立体几何：体积问题、表面积问题、外接球问题 专项训练-2025届高三数学一轮复习

立体几何：体积问题、表面积问题、外接球问题专项训练 考向一 体积问题 1．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 　　． 2．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 　 　． 3．（2024•天津）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知，，．则该五面体的体积为　　 A． B． C． D． 4．（2024•新高考Ⅰ）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 5．（2023•甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为　　 A．1 B． C．2 D．3 6．（2023•乙卷）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 7．（2024•陕西模拟）已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为　　． A． B． C． D． 8．（2024•昆明三模）某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为　　 A． B． C． D． 考向二 表面积问题 1．（2024•开福区校级三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：是　　 A． B． C． D． 2．（2024•莆田模拟）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为　　 A． B． C． D． 3．（2024•辽宁模拟）如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 4．（2024•泰安三模）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． 5．（2024•漳州模拟）一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 6．（2024•安溪县校级模拟）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为　　 A． B． C． D． 7．（2024•格尔木市模拟）如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为　　 A． B． C． D． 8．（2024•江西模拟）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 考向三 外接球问题 1．（2024•襄城区校级模拟）如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 2．（2024•汉台区模拟）将一副三角板拼接成平面四边形（如图），，将其沿折起，使得面面，若三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 3．（2024•汕头模拟）在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．（2024•思明区校级模拟）已知三棱锥中平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．（2024•常德模拟）已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 6．（2024•友谊县校级模拟）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 7．（2024•红桥区一模）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 8．（2024•扬州模拟）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：体积问题、表面积问题、外接球问题专项训练 考向一 体积问题 1．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 　　． 【解答】解：如图，设正四棱台的上下底面中心分别为，， 过作，垂足点为，由题意易知，又， ，又，， 该四棱台的体积为． 故答案为：． 2．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 　28　． 【解答】解：如图所示，根据题意易知△， ，又， ，，又上下底面正方形边长分别为2，4， 所得棱台的体积为． 故答案为：28． 3．（2024•天津）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知，，．则该五面体的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长到，使，延长到，使，连接、， 可得，结合，可知为三棱柱， 因为四边形与四边形全等，所以， 由，且它们两两之间的距离为1．可知： 当为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时． 根据棱柱的性质，若为斜三棱柱，体积也是， 因此，，可得该五面体的体积． 故选：． 4．（2024•新高考Ⅰ）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：， 圆柱和圆锥的侧面积相等，可得， 解得，圆锥的体积为：． 故选：． 5．（2023•甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为　　 A．1 B． C．2 D．3 【解答】解：如图， ，，取的中点，连接，， 可得，， 又，、平面，平面， 在与中，求得， 在中，由，，得，则， ， ． 故选：． 6．（2023•乙卷）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接、， 由于圆锥的底面半径为，即， 而，故， 同时， 中，，为的中点，则有， 又由的面积等于，即，变形可得， 而，则有，解可得， 故该圆锥的体积． 故选：． 7．（2024•陕西模拟）已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为　　． A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设该圆锥的母线长为，高为， 由于其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则有，得， 则， 所以该圆锥的体积为． 故选：． 8．（2024•昆明三模）某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设所在截面圆心为，连接，，交球于点，交平面于点， 设，， 由题意，， ， 又， ， 在△中， ， ， 解得， 所以． 故选：． 考向二 表面积问题 1．（2024•开福区校级三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为， 所以此陀螺的表面积为． 故选：． 2．（2024•莆田模拟）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图正八面体，连接和交于点， ，， ，，又和为平面内相交直线， 平面，则为正八面体的外接球的球心， 设正八面体的外接球的半径为，则，得． ，可得正八面体的每一个侧面都是边长为的正三角形， 则此正八面体的表面积为． 故选：． 3．（2024•辽宁模拟）如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，作出展开图，可得，为锐角，故， 由，可得，即为等边三角形，所以， 则圆锥的侧面积为，底面积， 所以圆锥的表面积为． 故选：． 4．（2024•泰安三模）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：作出圆台的轴截面，如图所示： 设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是， 所以轴截面周长为，解得， 所以上、下底面圆的面积分别为，，圆台侧面积为， 所以圆台的表面积为． 故选：． 5．（2024•漳州模拟）一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆台的高为，则圆台的体积为， 解得，所以圆台的母线长为， 所以圆台的表面积为． 故选：． 6．（2024•安溪县校级模拟）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意易得陀螺的外接球半径，球心为圆柱的中心， 又圆柱的底面半径，球心到圆柱底面距离， 圆柱的高为，圆锥的高为， 该陀螺的体积为． 故选：． 7．（2024•格尔木市模拟）如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设相同的铁球的半径为， 圆柱形容器内部有高度为的水，且放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球， ， 解得， 故一个铁球的表面积为． 故选：． 8．（2024•江西模拟）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的底面半径为，因为圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，得，解得， 所以该圆锥的表面积为． 故选：． 考向三 外接球问题 1．（2024•襄城区校级模拟）如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：将四面体补形成长方体，长、宽、高分别为2，1，2， 外接球直径等于体对角线长，故， 所以外接球表面积为． 故选：． 2．（2024•汉台区模拟）将一副三角板拼接成平面四边形（如图），，将其沿折起，使得面面，若三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，，所以，， 又因为在直角三角形中，，所以，， 又因为面面，，面面，面，所以面， 又因为面， 所以， 所以在三棱锥中，其外接球球心在的中点， 所以球的半径， 所以外接球表面积为． 故选：． 3．（2024•汕头模拟）在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆锥的母线长，侧面展开图的圆心角为，设圆锥的底面半径为， 则圆锥的底面周长为满足，解得； 设圆锥的外接球的球心为，半径为， 如图所示： 则该圆锥的高为； 设外接球的半径为， 在中，， 即， 解得； 所以． 故选：． 4．（2024•思明区校级模拟）已知三棱锥中平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由，，，得， 故，则为的中点，设的外接圆的半径为， 则，， ， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：． 5．（2024•常德模拟）已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由，，，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：． 6．（2024•友谊县校级模拟）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为平面平面， ，， 所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分， 如图所示： 则四面体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为， 所以直三棱柱的外接球的半径， 则球的表面积． 故选：． 7．（2024•红桥区一模）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：正六棱柱的所有棱长均为2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点， 故，表面积为． 故选：． 8．（2024•扬州模拟）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解可得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$