4.1指数5题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.1指数5题型分类 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 1、n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2、判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　 题型1：n次方根的概念 1-1．（2024高一·江苏·假期作业）的平方根为 ，的次方根为 ；已知，则 ； 1-2．（2024高一上·上海虹口·期中）625的四次方根为 . 1-3．（2024高一·全国·课后作业）81的4次方根是 ． 1-4．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）二次根式成立的条件是（   ） A． B． C． D．是任意实数 1-5．（2024高一·江苏·假期作业）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　） A． B． C． D． 1-6．（2024高三·全国·专题练习）已知，求 （二） 利用根式的性质化简求值 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　 (3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 题型2：根式化简或求值 2-1．（2024高一上·全国·专题练习）化简 . 2-2．（2024高一上·四川宜宾·阶段练习）化简的结果是 ． 2-3．（2024高一·江苏·假期作业）有下列说法： ①；②16的4次方根是； ③；④． 其中，正确的有 (填序号)． 2-4．（2024高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 2-5．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． （三） 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：和，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． (3)根式与分数指数幂互化的规律 ①根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． ②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 题型3：根式与分数指数幂互化 3-1．（2024高一·全国·课堂例题）化简（式中各字母均为正数）： (1)； (2)； (3)． 3-2．（2024高一·全国·课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3-3．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）根式的分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高一上·甘肃武威·阶段练习）（多选题）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高一·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. （四） 指数幂的运算 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型4：指数幂的运算 4-1．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； (7)（，）. 4-2．（2024高一·全国·课后作业）化简求值: (1)； (2)（，）. 4-3．（2024高一上·山西·期中）（1）化简：.（结果用分数指数幂表示） （2）化简：.（结果用分数指数幂表示） （3）求值：. 4-4．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3). （五） 指数条件求值问题 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 题型5：利用指数运算性质进行条件求值 75．（2024高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3) 76．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 77．（2024高一上·广西玉林·期中）已知，则 ． 78．（2024高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 79．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 80．（2024高一上·江苏南通·期中）（1）求的值； （2）已知，求的值. 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）化简（a，b为正数）的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·课后作业）计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 4．（2024高一上·江西景德镇·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 6．（2024高一上·全国·单元测试）化简（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一·全国·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 10．（2024·河北张家口·二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·浙江宁波·期末）下列式子的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 13．（2024高一·全国·课后作业）若，化简的结果是（    ） A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1 14．（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 15．（2024高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一·全国·课堂例题）若，则的值是（    ） A．2 B．0 C． D．1 17．（2024高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 18．（2024·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 19．（2024·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 20．（2024高一上·全国·单元测试）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知，则等于（    ） A． B． C．1 D． 23．（2024高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 24．（2024高一上·吉林白山·阶段练习）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（    ） A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 25．（2024高一上·甘肃庆阳·期末）若，化简的结果可能（    ） A． B．. C． D． 三、填空题 26．（2024高一上·全国·课后作业）若，则 . 27．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）若实数满足，则的最小值为 ． 28．（2024高一·全国·专题练习） . 29．（2024高三·全国·专题练习） 30．（2024高一·全国·课后作业）求值： ． 31．（2024高三·全国·专题练习）= 32．（2024高三·全国·专题练习）若，= 33．（2024高一·安徽芜湖·强基计划）已知，则的取值可能是 ． 34．（2024高一上·全国·课后作业）方程， ． 35．（2024高三·全国·专题练习） . 36．（2024高一·安徽芜湖·强基计划） ． 37．（2024高一·江苏常州·阶段练习）化简：= ．（用分数指数幂表示）. 38．（2024高一上·吉林松原·阶段练习）若代数式有意义，则 . 39．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的值为 ． 40．（2024高一上·江西吉安·期中）已知，则 ． 41．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 四、解答题 42．（2024高一·江苏·假期作业）求值： (1)； (2)π0－＋×. 43．（2024高三·全国·专题练习）解下列方程：； 44．（2024高一·江苏·假期作业）计算： (1)； (2) 45．（2024高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)（，）； (3)（且）． 46．（2024高一上·全国·单元测试）计算下列各式的值： (1)； (2) 47．（2024高一上·江苏·课后作业）已知，求的值． 48．（2024高一上·内蒙古阿拉善盟·期中）（1）计算 （2）化简：. （3）已知，求的值. 49．（2024高一·全国·课后作业）计算. 50．（2024·江西·模拟预测）（1）计算：； （2）已知是方程的两根，求的值. 51．（2024高一上·浙江·课后作业）（1）已知，化简. （2）设，，，求的值. 52．（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 53．（2024高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 54．（2024高三·全国·专题练习）（1）计算； （2）若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.1指数5题型分类 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 1、n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2、判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　 题型1：n次方根的概念 1-1．（2024高一·江苏·假期作业）的平方根为 ，的次方根为 ；已知，则 ； 【答案】 【分析】利用根式的定义求解即可. 【详解】，的平方根为. 的次方根为. ，. 故答案为：；；. 1-2．（2024高一上·上海虹口·期中）625的四次方根为 . 【答案】 【解析】利用一个数的n次方根的定义求解即可. 【详解】因为，所以625的四次方根为. 故答案为：. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）81的4次方根是 ． 【答案】 【分析】利用方根的意义，列式计算作答. 【详解】81的4次方根是. 故答案为： 1-4．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）二次根式成立的条件是（   ） A． B． C． D．是任意实数 【答案】C 【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 1-5．（2024高一·江苏·假期作业）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式有意义的条件即可判断. 【详解】当时，的偶次方根无意义. 故选：D 1-6．（2024高三·全国·专题练习）已知，求 【答案】 【分析】根据绝对值、平方及二次根式的意义可求的值，从而可得答案． 【详解】因为， 所以，解得，所以， 故答案为：． （二） 利用根式的性质化简求值 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　 (3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 题型2：根式化简或求值 2-1．（2024高一上·全国·专题练习）化简 . 【答案】6 【分析】根据根式的运算性质可求出结果. 【详解】 . 故答案为：. 2-2．（2024高一上·四川宜宾·阶段练习）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】利用根式的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2-3．（2024高一·江苏·假期作业）有下列说法： ①；②16的4次方根是； ③；④． 其中，正确的有 (填序号)． 【答案】②④ 【分析】根据n次方根的定义求解. 【详解】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为 ，故②正确； 因为，故③错误； 因为是正数，故，故④正确． 故答案为：②④ 2-4．（2024高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【答案】C 【分析】由有意义，得到，由，根据根式的运算性质，即可求解. 【详解】因为有意义，可得，即， 又由 故选：C. 【点睛】本题主要考查根式的化简、求值，其中解答中熟记指数幂和根式的运算法则是解答的关键，着重考查运算能力. 2-5．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解. 【详解】依题意，，， 则， 所以的值为1. 故选：A （三） 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：和，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． (3)根式与分数指数幂互化的规律 ①根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． ②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 题型3：根式与分数指数幂互化 3-1．（2024高一·全国·课堂例题）化简（式中各字母均为正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用指数幂运算法则进行运算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）方法一（从里向外化） ． 方法二（从外向里化） ． 3-2．（2024高一·全国·课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BD 【分析】利用根式与指数幂的关系求解. 【详解】当时，，，故A错误． （），故B正确． （），故C错误． （），故D正确． 故选：  BD 3-3．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）根式的分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂与根式的关系进行化简，得到答案. 【详解】 . 故选D. 【点睛】本题考查根式转化为分数指数幂，属于简单题. 3-4．（2024高一上·甘肃武威·阶段练习）（多选题）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算以及根式与分数指数幂的互化逐一判断即可. 【详解】，错误；，正确； ，错误；，正确 故选： 3-5．（2024高一·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）1；（2）；（3）1. 【解析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 【点睛】此题考查根式与分数指数幂的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求值. （四） 指数幂的运算 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型4：指数幂的运算 4-1．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； (7)（，）. 【答案】(1) (2)2 (3)18 (4)100 (5)4 (6) (7) 【分析】根据指数幂的运算法则和根式运算法则计算出答案. 【详解】（1） （2） （3） . （4） . （5） （6） . （7） . 4-2．（2024高一·全国·课后作业）化简求值: (1)； (2)（，）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得； （2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. 【详解】（1） . （2） 4-3．（2024高一上·山西·期中）（1）化简：.（结果用分数指数幂表示） （2）化简：.（结果用分数指数幂表示） （3）求值：. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据根式与分数指数幂互化及指数幂的运算法则运算即得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 4-4．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)100 (3) 【分析】根据指数的运算法则计算即可； 【详解】（1）原式=1+ =1+= （2）原式= = =100 （3） （五） 指数条件求值问题 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 题型5：利用指数运算性质进行条件求值 75．（2024高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用完全平方公式以及立方和公式，可得答案. 【详解】（1）将两边平方，可得，解得. （2）将两边平方，可得，解得. （3）. 76．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)3 【分析】（1）将两边平方，即可求得答案； （2）将两边平方，求得，再根据立方和公式求得的值，即可求得答案. 【详解】（1）将两边平方，得，即； （2）将两边平方，得，即； , 所以． 77．（2024高一上·广西玉林·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果. 【详解】由可得， 即， 又因为， 即，可得 即， 所以． 故答案为： 78．（2024高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1)89； (2)①；②. 【分析】(1)根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解； (2)①根据完全平方和公式化简计算可得，结合开平方即可； ②根据公式，结合①计算即可求解. 【详解】（1）原式； （2）①∵， ∴， 又由得， ∴， 所以； ②（法一） ， （法二） ， 而 ， ∴， 又由得， ∴， 所以. 79．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解. 【详解】①,正确； ②，正确； ③因为可知，，， 所以，故错误； ④，正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题. 80．（2024高一上·江苏南通·期中）（1）求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可； （2）把平方，结合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案． 【详解】（1）； （2），，， ，． 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据实数n次方根的性质判断各项正误即可. 【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在； 正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数； ①③错误，②④正确． 故选：C 2．（2024高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）化简（a，b为正数）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分数指数幂的概念和指数幂的运算律计算. 【详解】. 故选：C. 3．（2024高一·全国·课后作业）计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答. 【详解】. 故选：B 4．（2024高一上·江西景德镇·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可得出答案. 【详解】，. 故选：D 5．（2024高三·全国·专题练习）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用同底数幂的运算法则进行计算. 【详解】 故选：C. 6．（2024高一上·全国·单元测试）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算，化简为指数幂形式即可. 【详解】由. 故选：C 7．（2024高一·全国·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式化简即可. 【详解】 = = = = = = = 故选：B 8．（2024高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：B 9．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 又由立方差公式，， 故选：A． 10．（2024·河北张家口·二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知先设周期再应用分数指数幂与根式的互化得出比值. 【详解】设地球的公转周期为，则火星的公转周期为. 设地球､火星运行轨道的半长轴分别为，， 则， 于是. 故选: A. 11．（2024高一上·浙江宁波·期末）下列式子的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析. 【详解】根据分数指数幂的运算可知， ，，，， 故选：C 12．（2024高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由指数幂的运算律得，再由基本不等式求最值. 【详解】由正数m，n满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号. 故选：D. 13．（2024高一·全国·课后作业）若，化简的结果是（    ） A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1 【答案】C 【分析】由，得到，结合根式的运算法则，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根式的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记根式的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【详解】原方程可化为：，即，解得：． 故选：B． 15．（2024高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 16．（2024高一·全国·课堂例题）若，则的值是（    ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】由，即，求得代入求解. 【详解】解：由，得， 即，解得． ∴． 故选：D 17．（2024高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解. 【详解】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 18．（2024·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 【答案】C 【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答. 【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误； 这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确； 这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误. 故选：C 19．（2024·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件. 【详解】， ∵，∴等号不成立，故； ， ∵，∴等号不成立，故， 综上，. 故选：A. 二、多选题 20．（2024高一上·全国·单元测试）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式的运算直接求解. 【详解】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确； 当n为奇数时， 则， 故B，D选项中的式子正确. 故选：BD. 21．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据根式的意义逐一判断可得. 【详解】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误. 故选：AC 22．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】AB 【分析】将平方可以得到，可得的值. 【详解】令 故选：AB 23．（2024高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 【答案】CD 【分析】根据根式的概念和性质求解. 【详解】对于A，由于，所以16的4次方根是，故A不正确． 对于B，，故B不正确． 对于C，由根式的意义知，当为大于1的奇数时，对任意都有意义，故C正确． 对于D，由根式的意义知，当为大于1的偶数时，只有当时才有意义，故D正确． 故选：CD． 24．（2024高一上·吉林白山·阶段练习）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（    ） A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 【答案】BCD 【分析】根据知，进而判断即可． 【详解】解：由知， 所以异号， 所以A对，BCD错； 故选：BCD． 25．（2024高一上·甘肃庆阳·期末）若，化简的结果可能（    ） A． B．. C． D． 【答案】AC 【分析】解不等式求的范围，结合根式的性质化简代数式即可 【详解】由化简可得， 所以， 所以或， 又， 所以， 当时，， 当时，， 故选：AC. 三、填空题 26．（2024高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】1 【分析】根据算术平方根可解得，代入即可求解. 【详解】因为, 所以， 所以 . 所以. 故答案为：1 27．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）若实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】,当且仅当， 即时取到等号. 故答案：. 28．（2024高一·全国·专题练习） . 【答案】 【分析】利用分母有理化化简即得解. 【详解】解：原式 =. 故答案为：. 29．（2024高三·全国·专题练习） 【答案】 【分析】 利用平方差、立方差以及完全平方公式化简可得结果. 【详解】原式 . 故答案为：. 30．（2024高一·全国·课后作业）求值： ． 【答案】/ 【分析】根据分数指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 故答案为: . 31．（2024高三·全国·专题练习）= 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则和立方差立方和公式化简求值. 【详解】 . 故答案为： 32．（2024高三·全国·专题练习）若，= 【答案】 【分析】根据指数幂的运算将原式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 ， 因为，所以原式. 故答案为:. 33．（2024高一·安徽芜湖·强基计划）已知，则的取值可能是 ． 【答案】2或或0 【分析】讨论指数式的底数，结合指数运算性质求的取值. 【详解】因为， 当，即时，，满足要求， 当，即时，，满足要求， 当且时，由可得， 所以， 所以的取值可能是2或或0， 故答案为：2或或0. 34．（2024高一上·全国·课后作业）方程， ． 【答案】或． 【分析】原方程可变成，然后可解出，进而得出的值． 【详解】因为， 所以或8，解得或． 故答案为：或． 35．（2024高三·全国·专题练习） . 【答案】19 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 . 故答案为：19 36．（2024高一·安徽芜湖·强基计划） ． 【答案】 【分析】根据立方差公式与根式的性质可求出结果. 【详解】 . 故答案为： 37．（2024高一·江苏常州·阶段练习）化简：= ．（用分数指数幂表示）. 【答案】 【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为 . 故答案为：. 38．（2024高一上·吉林松原·阶段练习）若代数式有意义，则 . 【答案】8 【分析】由已知代数式有意义确定的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值. 【详解】因为代数式有意义，所以且，故， 所以， 故答案为：8. 39．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案. 【详解】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 40．（2024高一上·江西吉安·期中）已知，则 ． 【答案】3 【解析】由可得，，，代入数据计算即可得出． 【详解】解：因为， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了指数与指数幂的运算，属于中档题． 41．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据根式的运算性质直接求解即可； （3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可； 【详解】（1）. （2）. （3）. 故答案为：（1）；（2）；（3） 四、解答题 42．（2024高一·江苏·假期作业）求值： (1)； (2)π0－＋×. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数运算法则计算可得结果. （2）根据指数运算法则计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）原式. 43．（2024高三·全国·专题练习）解下列方程：； 【答案】或； 【分析】利用指数幂的运算法则和因式分解，求解方程. 【详解】由，可得， 所以， 所以或， 由，可得，故， 由，可得，即，所以，即， 所以或； 44．（2024高一·江苏·假期作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用有理数指数幂的运算性质和运算法则求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 45．（2024高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)（，）； (3)（且）． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】利用指数的运算性质及根式与分数指数幂的互化即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一（由内向外化） ． 方法二（由外向内化） . （3）方法一  原式． 方法二  原式． 46．（2024高一上·全国·单元测试）计算下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据幂的运算法则及分数指数幂的性质计算可得. 【详解】（1） （2） 47．（2024高一上·江苏·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】利用指数的定义、性质、运算法则直接求解． 【详解】因为， ． 48．（2024高一上·内蒙古阿拉善盟·期中）（1）计算 （2）化简：. （3）已知，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求解； (2)根据分数指数幂的运算性质即可求解； (3)根据题意，先计算，然后将其平方得到，代入即可求解. 【详解】(1) (2) (3)因为，两边同时平方可得：， 再将两边同时平方可得：， 所以. 49．（2024高一·全国·课后作业）计算. 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解作答. 【详解】原式 50．（2024·江西·模拟预测）（1）计算：； （2）已知是方程的两根，求的值. 【答案】（1）16；（2）． 【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后由幂的运算法则计算． （2）由韦达定理筣出，求出，求值式变形后代入已知值即可得． 【详解】（1）原式＝； （2）由题意，，又，而，所以， 所以 ， 51．（2024高一上·浙江·课后作业）（1）已知，化简. （2）设，，，求的值. 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）由已知得，结合指数运算法则化简； （2）令，，结合因式分解可得，，则，结合已知即可求值. 【详解】（1）由，得， ∴. （2）令，，则 ，， ， . ∴. 52．（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【分析】由成立，即可得出，解得即可． 【详解】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 53．（2024高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 【答案】(1) (2)3 (3) (4)4 【分析】（1）将可化成的形式，代入数据即可求得结果为； （2）原式可表示为，代入即可求出答案为3； （3）将化简为，代入的值可计算出结果为； （4）化简后可得原式，将的值可得结果是4. 【详解】（1）利用指数运算法则可知， 将代入可得. （2）易知，又， 所以 （3）化简得， 将代入可得 （4）易知 又，所以 54．（2024高三·全国·专题练习）（1）计算； （2）若，求的值． 【答案】（1）-5；（2）14. 【分析】（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果． （2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果． 【详解】（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15． （2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$