精品解析：山东省菏泽市2024届高三下学期模拟预测信息押题卷（一）数学试题

2024届高三 信息押题卷（一） 数 学 试 题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知非空集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为数列的前项和，，则“”是“数列是以为公比的等比数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：） A. 12小时后 B. 24小时后 C. 26小时后 D. 28小时后 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若成立，则实数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的展开式中的常数项为60，则 D. 若随机变量的方差，则 10. 已知定义在上的函数满足：对、，，且，，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，四面体的各棱长均为分别为棱的中点，为棱上异于顶点的点，则以下结论正确的为（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 春节期间，小明一家3口､姑姑一家3口和爷爷，奶奶围坐圆桌聚餐，则在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为__________． 13. 已知，若，使成立，则__________． 14. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，为抛物线的准线与轴的交点，直线分别交抛物线于两点（点异于点，），为坐标原点，则实数的取值范围为__________；__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线过点． （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值． 16. 在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次．在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分．已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立． （1）设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望； （2）若第二轮比赛中设置两种参赛方法．方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但得分会减少分．选手可以任选一种规则参加比赛．若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加．请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好． 18. 已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． （1）求双曲线的方程及的面积； （2）直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三 信息押题卷（一） 数 学 试 题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由复数除法求出复数，再求模. 【详解】根据题意，， 则. 故选：B 2. 已知非空集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合，由确定的取值范围. 【详解】根据题意，， 因为，所以，则， 所以. 故选：D 3. 已知向量满足，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，，则，结合数量积运算律化简可解. 【详解】根据题意，，所以， 又，所以， 即，因为， 所以. 故选：A. 4. 设为数列的前项和，，则“”是“数列是以为公比的等比数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的判断方法和等比数列的前项和公式分析即得结论. 【详解】由，若，等式显然成立， 但是数列的通项和前项和都没有规定，故得不出“数列是以1为公比的等比数列”的结论， 即“”不是“数列是以为公比的等比数列”的充分条件； 而由“数列是以为公比的等比数列”可知，若，则显然成立， 当时，有成立，即必有成立， 故“”是“数列是以为公比的等比数列”的必要条件. 故选：C. 5. 在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：） A. 12小时后 B. 24小时后 C. 26小时后 D. 28小时后 【答案】B 【解析】 【分析】分段研究函数，当时，，当时，令，解不等式即可. 【详解】当时，， 所以， 当时，令， 即，所以， 所以. 故选：B 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移和伸缩变换可得，进而可得，利用整体法求解单调性即可求解. 【详解】由题意可得， 由于与的图象关于轴对称，所以， 令，解得， 取，则， 故选：C 7. 已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 8. 已知，若成立，则实数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值. 【详解】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的展开式中的常数项为60，则 D. 若随机变量的方差，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质，即可排除A；根据全称量词命题的否定要求推理得到B；根据二项展开式的通项公式求得常数项，解方程即可求得；利用随机变量的方差的性质即可排除D. 【详解】对于A，由二项式系数的性质可得，， 且，故A错误； 对于B，根据全称量词命题的否定要求推理即得，故B正确； 对于C，因的展开式中的常数项为，解得，，故C正确； 对于D，若随机变量的方差，则,故D错误. 故选：BC. 10. 已知定义在上的函数满足：对、，，且，，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，可求出的值，可判断A选项；令，可求出的值，可判断B选项；令，，可判断C选项；令，，可推导出，进而可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得，即，解得，B错； 对于C选项，令，，可得，所以，，C对； 对于D选项，令，，则有， 所以，，故，D对. 故选：ACD. 11. 如图所示，四面体的各棱长均为分别为棱的中点，为棱上异于顶点的点，则以下结论正确的为（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】用向量的数量积可判断A，用向量的夹角余弦公式可判断B，把正四面体放入正方体中，求外接球体积，可判断C，把四面体侧面展开，即可求得平面截四面体所得的截面图形的周长最小值，进而判断D. 【详解】由题意，，， 所以， 所以，故A正确； 因为为等边三角形，为棱的中点，所以， ，同理，，， 因为分别为棱的中点，所以，， 又为等边三角形，所以，， ， 设直线与所成角为，则，故B正确； 把四面体放入正方体中， 则正方体的面对角线长度等于四面体的棱长， 所以正方体的棱长为，正方体的体对角线长为， 正方体的外接球半径为，正方体的外接球体积为， 即四面体的外接球体积为，故C错误； 将四面体的侧面展开如图所示，连接，交于， 当时，平面截四面体所得的截面图形的周长最小， 此时分别为的中点， ， 所以平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为. 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 春节期间，小明一家3口､姑姑一家3口和爷爷，奶奶围坐圆桌聚餐，则在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求出爷爷、奶奶捆绑在一起的方法数和小明一家3口均不相邻的方法数，再由条件概率求解. 【详解】将爷爷、奶奶捆绑在一起有种方法，与另外6人排列， 又因为是围坐圆桌，所以有种， 将爷爷、奶奶捆绑在一起和姑姑一家三口排列有种，形成4个空， 将小明一家3口插空，有种，故共有种， 所以在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为. 故答案为：. 13. 已知，若，使成立，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将方程化成，通过左右两边函数的值域比较,得到两边只能等于，求得，回代求出. 【详解】由可得，, 设. 依题意，，而，故， 由，可得，， 又由可得，， 因，则， ，故，解得，. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，为抛物线的准线与轴的交点，直线分别交抛物线于两点（点异于点，），为坐标原点，则实数的取值范围为__________；__________． 【答案】 ①. 或 ②. 1 【解析】 【分析】联立方程组，令，可得实数的取值范围，根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称，从而可解. 【详解】联立方程组，整理得：， 直线交抛物线于两点， 则，即或； 设,，,， 则， 记，，焦点， 设直线方程为，代入整理得：， 则，同理可得，又， 因此， 根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称， 所以，则. 故答案为：或；1 【点睛】关键点点睛：借助韦达定理并结合根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线过点． （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2） 的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解； （2）利用导数研究函数单调性和极值. 【小问1详解】 由已知得， 则，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得 . 【小问2详解】 所以，定义域为， 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 16. 在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：根据题意，即， 又侧面平面，面平面，平面， 所以面，而面，所以， 侧面为菱形，为中点，所以， 平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由侧面平面和，可得面，又，再结合线面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用两平面夹角的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接 ，则，而，所以， 又侧面平面，面平面，平面， 所以面， 以点 为原点，分别以， ， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 由题知，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则有，取，得， 设平面的法向量为， 则有，取，得， 设二面角的夹角为， 则， 即二面角的余弦值为． 【点睛】 17. 为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次．在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分．已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立． （1）设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望； （2）若第二轮比赛中设置两种参赛方法．方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但得分会减少分．选手可以任选一种规则参加比赛．若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加．请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好． 【答案】（1） （2）当时，选择方法1；当时，选择方法2；当时，选择两种方法都一样. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式求的分布列，利用公式求得数学期望； （2）先求选取方法2参加比赛，则小王同学得分的数学期望，再进行比较. 【小问1详解】 的可能取值为4，7，10， ， ， 所以分别列为： 4 7 10 P 所以； 【小问2详解】 如果选取方法2参加比赛，则小王同学得分的可能取值为， ， ， ， 所以， 当时，即，即时，选择方法1， 当时，即，即时，选择方法2， 当时，即，即时，选择两种方法都一样. 18. 已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． （1）求双曲线的方程及的面积； （2）直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 【答案】（1），的面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称以及锐角三角函数可得，进而利用双曲线定义即可求解， （2）联立直线与曲线方程得韦达定理，进而根据点斜式直线方程求解的坐标，利用垂直平分线的性质，结合韦达定理即可化简求解. 【小问1详解】 由于，故， 又，且关于对称，所以,因此， 在中，， 取椭圆左焦点,连接，根据对称性可得， 由椭圆定义可得,即， 由于，所以，进而可得， 故双曲线方程为， 【小问2详解】 设，，,， 由（1）知,即， 联立与的方程可得 则， ， 则直线方程为，令，则， 故 同理可得, 由于，所以在线段的垂直平分线上，故， 故， ，， 化简得 代入韦达定理可得 即，故， 故，或， 若，此时直线经过定点，该点与重合，不满足题意， 故 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集； （3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论. 【小问1详解】 ，第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ； 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故， ， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得， 【小问3详解】 因为， ，， 依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $