精品解析：吉林省长春北湖学校2022-2023学年八年级上学期第一次阶段性评价数学学科试卷

长春北湖学校2022-2023学年度上学期八年级第一次阶段性评价数学学科试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列数中，哪一个是无理数（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】A项，3.1415926是小数，也是有理数，故A项不符合题意； B项，是有理数，不是无理数，故B项不符合题意； C项，是有理数，不是无理数，故C项不符合题意； D项，π是无理数，故D项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的定义．无限不循环的小数是无理数．掌握无理数的定义是解答本题的关键．判断之前，应先将各项能化简的化简． 2. 当x＝-2 时，下列各式有意义的是（   ） A.   B. C.     D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是，将分别代入各个选项，即可得出答案． 【详解】解：A.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意； B.当，，二次根式有意义，该选项符合题意； C.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意； D.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 3. 在下列四个实数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数大小比较的方法将四个选项中的实数排列大小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴四个实数中，最小的是−． 故选：B． 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键．负数小于0，正数大于0，绝对值越大的负数，其负数本身越小． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，多项式乘以多项式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式，正确进行计算是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项符合题意； B、，此项不符合题意； C、， 此项不符合题意； D、，此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 6. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 7. 已知实数，满足，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故． 故选：． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及乘方运算，得到x和y值是解题关键． 8. 如图甲，一个长方形恰好被分割成2个边长为a的大正方形和3个边长为b的小正方形，取1个大正方形和2个小正方形，无重叠放置在边长为（a+b）的正方形ABCD中（如图乙），若图乙中阴影部分的面积为72，则一个边长为b的正方形面积是（　　） A. 54 B. 36 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用大正方形面积减去空白面积进而得出阴影部分面积进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， 又∵3b＝2a， ∴3b2−b2＝72， 则b2＝36， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，读懂题意，正确应用乘法公式是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式分解即可； 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式分解因式，找到公因式是求解的关键． 10. 命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】利用举反例的方法判断命题是假命题即可． 【详解】解：当时， 而此时 ∴“如果，那么”是假命题． 故答案为：假 【点睛】本题考查的是真假命题的判断，掌握“利用举反例的方法判断假命题”是解本题的关键． 11. 若是一个完全平方式，那么m的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：9． 12. 若x﹣y=2，xy=4，则的值为__． 【答案】12 【解析】 【分析】把x﹣y=2的两边平方可得，然后将xy=4代入即可求得的值． 【详解】解：∵x﹣y=2 ∴，即 ∵xy=4 ∴ ∴=12． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式对代数式进行变形是解答本题的关键． 13. 如图，在中，分别是的平分线，经过点，且MNBC，分别交于点，则的周长是______． 【答案】15cm 【解析】 【分析】由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB＋AC． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是： 故答案为：15． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点． 14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE=1，点P是AB边上的动点，连接PE以PE为直角边，以∠PEQ为直角作如图所示的等腰Rt△PEQ，则当DQ+CQ最小时AP的长为 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】过点作于点，则，证明，继而可得当P点在AB上运动时，Q点在平行于BC，且距离BC长度为1的直线上运动，当Q在DC上时，QD+QC取得最小值，求得EC的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则 四边形是正方形， ∴ ∵等腰Rt△PEQ， ， ∴ ∴（AAS）, ∴ 即当P点在AB上运动时，Q点在平行于BC，且距离BC长度为1的直线上运动，当Q在DC上时，QD+QC取得最小值， 此时F点与C点重合，PB=EC=BC-BE=4-1=3， ∴AP=AB-PB=4-3=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，两点之间线段最短，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计第： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再进行加减即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查二次根式的加减混合运算．运算过程中要先将二次根式进行化简，然后再合并同类二次根式． 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 , 【小问2详解】 , 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式进行计算化简，再将字母的值代入求解即可． 【详解】 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，正确的计算是解题的关键． 18. （1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）24；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 19. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 20. 如图所示，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中，画Rt△ABC，使∠BAC＝90°，点C在小正方形的顶点上； （2）在图2中，画出以AB为边，面积为6的△ABE和△ABF，点E、F在小正方形的顶点上，且△ABE和△ABF不全等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，Rt△ABC即为所作， 【小问2详解】 如图，△ABE，△ABF即为所作， 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，，，垂足分别为E、D，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，等积法得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 22. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵，∴． ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则______，______． （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用： （1）利用完全平方公式，先化为平方和等于0的形式，利用非负性求出的值即可； （2）利用完全平方公式，先化为平方和等于0的形式，利用非负性求出的值，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______． （2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由． （3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______． 【答案】（1）BE＝CD，BE⊥CD； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°， ∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BE⊥CD； （3）60°． 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由余角的性质可得∠BND＝90°，可得结论； （2）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可得BE⊥CD； （3）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可求∠BFC＝60°． 【详解】解：（1）如图延长BE交CD于N， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ABE+∠ADC＝90°， ∴∠BND＝90°， ∴BE⊥CD， 故答案为：BE＝CD，BE⊥CD； （2）略． （3）如图3， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝120°， ∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝120°， ∴∠BFC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形与直角三角形的性质，解题中正确掌握全等三角形的判定定理及逻辑推理能力是解题的关键． 24. （1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 【答案】（1）（2）8（3）6 【解析】 【分析】（1）易证得，即可得到，从而求得． （2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：在和，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1，过作的延长线于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8； （3）解：如图2，过作于，过作的延长线于， 面积为且的长为6， ∴， 解得，， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2022-2023学年度上学期八年级第一次阶段性评价数学学科试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列数中，哪一个是无理数（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 2. 当x＝-2 时，下列各式有意义的是（   ） A.   B. C.     D. 3. 在下列四个实数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 7. 已知实数，满足，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图甲，一个长方形恰好被分割成2个边长为a的大正方形和3个边长为b的小正方形，取1个大正方形和2个小正方形，无重叠放置在边长为（a+b）的正方形ABCD中（如图乙），若图乙中阴影部分的面积为72，则一个边长为b的正方形面积是（　　） A. 54 B. 36 C. 18 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：_____． 10. 命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”） 11. 若是一个完全平方式，那么m的值为_____． 12. 若x﹣y=2，xy=4，则的值为__． 13. 如图，在中，分别是的平分线，经过点，且MNBC，分别交于点，则的周长是______． 14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE=1，点P是AB边上的动点，连接PE以PE为直角边，以∠PEQ为直角作如图所示的等腰Rt△PEQ，则当DQ+CQ最小时AP的长为 _______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计第： 16. 因式分解： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. （1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 19. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小． 20. 如图所示，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中，画Rt△ABC，使∠BAC＝90°，点C在小正方形的顶点上； （2）在图2中，画出以AB为边，面积为6的△ABE和△ABF，点E、F在小正方形的顶点上，且△ABE和△ABF不全等． 21. 如图，，，垂足分别为E、D，且．求证：是等腰三角形． 22. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵，∴． ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则______，______． （2）已知，求的值． 23. 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______． （2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由． （3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______． 24. （1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $