　　) A．－eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),4) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4) (2)sin2120°＋cos 180°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________. D －eq \f(1,2) 　解析：(1)sineq \f(4π,3)·coseq \f(5π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(3,4).故选D. (2)原式＝sin260°＋(－1)－cos230°＋sin 30°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋(－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2). 方法归纳 利用诱导公式解决给角求值问题的方法 (1)“负化正”，用－α的诱导公式； (2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的诱导公式将角化为0到2π间的角； (3)“小化锐”用π±α的诱导公式将大于eq \f(π,2)的角转化为锐角； (4)“锐角求值”．微点2　给值求值 例2　(1)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),2)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))的值是________． (2)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2 019)＝1，则f(2 020)＝________. －eq \f(\r(3),2) 3 解析：(1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),2). (2)f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋2 ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2 ＝－asin α－bcos β＋2＝1， 即asin α＋bcos β＝1. ∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＋2＝asin α＋bcos β＋2＝3. 方法归纳 解决条件求值问题的方法 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 跟踪训练1　(1)cos 240°＝(　　) A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2) (2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,3)))＝________. 解析：(1)cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－eq \f(1,2). (2)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋2π－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2). 答案：(1)A　(2)－eq \f(1,2) 题型二　利用诱导公式化简——师生共研 例3　(1)化简eq \f(cos2π＋αsinα－πcosπ－α,sinπ＋αcos－α)＝(　　) A．cos α B．sin α C．－sin α D．－cos α (2)化简：eq \f(sinα－πsin5π－α＋sin－α－πsinα＋π,sin3π＋αsin－α)＝________. 解析：(1)原式＝eq \f(cos α·－sin α·－cos α,－sin α·cos α)＝－cos α.故选D. (2)原式＝eq \f(－sin α·sin α＋sin α·－sin α,－sin α·－sin α)＝eq \f(－2sin2α,sin2α)＝－2. 答案：(1)D　(2)－2 方法归纳 三角函数式化简的关键是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α这几组的诱导公式，它们的特点都是同名间的关系，不同的是符号的变化． 跟踪训练2　(1)化简：1－cos(α－2π)cos(π＋α)－2cos2(－α)＝________. (2)化简：eq \f(cosπ－αsinα－3π－cos－α－πsinα－2π,cos3π－αsin－α)＝________. 解析：(1)原式＝1－cos α·(－cos α)－2cos2α＝1＋cos2α－2cos2α＝1－cos2α. (2)原式＝eq \f(－cos α·－sin α－－cos α·sin α,－cos α·－sin α)＝eq \f(2cos αsin α,cos αsin α)＝2. 答案：(1)1－cos2α　(2)2 易错辨析　忽略讨论参数的取值致误 例4　化简eq \f(sinnπ＋αcosnπ－α,cos[n＋1π－α])(n∈Z)的结果为________． 解析：当n＝2k(k∈Z)时， 原式＝eq \f(sin2kπ＋αcos2kπ－α,cos[2k＋1π－α])＝eq \f(sin αcos α,－cos α)＝－sin α， 当n＝2k＋1(k∈Z)时 原式＝eq \f(sin[2k＋1π＋α]cos[2k＋1π－α],cos[2k＋2π－α]) ＝eq \f(－sin α－cos α,cos α)＝sin α， 所以化简所得的结果为(－1)n＋1sin α(n∈Z)． 易错警示 易错原因 纠错心得 没有对n分类讨论. 由于本题中含n(n∈Z)，正弦、余弦值的符号受n的限制，因此要按n为偶数与奇数两种情况进行分类讨论. $$