第04讲 充分条件与必要条件（五大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第04讲 充分条件与必要条件 学习目标： 1．理解充分、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法． 2．能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件． 3．会对某些命题的充要条件进行证明． 重点难点： 重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义。 难点：充分条件、必要条件、充要条件的判断 一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 考点01 命题的概念 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 3．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 4．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 5．已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 6．下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 7．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 考点02充分条件、必要条件及充要条件的判定 8．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 11．已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 14．实数，满足“”是“”的 条件． 15．已知，则“”是“”的 条件（填充“充分不必要条件､必要不充分､充要条件､既不充分又不必要”） 考点03充分条件、必要条件及充要条件的探索 16．下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 17．若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 18．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 19．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 20．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 22．下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 考点04由充分条件、必要条件求参数 23．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 24．已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 25．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 26．已知命题，若是的充要条件，则 ． 27．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 28．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 29．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 30．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 考点05充要条件的证明 31．求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 32．设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 33．设集合A，B，求证：是的充要条件． 34．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 35．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 基础试炼 一、单选题 1．下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 2．使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．若，则“”是“”的充要条件 6．已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 8．下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 9．已知和，且p是q的必要条件但不是充分条件，则实数m的取值集合为 ． 四、解答题 10．下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 11．已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 12．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 高阶突破 1．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．已知a，，则的充要条件是 C．“”是“”的必要不充分条件 D．的充要条件是 3．已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 4．设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 5．已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 6．设，，已知，且“”是“”的必要条件，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第04讲 充分条件与必要条件 学习目标： 1．理解充分、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法． 2．能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件． 3．会对某些命题的充要条件进行证明． 重点难点： 重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义。 难点：充分条件、必要条件、充要条件的判断 一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 考点01 命题的概念 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 2．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 3．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 4．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 5．已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】，，故命题“若α，则β”是真命题. 故答案为：真. 6．下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【答案】(1)真命题，原因见解析 (2)假命题，原因见解析 (3)不是命题（祈使句） (4)假命题，原因见解析 (5)不是命题（一般疑问句） (6)不是命题（无法判断真假） 【详解】（1）是命题，并且是真命题． 这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而， 所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题； （2）是命题，并且是假命题. 取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题； （3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题； （4）是命题，并且是假命题， 取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题； （5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题； （6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 7．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 考点02充分条件、必要条件及充要条件的判定 8．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，但不能得出, 是的充分不必要条件. 故选：A. 9．甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，实数满足，但此时不成立； 反过来由得． 综上所述，“实数满足”是“实数满足”的必要不充分条件， 故选：A． 10．已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以是的充要条件, 故选：C. 11．已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角； 但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形， 也可能是直角三角形或钝角三角形． 故是的充分不必要条件． 故选：B. 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得，故， 因此“”是“”的充分不必要条件 故选：A 13．（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】AB 【详解】由已知得， 由此得且，A正确，C不正确； ，B正确； 且，D不正确． 故选：AB． 14．实数，满足“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【详解】由，得此时，充分性成立； 由，得或，此时不一定成立，必要性不成立. 故答案为：充分不必要. 15．已知，则“”是“”的 条件（填充“充分不必要条件､必要不充分､充要条件､既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】因为或或， ， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 考点03充分条件、必要条件及充要条件的探索 16．下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是； 对于B，是的一个必要不充分条件，B是； 对于C，是的一个充分不必要条件，C不是； 对于D，是的一个充分不必要条件，D不是. 故选：B 17．若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 18．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 19．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，推不出来， 由得或，推不出来，排除A，B； 由可得，解得或， 所以是的既不充分也不必要条件，排除C； 由，反之不成立，D正确， 故选：D. 20．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 21．（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素， 因为，则有： 当时，； 当时，； 当时，； 则的取值范围为， 由，，， 可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件； 又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件； 故选：ABD. 22．下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 考点04由充分条件、必要条件求参数 23．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 24．已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤. 【考查意图】已知充要关系求参数的取值范围． 25．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 26．已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 27．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 28．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 29．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，， ，故或， 故或； （2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集， ，， 故，解得， 故实数的取值范围是 30．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在. 【详解】（1）因为命题为真命题， 而 ，所以且，解得 （2）令，， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 若，此时； 若，则，解得， 综上所述，存在使得是的必要不充分条件 考点05充要条件的证明 31．求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【答案】证明见解析. 【详解】充分性： 若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立； 必要性：由于等式对任意实数恒成立， 分别将，，代入可得， 解得，必要性成立， 故等式对任意实数恒成立的充要条件是. 32．设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【答案】答案见详解 【详解】必要性： 设方程与的公共根为， 则，， 两式相加得（舍去）， 将代入， 得， 整理得. 所以. 充分性： 当时，， 于是等价于， 所以， 该方程有两根，. 同样等价于， 所以， 该方程亦有两根，. 显然，两方程有公共根. 故方程与有公共根的充要条件是. 33．设集合A，B，求证：是的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 34．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【答案】充要条件，证明见解析 【详解】是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件， 35．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 基础试炼 一、单选题 1．下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 2．使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 3．已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B. 4．若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的一个必要不充分条件为，则且， 故只有B选项成立. 故选：B 二、多选题 5．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．若，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【详解】对于A选项，当时， 当时， 所以两者既不充分也不必要，故A 错误; 对于B选项，当时，可取，但，当时，，故 B 正确; 对于C选项，当 时， ，从而，反之，时，若，则 ，所以两者不是充要条件，故 C错误； 对于D 选项，且，故D正确， 故选：BD . 6．已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 三、填空题 7．已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】命题，命题，由是的充分条件，得，即 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 【答案】（2） 【详解】（1）由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件． （2）由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件． 故答案为：（2） 9．已知和，且p是q的必要条件但不是充分条件，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【详解】命题，命题， 因为p是q的必要条件但不是充分条件，所以， 所以或或． 当时，满足题意； 当时， 若，则，解得； 若，则，解得． 综上可得，m的取值集合是． 故答案为：． 四、解答题 10．下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 【答案】(1)充分非必要条件； (2)充分非必要条件； (3)必要非充分条件. 【详解】（1），而不能保证，如， 因此是的充分非必要条件. （2），而当时，或，即不能推出， 所以是的充分非必要条件. （3）一个四边形为平行四边形，则这个平行四边形的邻边可以不等，它不是菱形； 若一个四边形是菱形，则它一定是平行四边形， 所以一个四边形为平行四边形是这个四边形为菱形必要非充分条件. 11．已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，集合，可得或， 所以； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 12．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 高阶突破 1．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．已知a，，则的充要条件是 C．“”是“”的必要不充分条件 D．的充要条件是 【答案】CD 【详解】A. “ ，解得或，故“”是“”的必要不充分条件，故错误； B. 当时，，故成立， 当时，，故成立， 当时，也成立， 所以的充分不必要条件是，故错误； C. 当时， ，当 时， ，故不充分， 若，则 即可得，故必要，故正确； D. 等价于等价于，等价于，故的充要条件是，故正确； 故选：CD 3．已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 4．设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【答案】必要非充分条件 【详解】由韦达定理，， 判定条件结论 （注意条件中，、需满足） ①由得，，所以． ②为了证明，可以举出反例 取，，满足，，但不成立． 综上可知，是两根均大于1的必要非充分条件． 5．已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 6．设，，已知，且“”是“”的必要条件，求的值. 【答案】答案见解析 【详解】因为“”是“”的必要条件，所以，     又因为，则 当时，则，所以； 当时，则，所以     当时，则，所以，     综上所述，当，； 当时，； 当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$