第03讲 集合的基本运算（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第03讲 集合的基本运算 学习目标： 1．理解并集、交集和补集的概念． 2．会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集和补集． 3．能够求解集合的并集、交集和补集． 4．能利用并集与交集的性质解决有关参数问题． 重点难点： 重点：交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系 难点：利用交集并集含义和 Venn图解决一些与集合运算有关的问题。 一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 考点01 并集的运算 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 考点02 交集的运算 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则 ． 8．（多选）集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（    ） A． B．0 C．1 D．3 9．已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．7 B．4 C．3 D．2 10．已知集合，，，则集合的非空子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 考点03 由集合的并集、交集求参数 11．设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．满足且的集合的个数是（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 14．已知集合．若，则 ． 15．（多选）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 16．已知集合，则 17．设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 考点04 补集的运算 18．已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 19．已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 20．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 22．已知全集，集合或，则 . 考点05 交、并、补集的混合运算 23．（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 25．设集合，，，则 ． 26．已知全集，集合，，则 27．已知集合，则 . 28．已知集合，，，则的子集个数为 ． 29．已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 30．（1）已知集合，，．求，． （2）已知集合或，．求，； 考点06 集合混合运算中的求参或集合 31．已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 32．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 33．已知集合，，若．则(    ) A． B． C． D． 34．已知全集；则集合B元素的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．已知集合，集合，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 37．已知集合，集合，. (1)当时，求：①；②； (2)若，求实数的取值范围. 考点07 Venn图的应用 38．能正确表示图中阴影部分的是（    ）    A． B． C． D． 39．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 40．已知全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 41．某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（    ） A．同时选择两项参加的人数可能有100人 B．同时选择两项参加的人数可能有180人 C．同时选择两项参加的人数可能有260人 D．同时选择两项参加的人数可能有320人 42．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 基础试炼 一、单选题 1．已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．7 B．4 C．3 D．2 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则（    ） A．0或5 B．0或3 C．1或 D．1或3 4．已知全集，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 6．若非空集合M，N，P满足：，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 8．若集合，则 . 9．已知集合，集合，，则 四、解答题 10．已知集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值的集合． 11．已知集合． (1)求，，； (2)若，求实数的取值范围． 12．已知，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 高阶突破 1．已知全集，集合满足：，且当时必有，则 . 2．已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 3．已知. (1)若，求实数的取值集合； (2)若，求实数的取值集合. 4．设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 5．已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 6．已知集合. (1)当时，求； (2)若且，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第03讲 集合的基本运算 学习目标： 1．理解并集、交集和补集的概念． 2．会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集和补集． 3．能够求解集合的并集、交集和补集． 4．能利用并集与交集的性质解决有关参数问题． 重点难点： 重点：交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系 难点：利用交集并集含义和 Venn图解决一些与集合运算有关的问题。 一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 考点01 并集的运算 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由并集的概念即可求解. 【详解】由，得. 故选：A. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 故选：D. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以，又， 所以． 故选：A． 4．已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4， 故选：C． 5．集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，即， ，. 故选：C. 考点02 交集的运算 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为,, 所以. 故选：C. 7．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 8．（多选）集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】CD 【详解】由图可知阴影部分表示出两集合的交集， 因为和， 所以. 故选：CD 9．已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由集合，，得， 所以的真子集个数为. 故选：C 10．已知集合，，，则集合的非空子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】B 【详解】因为，又， 所以，所以， 则集合的子集共有个，非空子集个， 故选：B 考点03 由集合的并集、交集求参数 11．设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， 所以. 故选：C 12．满足且的集合的个数是（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由可得：，. 又因为， 所以或. 故选：B 13．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 14．已知集合．若，则 ． 【答案】 【详解】当时，，此时不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 15．（多选）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 【答案】ABC 【详解】易知， ∵， ∴. 若，则； 若，则，即； 若，则，即. 故选：ABC. 16．已知集合，则 【答案】3 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：3. 17．设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，, 所以. （2）解不等式得，则, 因为，则, 可知，解得, 故实数a的取值范围为. 考点04 补集的运算 18．已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由已知，非空真子集有个. 故选：A. 19．已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 故选：A. 20．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合或，， 所以， 故选：B． 21．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意,， 则. 故选：B 22．已知全集，集合或，则 . 【答案】或 【详解】在数轴上表示出全集,集合, 根据补集的概念可知或. 故答案为：或. 考点05 交、并、补集的混合运算 23．（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，，选项错误； ，选项B错误； ，选项正确； ，选项D正确. 故选：CD 24．（多选）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为集合， 可得，，且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 25．设集合，，，则 ． 【答案】 【详解】，， 故， 故答案为： 26．已知全集，集合，，则 【答案】 【详解】由题意可知：，所以. 故答案为：. 27．已知集合，则 . 【答案】 【详解】由题意，或， 因此. 故答案为：. 28．已知集合，，，则的子集个数为 ． 【答案】8 【详解】由题意得，则，共有3个元素， 所以的子集个数为个． 故答案为：8． 29．已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1），； （2）； （3）∵，全集， ∴； （4）∵，， ∴． 30．（1）已知集合，，．求，． （2）已知集合或，．求，； 【答案】（1），； （2）），； 【详解】（1），，，故， ，； （2）或，，， ，. 考点06 集合混合运算中的求参或集合 31．已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 32．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，、、，且，故. 故选：B. 33．已知集合，，若．则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1∈B1是的根m＝3， ， ∴{0，1，2，3}， 故选：D﹒ 34．已知全集；则集合B元素的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：因为， 所以，∵，，∴，； ∴，∴个， 故选：A． 35．已知集合，集合，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由于， 所以. 故选：A 36．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 37．已知集合，集合，. (1)当时，求：①；②； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，集合，且，， 所以或， 则，. （2）因为，又， ， 当集合时，有：，解得：； 当集合时，有：或， 解得：或， 综上所述：实数的取值范围为：. 考点07 Venn图的应用 38．能正确表示图中阴影部分的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，对比选项可知，只有A符合题意. 故选：A. 39．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为. 故选：A 40．已知全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在阴影部分区域中任取一个元素，则且，或且， 所以，图中阴影部分可表示为或. 故选：A 41．某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（    ） A．同时选择两项参加的人数可能有100人 B．同时选择两项参加的人数可能有180人 C．同时选择两项参加的人数可能有260人 D．同时选择两项参加的人数可能有320人 【答案】B 【详解】根据题意，，， 则同时选A，B的人数在到之间，换算成人数为，即120到240之间， 因此符合题意的选项只有B． 故选：B. 42．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 基础试炼 一、单选题 1．已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 所以的真子集个数为. 故选：C. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选：B 3．已知集合，若，则（    ） A．0或5 B．0或3 C．1或 D．1或3 【答案】B 【详解】由于，所以或， 当时，，满足， 当时，解得或， 当时，，满足， 当时，不满足集合元素的互异性. 综上所述，的值为或. 故选：B 4．已知全集，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意画出图如下，    可得：，，，. 故选：D. 二、多选题 5．已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 【答案】BC 【详解】，当时，方程的解为或； 当时，方程的解为， 得，A选项错误，B选项正确； 由且，则，共6个． C选项正确，D选项错误. 故选：BC 6．若非空集合M，N，P满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，，所以，所以， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，所以不一定成立，故错误； 对于C：因为，所以，故正确； 对于D：因为，，所以，故正确； 故选：ACD. 三、填空题 7．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 【答案】7 【详解】由可得， 由于，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 所以,故Q的真子集个数为， 故答案为：7 8．若集合，则 . 【答案】 【详解】由，解得或， 集合，则. 故答案为： 9．已知集合，集合，，则 【答案】 【详解】设方程的两个根分别为， 则，又， 故或者， 则， 设两个根分别为， 则，又， 故或者， 则， 故， 故答案为：. 四、解答题 10．已知集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值的集合． 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）当时，，所以， ,； （2），， 则，解得：． 故实数取值的集合为. 11．已知集合． (1)求，，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． （2）因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 12．已知，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，即，即，解得， 所以， 当时， 所以 （2）因为，显然， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为. 高阶突破 1．已知全集，集合满足：，且当时必有，则 . 【答案】 【详解】若为的真子集，则为由部分正整数组成的非空集合， 故中存在最小元素，故，从而，于是， 因为，若，由的性质可知，这与矛盾， 所以，但这又与是中的最小元素矛盾，所以不是的真子集， 即. 故答案为： 2．已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 【答案】－3 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 3．已知. (1)若，求实数的取值集合； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）因为或，则， 则是的两解，则且，解得； 综上，. （2）由（1），而，则， 所以或满足条件， ①当时，则方程无解， 因此，解得； ②当时，则方程有两个相等的解0， 因此且，解得. ③当时，则方程有两个相等的解8， 因此且，无解. ④当时，则方程有两解0和8， 因此且，解得； 综上，或， 故实数的取值集合或. 4．设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 5．已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 6．已知集合. (1)当时，求； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 又，所以. （2）因为， ①时，，解得； ②时，，此时满足条件的m不存在； ③时，，解得， 综上得，m的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$