精品解析：贵州省卓越联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

贵州省学校卓越联盟发展计划项目2024年上半年期中考试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ） A. 54 B. 12 C. 8 D. 81 3. 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. 240 D. 60 5. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（ ） A. 120种 B. 144种 C. 48种 D. 24种 6. 用半径为1的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时，（ ） A. B. C. D. 7. 乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ） A. 打满三局结束比赛的概率为 B. 的常数项为4 C. 函数在上单调递增 D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（ ） A. B. C. 一次都不停留的概率为 D. 至多停留一次的概率为 10. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C. ，且，都有． D. ，，使得成立，则实数． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______． 13. 每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为__________. 14. 2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有______种（用数字作答）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ （1）老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” （2）老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2），都有，求实数a的取值范围． 18. 设是不等式的解集，整数． （1）设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件包含的样本点． （2）设，写出随机变量X的分布列，求． 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省学校卓越联盟发展计划项目2024年上半年期中考试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】运用导数几何意义得答案. 【详解】曲线在处的切线方程为， 则运用导数几何意义，知道. 故选：D. 2. 高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ） A. 54 B. 12 C. 8 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】直接由分步计数原理求解即可． 【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同， 可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 共分步计数原理可得共有种． 故选：B． 3. 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，再利用独立事件的概率乘法公式求解． 【详解】设事件表示“小球落入2号容器”， 若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右， 所以． 故选：B． 4. 在的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. 240 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】运用二项式定理，结合组合数公式求解即可. 【详解】， 要得到含项，只需要找出展开式的，即可. 二项式的展开式中含的项为，没有含的项. 故含项为，含项的系数是240. 故选：C. 5. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（ ） A. 120种 B. 144种 C. 48种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【分析】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解． 【详解】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 6. 用半径为1的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此， 可得． 令，即，得， 当时，；当时，， 所以时，取得极大值，并且这个极大值是最大值， 把代入，得， 由，得． 故选：B． 7. 乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ） A. 打满三局结束比赛的概率为 B. 的常数项为4 C. 函数在上单调递增 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项. 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为， 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 ， 由知常数项为2，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数的性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：C. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用导数判断函数单调性，又可得，从而可得，代入式子，综合基本不等式可解. 【详解】，求导恒成立， 即在定义域内单调递增，因为， 若，则，则，所以. ，当且仅当，即取等号. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（ ） A. B. C. 一次都不停留的概率为 D. 至多停留一次的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】运用相互独立事件概率乘法公式，结合组合数公式逐个计算即可 【详解】的所有可能为. ，， ，. 则选项中，错误，正确. 故选：BC 10. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解. 【详解】求导得，设切点为， 则，切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或. 当时，，切线方程为. 当时，，切线方程为. 故选：BC. 11. 已知函数，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C. ，且，都有． D. ，，使得成立，则实数． 【答案】BD 【解析】 【分析】先分别求出函数和的单调性，对于A，直接解和时的最小值即可判断得解；对于B，根据函数的单调性结合函数的最小值和值的正负分布情况即可得解；对于C，根据函数的单调性即可得解；对于D，先由条件得到，再根据单调性确定并求解即可得解. 【详解】由题意， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 定义域为，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 对于A，令，故函数只有1个零点； 当时，，故没有零点，故A错误； 对于B，，时，，时，， 故有两个不相等的实数根，则实数，故B正确； 对于C，在上单调递减，故C错误； 对于D，，，成立，则， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】运用导数的加法和乘法运算法则求解即可. 【详解】， 故答案为：. 13. 每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由古典概型概率公式即可求解. 【详解】由古典概型概率计算公式可知，所求即为. 故答案为：. 14. 2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有______种（用数字作答）. 【答案】43200 【解析】 【分析】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘法原理计算即可. 【详解】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ （1）老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” （2）老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 【答案】（1）78 （2）24 【解析】 【分析】（1）利用间接法，结合排列组合知识求解； （2）甲、乙两人名次为2，3或3，4，，再用分步乘法计数原理求解. 【小问1详解】 由题意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． 【小问2详解】 由题意得，甲、乙两人名次为2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）729 【解析】 【分析】（1）先求出，再将改为后令即可得答案； （2）设，通过计算可得答案. 【小问1详解】 令得，再将改为， 则 再令，得， 所以； 【小问2详解】 设， 则 . 17. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2），都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1）极小值0；无极大值． （2）． 【解析】 【分析】（1）对求导，构建新函数，对求导，可判断单调性，根据题意知，可判断符号，即可确定单调性及极值点； （2）设新的函数，可转化为恒成立，即小于最小值，在构新的函数，，对求导，即可判断单调性，以及最小值点，即可求解. 【小问1详解】 当时， 定义域为． ，． 令．则． 所以在上单调递增． 又因． 可知当时，；时，． 得时取极小值； 无极大值． 【小问2详解】 根据题意知当时，都有， ， 令，显然在上单调递增．则， 所以， 令， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可得，所以， 即a的取值范围． 18. 设是不等式的解集，整数． （1）设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件包含的样本点． （2）设，写出随机变量X的分布列，求． 【答案】（1） A包含的事件为，，，，． B包含的事件为、、、、、． （2）X的分布列为： X 0 1 4 9 P 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式求解，即可求解； （2）由古典概型概率公式求解概率，即可得分布列，进而求解. 【小问1详解】 由，解得． 故， 整数m，且， A包含的事件为，，，，． 整数m，且， B包含的事件为、、、、、． 【小问2详解】 由于m的所有不同取值为，1，0，1，2，3， 故的所有不同取值为0，1，4，9． ，， ，． 故X的分布列为： X 0 1 4 9 P . 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 【答案】（1）1 （2）证明： “函数存在两个极值点，”等价于 “方程有两个不相等的正实数根”； 故，解得． 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． （3）证明： 由（1）知，，即， 当时， ． 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可； （2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证， 即证，令求导确定函数的单调性，证明结论． （3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明结论. 【小问1详解】 由题意知： ， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $