精品解析：四川省眉山市北外附属东坡外国语学校2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题

2022-2023学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校九年级第一学期入学数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 2. 若点在第二象限，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 或 3. 如图，在中，的平分线交边于点．若，，则的长为( ) A. B. 2 C. D. 3 4. 已知直线，若，，则该直线不经过的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 6. 已知点和都在直线的图象上，则，的大小关系是( ) A. B. C. D. ，的大小不能确定 7. 如图，菱形的边长为2，，点为边的中点，点是对角线上的一动点，则的最小值为( ) A. B. C. 2 D. 3 8. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 9. 已知实数a满足，则____． 10. 如图是某旅行车旅客携带行李收费示意图，小李所携带的行李重20千克，那么小李应该交费________（元）． 11. 如图，正方形的边长，，点P为边上一点（不与小B重合），过点P、B在正方形内部作正方形，交边于点E，连接，当为等腰三角形时，的长为 __． 12. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，若点在的内部，则的取值范围为________． 三、计算题：包含第13题4分、14题共2小题，每小题4分，共12分． 13. 计算：． 14. 解方程： （1）； （2）． 四、简答题：包含第15题、16题、17题，共3小题，每小题8分，共24分． 15. 化简． 16. 如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形． 17. 如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点． （1）如图①，若轴，且，．求、的值； （2）如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值． 五、解答题：共2小题，第18题12分，第19题12分，共24分． 18. 点为正方形对角线上的一个动点，作射线，于，于，点为中点． （1）如图，点在上时，求证：； （2）如图，作射线，交所在直线于点，求证：，，，四点所围成的四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 19. 如图，已知点在第一象限，将绕点O顺时针旋转得到，若反比例函数的图象经过点A、B，求k的值． ​ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校九年级第一学期入学数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出AB的长和∠DAB的度数，然后利用tan∠ADB=即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AB=CD=1， 在Rt△ABD中， tan∠ADB==， ∴∠ADB=30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及锐角三角函数，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 2. 若点在第二象限，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第二象限，得到关于m的不等式组，解不等式组，问题得解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得． 故选：C 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点所在象限坐标的特点和一元一次不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），熟知平面直角坐标系点所在象限的特点并列出不等式组是解题关键． 3. 如图，在中，的平分线交边于点．若，，则的长为( ) A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行线四边形的性质可得AB=CD=5、BC=AD、DC//AB先根据题意说明AD=AE,然后根据线段的和差求得AE即可． 【详解】解：∵ ∴AB=CD=5、BC=AD、DC//AB ∴∠CDE=∠AED ∵∠CDE=∠ADE ∴∠ADE=∠AED ∴AD=AE ∵AB=AE+BE ∴AE=AB-BE=2 ∴BC=AD=AE=2． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，通过判定三角形ADE是等腰三角形得到AD=AE是解答本题的关键． 4. 已知直线，若，，则该直线不经过的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据两数的积与和判断k，b的符号，再判断函数经过的象限即可． 【详解】解：∵>0， ∴k，b同号， 又∵<0 ∴k<0，b<0， ∴图象过二，三，四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，还考查有理数乘法法则，加法法则，解题关键是判断k，b的符号． 5. 如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，再由点C的坐标和点A的坐标得出OA＝2，AC＝6，则DE＝2，AE＝3，即可解决问题． 【详解】解：连接AC、BD交于点E，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD， ∵点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2）， ∴OA＝2，AC＝6， ∴BE＝DE＝OA＝2，AE＝3， ∴BD＝2DE＝4， ∴点D的坐标为（3，4）． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键． 6. 已知点和都在直线的图象上，则，的大小关系是( ) A. B. C. D. ，的大小不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据-1＜即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x-3中，k=2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵-1＜， ∴a＜b． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解答此题的关键． 7. 如图，菱形的边长为2，，点为边的中点，点是对角线上的一动点，则的最小值为( ) A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形是菱形，找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接DE交AC于点P，连接DB， ∵四边形是菱形， ∴点B、D关于AC对称，AB=AD，∠ADB=∠CDB， ∴DP=BP， ∴PB+PE=DP+PE≥DE， ∴DE就是PB+PE的最小值， ∵，菱形的边长为2， ∴∠ADB=∠CDB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB=AD=BD=2，∠DAB=60°， ∵点为边的中点， ∴DE⊥AB，AE=1， ∴， ∴的最小值为． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查轴对称、最短路径问题、菱形的性质以及勾股定理(两直角边的平方和等于斜边的平方)，确定P点的位置是解题的关键． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作BG丄x轴于G点，设A(m，)，B(n，)，由反比例函数k的几何意义可知，S△AOE=S△BOG=|k|=2，由S△OAF+S四边形EFBC=4，得S△BGC=2S△OEF，又由△OEF∽△OGB列比例式把EF用含m、n的式子表示出来，再代入S△BGC=2S△OEF，化简后即可求出m的值． 【详解】 作BG丄x轴于G点， 设A(m，)，B(n，)， 由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º， ∴∠BCG=45º ∴∠CBG=45º ∴GB=CB= ∵AE丄x轴， ∴OE=m， ∵A、B两点都在上， 由k的几何意义可知 S△AOE=S△BOG=， ∵S△OAF+S四边形EFBC=4， 即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4， 2-2S△OEF+2+S△BCG=4， ∴S△BCG=2S△OEF， 由轴，BG丄x轴， 得AE∥BG， ∴△OEF∽△OGB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 得 ， ， ∵m＞0， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图像的交点，反比例函数k的几何意义，利用面积法求参数的值．熟练掌握设参数法解题是解答本题的关键． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 9. 已知实数a满足，则____． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件以及实数的运算．根据二次根式有意义可得a的取值范围，再根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：2022． 10. 如图是某旅行车旅客携带行李收费示意图，小李所携带的行李重20千克，那么小李应该交费________（元）． 【答案】64 【解析】 【分析】从图象可知当x=20时，对应有函数图像在最后一段上，设出函数式，由待定系数法即可求出函数式，再将x=20代入求值即可． 【详解】解：由图像可知：当x=20时，对应有函数图像在最后一段上， 设第四段函数：行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系式为y=kx+b， ∵函数图象过（5，4），（6，8）两点， 解得： ∴行李y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系式为：y=4x-16， 当x=20时，y=80-16=64， ∴小李应该交费64元， 故答案为：64． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． 11. 如图，正方形的边长，，点P为边上一点（不与小B重合），过点P、B在正方形内部作正方形，交边于点E，连接，当为等腰三角形时，的长为 __． 【答案】或1 【解析】 【分析】分两种情形①当时，②当时，根据等腰直角三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是正方形，， ∴B、F、D共线，， ①当时，， ∴； ②当时，，，， ∴， ∴． ∴当为等腰三角形时，或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质，记住等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，属于中考常考题型． 12. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，若点在的内部，则的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，，，解不等式组即可求得． 【详解】解：函数， ，， 点在的内部， ，，， ． 故答案为：或 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知图象上的点的坐标适合函数解析式是解题的关键． 三、计算题：包含第13题4分、14题共2小题，每小题4分，共12分． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为底数为3的幂，同时计算零指数幂，然后再计算除法和加法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查幂的乘方的逆用和同底数幂的除法以及不为0的数的零指数幂的计算，依据具体情况将底数转化为便于运算的数是解题的关键． 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法求一元二次方程，解分式方程，注意解分式方程要检验，解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后求解即可，最后进行检验． 【小问1详解】 解：； ， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， 方程两边都乘以得， ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， 故原分式方程的无解． 四、简答题：包含第15题、16题、17题，共3小题，每小题8分，共24分． 15. 化简． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确计算是本题的关键． 16. 如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形． 【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， 是AD的中点， ， 又， ， ， 又， 四边形ACDF是平行四边形． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据，即可得出四边形ACDF是平行四边形； 【详解】略 17. 如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点． （1）如图①，若轴，且，．求、的值； （2）如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接、，根据反比例函数系数的几何意义以及得到，即①，由②．①②得，，进而求得； （2）作轴于，轴于，则，，根据题意得到，，即可得到，整理得． 【小问1详解】 解：如图①，连接、， 轴， ，， ， ，即， ①， ②． ①②得，， ； 【小问2详解】 如图②，作轴于，轴于，则，， 点是线段的中点，且的面积为2， ， 在和中， ， ， ， ， 整理得． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 五、解答题：共2小题，第18题12分，第19题12分，共24分． 18. 点为正方形对角线上的一个动点，作射线，于，于，点为中点． （1）如图，点在上时，求证：； （2）如图，作射线，交所在直线于点，求证：，，，四点所围成的四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等得，利用即可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得，由，即可得出结论； （3）根据勾股定理求出，由（1）知，根据全等三角形的性质得，，利用线段的和差求出，即可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，，， ，， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图： ，，， ， 由（1）知， ，， ， 平行四边形的面积为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，平行线的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 19. 如图，已知点在第一象限，将绕点O顺时针旋转得到，若反比例函数的图象经过点A、B，求k的值． ​ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、旋转的性质，分母有理化等知识，解决本题的关键是掌握反比例函数的性质．过点A作轴于点C，轴于点E，作的垂直平分线，连接，根据点的坐标，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得到，然后根据得出关于的方程，求出t的值，即为k的值． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，轴于点E，作的垂直平分线，连接， ， ，， 反比例数的图象经过点A， ， 由旋转的性质可得，， ， 垂直平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $