精品解析：甘肃省天水市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题

2023-2024学年第二学期期中联考试卷 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 2. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. l与斜交 B. C. D. 4. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A B. C. D. 5. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（ ） A 7万件 B. 8万件 C. 9万件 D. 10万件 7. 将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 11. 如图，在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥与正方体的体积比为 C. D. 平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________． 13. 某一质点做直线运动，由始点经过t秒后的位移（单位：米）为，则秒时的瞬时速度为__________米/秒． 14. 我们通常用“曲率”来衡量曲线弯曲的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．若是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率．已知曲线，则曲线在点处的曲率为__________；若，则曲线的曲率的平方的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值和最小值． 16. 设O为坐标原点，． （1）求； （2）若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 17. 已知函数． （1）若函数的单调递减区间为，求实数a的值． （2）若存在x使得，求实数a的取值范围． 18. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD，，且． （1）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 19. 若函数的导函数分别为，满足且，则称c为函数与的一个“好位点”，记作“C点”． （1）求与的“C点”． （2）判断函数与是否存在“C点”，若存在，求出“C点”，若不存在，请说明理由． （3）已知函数，若存在实数，使函数与在区间内存在“C点”，求实数q的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期中联考试卷 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再代入求出导数值即得. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴对称的特点求出坐标即可. 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：B 3. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. l与斜交 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 4. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以的图象在处的切线方程为. 故选：D 5. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 6. 某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（ ） A 7万件 B. 8万件 C. 9万件 D. 10万件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用导数求得函数单调性，得出函数的额最大值点，即可求解. 【详解】由年利润与年产量满足， 因为年产量是万件，则年利润是万元，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值， 即年产量为万件时，厂家获得的年利润最大. 故选：B. 7. 将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，， 令，求导得， 即函数在上单调递增，因此，即， 所以，a的最小值为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的导函数图象，求出函数的单调区间即可判断得解. 【详解】观察导函数的图象知，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，AC错误，B正确； 函数在处取得极小值，D正确. 故选：BD 11. 如图，在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥与正方体的体积比为 C. D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标表示与数量积，以及夹角公式的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为1， 可得， 对于A中，由，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，由正方体的体积为， 又由，所以，所以B错误； 对于C中，由，则， 因为，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得， 即，因为，且平面， 所以平面，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 13. 某一质点做直线运动，由始点经过t秒后的位移（单位：米）为，则秒时的瞬时速度为__________米/秒． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数运算法则及瞬时变化率的概念计算即可. 【详解】对于， 显然当时，，即此时瞬时速度为4米每秒. 故答案为： 14. 我们通常用“曲率”来衡量曲线弯曲的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．若是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率．已知曲线，则曲线在点处的曲率为__________；若，则曲线的曲率的平方的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据曲率定义，由函数求出及，再将代入公式计算即得；求出的函数关系，利用导数求出最大值即可. 【详解】函数，求导得，， 则曲线在点处的曲率， 当时，； 当时，， 令，显然，，则， 令，求导得，即函数在上单调递减， 当时，取得最大值2，所以曲线的曲率的平方的最大值为2. 故答案为：；2 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2）最大值和最小值分别为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导数大于0、小于0的不等式即可得解. （2）结合（1）中的结论，利用单调性求出最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，， 所以在上的最大值和最小值分别为. 16. 设O坐标原点，． （1）求； （2）若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 所以， 则； 【小问2详解】 由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 17. 已知函数． （1）若函数单调递减区间为，求实数a的值． （2）若存在x使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）3； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由是的解集，进而求出a的值. （2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值既得. 【小问1详解】 函数，求导得， 由函数的单调递减区间为，得是的解集， 于是是方程的二根，则，解得， 而当时，，由，得，符合题意， 所以实数a的值是3. 【小问2详解】 不等式，依题意，存在正数，使得， 令，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数a的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，且． （1）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角、面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面平面，平面平面， 而，平面，则平面，又平面， 于是，又，平面，则平面， 而平面，则，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， ，而平面的一个法向量为， 所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，则，显然二面角的大小为钝角， 所以二面角的大小为. 19. 若函数的导函数分别为，满足且，则称c为函数与的一个“好位点”，记作“C点”． （1）求与的“C点”． （2）判断函数与是否存在“C点”，若存在，求出“C点”，若不存在，请说明理由． （3）已知函数，若存在实数，使函数与在区间内存在“C点”，求实数q的取值范围． 【答案】（1）1； （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“C点”的定义，列出解方程组求解即得. （2）假定存在“C点”，利用“C点”的定义列出解方程组并求解得结论． （3）设“C点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围即可. 【小问1详解】 依题意，，，由方程组，得，解得， 所以函数的“C点”为1. 小问2详解】 依题意，，， 假定函数存在“C点”，令其“C点”为， 则，即，， 所以函数存在“C点”， “C点”为. 【小问3详解】 依题意，，， 存在使得，即， 解得， 由，又，解得， 令，则，在上增函数， ，而当时，，且当时，，则， 所以实数q的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$