广东省深圳技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷

试卷第 1 页，共 4 页 深圳技术大学附属中学高一下第二次月考数学试题 命题：张涛涛 审题:林凯标 时间:120 分钟 分值：150 分 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．已知集合    12,3 2,4A B= =, , ，则 A B =（ ） A．{2} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{0,2,3,4} 2．设向量 (2,1)a = ， ( ,1)b = ，若 ( 2 )a b a+ ⊥ ，则实数的值等于（ ） A. 2− B. 7 4 − C. 2 D. 7 4 3.复数 z的共轭复数是 z ，若2 1 iz z− = − ，则 | |z =（ ） A. 1 B. 10 3 C. 2 D. 30 3 4．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜 迎党的二十大”党史知识竞赛，并将 1000 名师生的竞赛成绩（满分 100 分，成绩取整数）整理成如图所示 的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ） ① a 的值为 0.005； ② 估计成绩低于 60 分的有 25 人； ③ 估计这组数据的众数为 75； ④ 估计这组数据的第 85 百分位数为 86． A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 5. 已知 ,m n是两条不同的直线， , ,   是三个不同的平面，下列命题中错误的是 A. 若 ,m m ⊥ ⊥ ，则 ∥ B. 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ C. 若 , ,m n m   ∥n ，则 ∥ D. 若 ,m n是异面直线， , ,m n m   ∥ ，n ∥ ，则 ∥ 试卷第 2 页，共 4 页 6．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C- 中， ABC为等边三角形， 12 3, 2 5AB BB= = ，则三棱柱 1 1 1ABC A B C- 的外 接球的体积为（ ） A．25𝜋 B．29𝜋 C．32𝜋 D．36𝜋 7. 解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特存的历义内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具有非凡 的影响.为了测量其高度 AB ，在地面上共线的三点 C，D，E处分别测得顶点A 的仰角为30 ,45 ,60 ，且 22mCD DE= = ，则解放碑的高 AB 约为（ ）（ 6 2.449 ） A. 24𝑚 B. 27𝑚 C. 30𝑚 D. 33𝑚 8. 如图， ABC 中, 2AD DB= , 3AE EC= ，CD与 BE 交于F , AF xAB y AC= + ，则 ( ),x y 为（ ） A. 1 1 , 3 2       B. 1 1 , 3 2   −    C. 1 1 , 2 3   −    D. 1 1 , 2 3       二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6分，部分选对的按比例给分，有选错的得 0分. 9. 如图所示， A B C  是水平放置的 ABC 的斜二测直观图，其中 2 2O C O A O B     = = = ，则以下说法 正确的是（ ） A. ABC 是钝角三角形 B. ABC 的面积是 A B C  的面积的 2 倍 C. ABC 是等腰直角三角形 D. ABC 的周长是4 4 2+ 10．在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 若 cos cosa B b A= ，则 ABC 为等腰三角形 B. 若 π 4 B = ， 2c = ， 6 5 b = ，则 ABC 只有一解 C. 若 ( )cos 2 cos 0b A a c B+ − = ，则 π 3 B = D. 若 ABC 为锐角三角形，则 ( ) ( )2 2 2 2 2 2sin cosa b c A a b c B+ −  + − 试卷第 3 页，共 4 页 11. 如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，点 E，F，G分别是棱 AD， 1DD ，CD的中点，则（ ） A. 直线 1A G ， 1C E 为异面直线 B. 二面角 1 1D AC B− − 的余弦值为 1 3 C. 直线 1A G 与平面 1 1ADD A 所成角的正切值为 2 4 D. 过点 B，E，F的平面截正方体的截面面积为 9 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 不等式组 20 2 3 5x x − −  的解集为______. 13. 若 10 个数据的平均数是 2，标准差是 2，则这 10 个数据的平方和是______． 14.如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，底面 ABCD为平行四边形， 11, 2, 2, 60AB AD AA BAD= = =  = ， 点 P 是半圆弧 1 1A D 上的动点(不包括端点)，点Q是半圆弧 BC 上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ− 的外接球表面积为S，则S的取值范围是 ______． 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知向量 ,a b 满足 2, 2 2a b= = ． （1）若向量 ,a b 的夹角为 π 3 ，求a b 的值；（2）若 4a b+ = ，求 2a b− 的值； （3）若 ( )a a b⊥ + ，求a 在b 方向上的投影向量. 试卷第 4 页，共 4 页 16．(15 分) 某科研课题组通过一款手机 APP软件，调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量（简 称“周跑量”），得到如下的频数分布表及频率分布直方图： 周跑量（ /km 周） 人数 周跑量（ /km 周） 人数 [10，15) 100 [35， 40) 150 [15， 20) 120 [40， 45) 60 [20， 25) 130 [45，50) 30 [25， 30) 180 [50 ， 55) 10 [30，35) 220 (1)请补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； (2)将周跑量在[10，25) ，[25，40) ，[40，55)区间内的跑步爱好者依次记为A ，B ，C 三个组，用分层随机 抽样的方法从这三个组中抽取 40 人，求这三个组分别抽取的跑步爱好者人数； (3)根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数）． 17.（15 分）锐角 ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，且 24 cos cosS ab B b A= + . (1)求角A 的大小； (2)求 b c 的取值范围. 18．(17 分) 如图所示，已知𝐴𝐵 ⊥平面 ACD，𝐷𝐸 ⊥平面 ACD， ACD为等边三角形. 2AD DE AB= = ，F为 CD的中点. (1)证明： / /AF 平面 BCE；(2)证明：平面BCE ⊥平面 CDE； (3)求直线 AD和平面 BCE所成的角的正弦值. 19. (17 分) 已知定义域为 R 的函数 ( ) 1 2 2 2 x x b f x + − + = + 是奇函数 （1）求b 的值；（2）判断并用定义法证明函数 ( )f x 的单调性； （3）不等式 ( ) ( )2 4 0f x m f mx− + − +  对任意  1,3x 恒成立，求实数m 的取值范围 答案第 1 页，共 8 页 高一下第二次月考数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B B B C D B A CD ACD BC 1. 【答案】C【详解】由题意可得 A B =  1,2,3,4 .故选：C 2. 【答案】B【详解】由题设， 2 (2 2 ,3)a b + = + ，又 ( 2 )a b a+ ⊥ ，∴4(1 ) 3 0+ + = ，解得 7 4  = − . 3. 【答案】B 设复数 iz a b= + ， , Ra b ，则 iz a b= − ，因2 1 iz z− = − ，即 i)2( i)( 1 ia b a b+− = −− ， 即 3 i 1 ia b− = − ，则 1 3 1 a b =  − = − ，解得 1 1, 3 a b= = ，因此， 1 1 i 3 z = + ，所以 2 2 1 10 | | 1 ( ) 3 3 z = + = . 4.【答案】B【详解】对于①，由(a+2a+3a+3a+5a+6a)×10=1，得𝑎 = 0.005 .故①正确；对于②，估计成绩 低于 60 分的有 1000×(2a+3a)×10=50000a=250 人.故②错误；对于③，由众数的定义知，估计这组数据的 众数为 75.故③正确；对于④，设这组数据第 85 百分位数为 m，则(90-m)×5×0.005+0.005×10=1-85%=0.15， 解得：m=86，故④正确.故选：B 5. 【答案】C【详解】对于 A，利用垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知 A 正确； 对于 B，利用平行于同一平面的两个平面互相平行，可知 B 正确； 对于 C，α、β 相交时，若 m，n 与交线平行，则 m∥n，故 C 不正确； 对于 D，若 m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α， 可得 α 内的两条相交直线平行于 β，则 α∥β，故 D正确. 故选：C． 6.【答案】D【详解】如图， ,N M 分别是正三棱柱上、下底面中心，MN 是棱柱的高，则MN 的中点O是 该三棱柱外接球的球心， 外接球半径 2 2( ) ( )R OA AM OM= = + ．其中𝑂𝑀 = 1 2 𝐵𝐵1 = √5 ⋅ 𝑀点为 ABC外接圆圆心， AM 为外接圆半径， ABC为正三角形， 2 2 3 2 3 2 3 3 2 AM AE= =   = （E是BC 边中点）． 所以外接球半径 3R = ．从而外接球体积为 34 4π π 27 36π 3 3 V R= =  = ．故选：D．， 7. 【答案】B 【详解】由题知，设 AB x= ， 则 3 3 , , tan30 tan 45 tan 60 3 x x x BC x BD x BE x= = = = = =    ， 答案第 2 页，共 8 页 又 22CD DE m= = ，所以在 BEC 中， 2 2 2 2 2 2 1 44 3 3cos 2 3 2 44 3 x x BE EC BC BEC BE EC x + − + −  = =   ，① 在 BDE△ 中， 2 2 2 2 2 2 1 22 3cos 2 3 2 22 3 x x BE ED BD BED BE BD x + − + −  = =   ，② 联立①②，解得 11 6 26.939 27.x =   故选：B. 8.【答案】A 【详解】∵ 2AD DB= ， 3AE EC= ， ∴ 3 4 AF AB BF AB BE AB AC AB    = + = + = + −    ( ) 3 1 4 AB AC = − + ， 同理，向量 AF 还可以表示为 2 3 AF AC CF AC CD AC AB AC    = + = + = + −    ( ) 2 1 3 AB AC = + − ，所以 2 1 , 3 3 1 , 4      − =   = −  解得 2 3  = ，所以 1 1 3 2 AF AB AC= + ， 所以 1 3 x = ， 1 2 y = ，所以 ( ),x y 为 1 1 , 3 2       ，故选：A． 9.【答案】CD 【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA 的中点， AC OB⊥ ，因为 2 2O C O A O B     = = = ，所以 2CO AO= = ， 4AC = , 2OB = ，则 ABC 是斜边为 4 的等腰直角三角形，如图所示： 所以 ABC 的周长是4 4 2+ ，面积是 4，故 A 错误，C，D 正确.在 A B C  中， 4  =A C ，过B作 x 轴 垂线，垂足为 D¢， 45B O A   = ，所以 2 2 2 2 B D O B   = = ，所以 A B C  的面积是 2 ， ABC 的 面积是4， ABC 的面积是 A B C  的面积的2 2 倍，故 B 错误.故选：CD 10【答案】ACD 【详解】对于选项 A：由 cos cosa B b A= ，由正弦定理可得 sin cos sin cosA B B A= ， 则 ( )sin 0A B− = ，因为0 , πA B  ，则 π πA B−  −  ，可得 0A B− = ，即 A B= ，所以 ABC 为等 腰三角形，故 A 正确； 答案第 3 页，共 8 页 对于选项 B：若 π 4 B = ， 2c = ， 6 5 b = ，则 6 sin 1 2 5 c B c=   = ，所以 ABC 有两解，故 B 错误； 对于选项 C：若 ( )cos 2 cos 0b A a c B+ − = ，有正弦定理可得 ( )sin cos sin 2sin cos 0B A A C B+ − = ， 则 ( )sin 2sin cosB A C B+ = ，即sin 2sin cosC C B= ，因为 ( ), 0, πB C ，则sin 0C  ， 可得 1 cos 2 B = ，所以 π 3 B = ，故 C 正确； 对于选项 D：若 ABC 为锐角三角形，则 π 2 A B   +  ，可得 π 2 A B − ，且 π 0, 2 A       ， π π 0, 2 2 B   −     ， 则 siny x= 在 π 0, 2       上单调递增，所以 π sin sin cos 2 A B B    − =    ，又因为 π 0, 2 A       ，则 2 2 2 cos 0 2 a b c A ab + − =  ，可得 2 2 2 0a b c+ −  ，所以 ( ) ( )2 2 2 2 2 2sin cosa b c A a b c B+ −  + − ，故 D 正确．故选：ACD. 11【答案】BC【详解】对于 A，连接 1 1,AC AC ，则 1 1ACC A 为矩形， 则 1 1AC AC∥ ，而点 E，G分别是棱 AD，CD的中点， 故 1 1,EG AC EG AC∥ ∥ ，则 11, , ,E G CA 四点共面，故直线 1A G ， 1C E 不是异面直线，A 错误； 对于 B，连接 BD交 AC 于点 O，连接 1 1,D O B O ， 1DD ⊥平面 ,ABCD AC Ì 平面 ABCD，故 1AC DD⊥ ， 又 1 1, , ,AC BD DD BD D DD BD⊥ = 平面 1 1D OB ，故 AC ⊥平面 1 1D OB , 即 1 1D OB 为二面角 1 1D AC B− − 的平面角，又 2 2 1 1 1 12 2, 2 ( 2) 6D B DO BO= = = + = ， 故 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 12 8 1 cos 2 2 6 3 D O B O D B D OB D O B O + − −  = = =   ，B 正确； 对于 C，由于GD ⊥平面 1 1ADD A ，故 1GA D 即为直线 1A G 与平面 1 1ADD A 所成角， 而 11, 2 2DG A D= = ,故 1 1 1 2 tan 42 2 DG GA D A D  = = = ，C 正确； 对于 D，连接 1AD ，则 1 1 1 1 1 1 , , , 2 EF AD AD BC EF BC EF BC =∥ ∥ ∥ ,则梯形 1EFC B 即为过点 B，E， 答案第 4 页，共 8 页 F 的平面截正方体的截面，而 1 1,5 2, 2 2EB FC EF C B= = = = ，故等腰梯形 1EFC B 的高为 2 2 2 3 2 ( ) 2 ( 2 2 2 5) − − = ，故等腰梯形 1EFC B 的面积为 ( )1 3 2 92 2 2 2 2 2  +  = ， 即过点 B，E，F的平面截正方体的截面面积为 9 2 ，D 错误，故选：BC 12.【答案】(   )2, 1 3,4− −  【详解】由题意，不等式 2 2 3 0x x− −  ，即 ( 1)( 3) 0x x+ −  ，解得 1x  − 或 3x  ；又由 2 2 3 5x x− −  ，即 2 2 8 ( 2)( 4) 0x x x x− − = + −  ，解得 2 4x−   ， 所以不等式 20 2 3 5x x − −  的解集为{ | 2 1x x−   − 或3 4}x  . 即原不等式的解集为 (   )2, 1 3,4− −  . 13. 【答案】80 【详解】由题意可设这 10 个数据为 1 2 10, , ,x x x ，其方差为 2 22 4s = = ， 则 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1 2 10 1 4 2 2 2 10 s x x x = = − + − + + −   ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 2 10 1 2 10 1 2 10 1 1 4 10 2 2 10 10 x x x x x x x x x = + + + − + + + +  = + + + −   ， 故 2 2 2 1 2 10 80x x x+ + + = ，故答案为：80 . 14. 【答案】 25 π,13π 4      【详解】因为 1, 2, 60AB AD BAD= =  = ，由余弦定理得： 2 2 12 cos 1 4 4 3 2 BD AB AD AB AD BAD= + −   = + −  = ， 因为 2 2 2AB BD AD+ = ，由勾股定理逆定理得： AB BD⊥ ， 直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，底面为平行四边形，故 BD⊥CD，点Q是半圆弧 BC 上的动点(不包括端 点)，故 BC为直径，取 BC的中点 E，则 E为三棱锥 P BCQ− 的外接球球心O在平面BCQ的投影， 设 BC 与 AD相交于点M， 1 1A D 与 1 1B C 相交于点 N，连接 EM，ED，则 EM=ED 因为 60BCD = ，故 30CBD = ， 2 60DEM DBC =  = ， 故三角形 DEM为等边三角形， 1 1 2 2 DM DE BC AD= = = ， 即 M 为 AD的中点，同理可得：N为 1 1B C 的中点， 连接 EN，则 EN⊥平面 ABCD，故球心在线段 EN上， 答案第 5 页，共 8 页 显然，当点 P 与点 N重合时，三棱锥P BCQ− 的外接球半径最小， 假如点 P与 1A 或 1D 重合，此时 PN 最长，故三棱锥P BCQ− 的外接球 半径最大，如图 1，点 P与点 N重合，连接 OC，设ON R= ，则 OE=2-R， OC R= ，由勾股定理得： 2 2 2OE EC OC+ = ，即 ( ) 2 22 1R R− + = ， 解得： 5 4 R = ，此时外接球表面积为 2 254π π 4 R = ； 如图 2，当点 P与 1A 或 1D 重合时，连接 1 1, ,AO A N OC ， 其中 2 2 1 1 1 1 1 1 12 ? cos120 3A N A B B N A B B N= + −  = ， 设OE h= ，则 2ON h= − ， 由勾股定理得： ( ) 22 2 1 1 3 2AO A N ON h= + = + − ， 2 2 2 1OC OE EC h= + = + ，故 ( ) 2 23 2 1h h+ − = + ，解得： 3 2 h = ， 此时外接球半径为 9 13 1 4 2 OC = + = ，故外接球表面积为 13 4π 13π 4  = ， 但因为点 P 是半圆弧 1 1A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到， 综上：S的取值范围是 25 π,13π 4      .故答案为： 25 π,13π 4      15 答案：(1) ?⃗? ⋅ ?⃗? = 2；（2） 2 22a b− = ．(3) a 在b 方向上的投影向量: − ?⃗⃗? 4 【解析】【小问 1 详解】 π 1 cos 2 2 2 2 3 2 a b a b = =   = ． 【小问 2 详解】由 2 2 22 16a b a a b b+ = +  + = ，得 3a b = ， 所以 2 2 22 4 4 2 4 3 4 8 22a b a a b b− = −  + = −  +  = ．故 2 22a b− = ． 【小问 3 详解】由题意得 ( ) 0a a b + = ，即 2 0a a b+  = ，得 2 2a b a = − = − ， 所以 2 1 cos , 22 2 2 a b a b a b  − = = = −  ．因为  , 0,πa b  ，所以 2π , 3 a b = ， a 在b 方向上的投影向量: 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ cos〈𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗, ?⃗?〉 ?⃗⃗? |?⃗⃗?| = √2 × cos 2𝜋 3 × ?⃗⃗? 2√2 = − ?⃗⃗? 4 16. 【答案】(1)答案见解析 (2)14；22；4 (3)四分位数约为 21.2，众数为 32.5，平均数为 28.5 答案第 6 页，共 8 页 【详解】（1）[15， 20) 的频率为 120 0.12 1000 = ，[25，30) 的频率为 180 0.18 1000 = ， 全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下： （2）将周跑量在[10， 25) ，[25， 40) ，[40， 55)区间内的跑步爱好者依次记为A ， B ，C 三个组， 用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取 40 人， [10， 25) ，[25， 40) ，[40， 55)区间内的频率分别为：0.35，0.55，0.1， [10 ， 25) 内抽取的跑步爱好者人数为 0.35 40 14 0.35 0.55 0.1  = + + 人， [25， 40) 内抽取的跑步爱好者人数为 0.55 40 22 0.35 0.55 0.1  = + + 人， [40， 55)内抽取的跑步爱好者人数为 0.1 40 4 0.35 0.55 0.1  = + + 人． （3）由频率分布表得[10， 20) 的频率为 100 120 0.22 1000 + = ，[20， 25) 的频率为 130 0.13 1000 = ， 0.13 0.22 0.25+  ，样本的下四分位数约为 21.2， 由频率分布直方图得众数为 30 35 32.5 2 + = ， 由频率分布布估计平均数为： 12.5 × 100 1000 + 17.5 × 120 1000 + 22.5 × 180 1000 + 27.5 × 180 1000 + 32.5 × 220 1000 + 37.5 × 150 1000 + 42.5 60 1000 +47.5 × 30 1000 + 52.5 × 10 1000 = 28.5 17. 【答案】(1) π 6 ； (2) 3 2 3 , 2 3       . 【详解】（1）方法一：因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos 2 2 2 a c b b c a bc ab B b A ab b bc ac bc c + − + − + = + = = ； 又因为 1 sin 2 S bc A= ，所以 1 4 4 sin 2 S bc A bc=  = ，即 1 sin 2 A = ； 又因为 ABC为锐角三角形，所以 π 6 A = . 方法二： 214 sin cos cos 2 bc A ab B b A = + ，所以2 sin cos cosc A a B b A= + ， 答案第 7 页，共 8 页 即 ( )2 sin 2 sin cos sin cosc A R A B B A= + ， ( )2 sin 2 sin 2 sinc A R A B R C c= + = = ， 则2 sinc A c= ，得 1 sin 2 A = ；因为 ABC为锐角三角形，所以 π 6 A = . （2）由正弦定理得： sin sin( ) sin sin b B A C c C C + = = π 1 3sin cos sin 6 2 2 sin sin C C C C C   + +   = = 1 1 3 2 tan 2C =  + ， 因为 ABC为锐角三角形，所以： π 5π π 0 ,0 2 6 2 C B C   = −  ， 即 π π , tan 3 3 2 C C   ，所以 1 1 0 tan 3C   ，即 3 2 3 , 2 3 b c        . 18. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 2 4 【详解】（1）取 CE中点M，连结 MF，BM，MF是 CDE的中位线，∴MF DE∥ ， 1 2 MF DE= ， ∵𝐴𝐵 ⊥平面 ACD，𝐷𝐸 ⊥平面 ACD， ∴DE AB∥ ，又 2DE AB= ，∴ AB MF∥ ， AB MF= ， ∴四边形 ABMF是平行四边形， ∴ AF BM∥ ，∵ AF  平面 BCE，BM  平面 BCE， ∴ //AF 平面 BCE； （2）∵𝐴𝐵 ⊥平面 ACD， AF 平面 ACD，∴ AB AF⊥ ，∴四边形 ABMF是矩形，∴BM MF⊥ . ∵ ACD是正三角形，F是 CD中点，∴CD AF⊥ . ∵BM AF∥ ，∴CD BM⊥ ， ∵MF CD F = ，MF 平面 CDE，CD平面 CDE，∴𝐵𝑀 ⊥平面 CDE， ∵BM  平面 BCE，∴平面BCE ⊥平面 CDE； （3）取线段 DE的中点 P，连接 BP，∵ AB DP∥ 且 AB DP= ，∴四边形 ABPD是平行四边形，∴ AD BP∥ ， 则直线 AD和平面 BCE所成的角就是直线 BP和平面 BCE所成的角， 过点 P作PN CE⊥ ，垂足为 N，连结 BN，由（2）知平面BCE ⊥平面 CDE，又平面BCE 平面CDE CE= ， ∴PN ^ 平面 BCE，∴ PBN 为直线 BP和平面 BCE所成角的平面角. 设 1AB = ，则 2DE AC CD AD= = = = ，∵𝐷𝐸 ⊥平面 ACD，∴DE DC⊥ ， ∵CD DE= ，∴ 4 DEC   = ， 答案第 8 页，共 8 页 ∵PN CE⊥ ， 1EP = ，∴ 2 2 NP = ， ∵四边形 ABPD为平行四边形，∴ 2BP AD= = ， ∴ 2 sin 4 NP NBP BP  = = ，故直线 AD和平面 BCE所成的角正弦值为 2 4 . 19 【答案】（1） 1b = ；（2）函数 ( )f x 在 R 上为减函数，证明见解析；（3） 2 5 2m  − . 【详解】（1）因为函数 ( ) 1 2 2 2 x x b f x + − + = + 是奇函数。所以 1 1 2 2 2 2 2 2 x x x x b b− − + + − + − + = − + + ， 即2 2 1x xb b− = − 对任意一个实数 x 都成立 ，则 1b = （2）任取 1 2,x x R ，且 1 2x x ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 122 2 1 x x x x x x x x f x f x + + − − − − = − = + + + + 2 12 2 0x x−  ， ( ) ( )1 2f x f x  故函数 ( )f x 在 R 上为减函数 （3）由（2）可知，函数 ( )f x 在 R 上为减函数，并且 ( )f x 是奇函数 因为 ( )2 ( 4) ( 4)f x m f mx f mx−  − − + = − 对任意  1,3x 恒成立，所以 2 4x m mx−  − 对任意  1,3x 恒成立 即 2 4 1 x m x +  + ，令  1, 2,4t x t= +  ，则 2 5 m t t  + − 令 5 ( ) 2g t t t = + − ，  2,4t 任取  1 2, 2,4t t  ，且 1 2t t ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 12 2 1 2 1 2 55 5 t t t t g t g t t t t t t t − − − = − + − = 当 1 22 5t t   时， ( ) ( )1 2g t g t 当 1 25 4t t   时， ( ) ( )1 2g t g t 则函数 ( )g t 在[2, 5) 上单调递减，在[ 5, 4]上单调递增 即 ( ) 2 min 4 5 5 5 2 2 5 2 1 5 x m g x  +  = = + − = −  + 