平面向量数量积、平面向量坐标运算、平面向量基本定理专项训练-2025届高三数学一轮复习

平面向量：平面向量数量积、平面向量坐标运算、平面向量基本定理专项训练 考向一 平面向量数量积 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（  ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·全国II卷）已知向量满足，且，则（  ） A． B． C． D．1 3．（2023·全国乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则（  ） A． B．3 C． D．5 4．（2023·全国甲卷（理））已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为（  ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）向量在向量上的投影为，且，则（  ） A． B． C． D． 7．（2024·山西太原·二模）已知，，，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 8．（2024·新疆·二模）已知非零向量的夹角为，且，，则（  ） A． B． C． D． 9．（2024·河南·二模）若向量满足，则（  ） A． B． C．2 D．3 10．（2024·贵州遵义·二模）已知单位向量满足，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 考向二 平面向量坐标运算 1．（2024·全国甲卷（理））设向量，则（  ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2．（2024·全国I卷）已知向量，若，则（  ） A． B． C．1 D．2 3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（  ） A． B． C．0 D．1 4．（2023·全国甲卷（文））已知向量，则（  ） A． B． C． D． 5．（2023·全国I卷）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西榆林·一模）已知向量，，，若，则（  ） A． B． C．3 D．1 7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 8．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量为，则（  ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 9．（2023·湖南永州·二模）已知向量，则在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 10．（2023·河北邢台·模拟预测）已知向量，若，则实数（  ） A．1 B． C． D．2 考向三 平面向量基本定理 1．（2023·全国·模拟预测）在中，，且，则（  ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（  ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（  ） A． B． C． D． 5．（2024·广西·模拟预测）在中，，.若，则（  ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（  ）． A． B． C． D． 7．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（  ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，，记，则（ ） A． B． C． D． 9．（2024·河北承德·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（  ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（  ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$平面向量：平面向量数量积、平面向量坐标运算、平面向量基本定理专项训练 考向一 平面向量数量积 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（  ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2024·全国II卷）已知向量满足，且，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 3．（2023·全国乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则（  ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 4．（2023·全国甲卷（理））已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即. ， 则， 因为，所以与的夹角大小为. 故选：C 6．（2024·江苏南京·模拟预测）向量在向量上的投影为，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，即， 又，则，即， 所以，则. 故选：． 7．（2024·山西太原·二模）已知，，，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 所以，则，即， 解得， 设与的夹角为，则，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C 8．（2024·新疆·二模）已知非零向量的夹角为，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得； 由，得， 所以， 所以， 因为，所以． 故选：A． 9．（2024·河南·二模）若向量满足，则（  ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为向量，满足，，， 所以，即， 所以，则． 故选：A． 10．（2024·贵州遵义·二模）已知单位向量满足，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由平方可得，即， 则，则， 又， 所以， 故与的夹角为. 故选：B 考向二 平面向量坐标运算 1．（2024·全国甲卷（理））设向量，则（  ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2．（2024·全国I卷）已知向量，若，则（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 4．（2023·全国甲卷（文））已知向量，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 5．（2023·全国I卷）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 6．（2023·陕西榆林·一模）已知向量，，，若，则（  ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【详解】因为，，， 所以， 因为，所以，解得. 故选：D 7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 8．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量为，则（  ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由向量，可得， 因向量在上的投影向量为， 由题意，，解得. 故选：A. 9．（2023·湖南永州·二模）已知向量，则在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 在上的投影向量为， 故选：B 10．（2023·河北邢台·模拟预测）已知向量，若，则实数（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 考向三 平面向量基本定理 1．（2023·全国·模拟预测）在中，，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，，    所以， ， 所以. 故选：C. 2．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由题意,可知是的中点， 所以． 故选：C． 3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得 ． 故选：D 4．（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 5．（2024·广西·模拟预测）在中，，.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 所以， 又因为， 所以， 所以，， 所以，，，，只有选项C正确； 故选：C． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 由题意可得， 而. 故选：C． 7．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有， 所以． 故选：A 8．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，，记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有， 所以. 故选：B． 9．（2024·河北承德·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，所以， 故选：D 10．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由平面向量的基本定理，可得： 当时，此时点P在直线BD上； 当时，此时点P在点A和直线BD之间； 当时，此时点P在点C和直线BD之间； 当时，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上， 对于A中，由向量，满足，所以点在内部，所以A错误； 对于B中，由，满足，所以点在上，所以B错误； 对于C中，由，满足，所以点可能在内部，所以C正确； 对于D中，由，满足，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，所以D错误. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$