14.3 因式分解 讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

因式分解 14.3 目录 探究1 因式分解 2 探究2 提公因式法分解因式 5 探究3 用平方差公式分解因式 7 探究4 用完全平方公式分解因式 9 探究5 十字相乘法分解因式 11 探究1 因式分解 1.定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 2.多项式因式分解的一般步骤: 先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下:“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”. 【例1】 (2024春•滦南县校级期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解,据此进行判断即可. 【解答】解:中因式分解不彻底,则不符合题意; 中左右两边不相等,则不符合题意; 是乘法运算,则不符合题意; 符合因式分解的定义,则符合题意; 故选:. 【例2】 (2024春•娄星区校级期末)下列各式从左边到右边的变形,是因式分解且分解正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解,据此逐项判断即可. 【解答】解:是乘法运算,则不符合题意; 中左右两边不相等,则不符合题意; 符合因式分解的定义,则符合题意; 中等号右边不是整式积的形式,则不符合题意; 故选:. 【例3】 (2024春•遂川县期末)若要使代数式能进行因式分解,则单项式应为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据完全平方公式,选择答案即可. 【解答】解:当单项式为选项.时,, 单项式为、、选项时,不能进行因式分解, 故选:. 1.因式分解是针对多项式而言的,一个单项式本身就是数与字母的积,不需要再分解因式; 2.因式分解的结果是整式的积的形式,积中几个相同因式的积要写成幂的形式; 3.因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止; 4.因式分解与整式乘法是方向相反的变形,例如:,二者不是互为逆运算.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算. 5.因式分解的原则: (1)分解要彻底,即分解到每一个因式都不能再分解为止,结果中的每一个多项式因式为最简多项式; (2)因式分解结果的多项式因式的首项一般为正,为负时提负号,若有单项式和多项式相乘,应把单项式放在多项式前面; (3)相同因式的乘积写成幂的形式. 6.有些整式不能直接进行因式分解,可以拆分其中某一项或者添加某些项,再和其他项结合进行因式分解.无论添项或拆项都要保证整个式子的值不变. 探究2 提公因式法分解因式 1.公因式的定义:一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 2.怎样确定公因式(五看): 一看系数:若各项系数都是整数,应提取各项系数的最大公因数; 二看字母:公因式的字母是各项相同的字母; 三看字母的指数:各相同字母的指数取指数最低的; 四看整体:如果多项式中含有相同的多项式,应将其看成整体,不要拆开; 五看首项符号:若多项式中首项符号是“-”,则公因式的符号一般为负. 3.提公因式法的定义: 一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. 4.提公因式法分解因式的一般步骤: (1)确定公因式:先确定系数,再确定字母和字母的指数; (2)提公因式并确定另一个因式; (3)把多项式写成这两个因式的积的形式. 【例4】 (2024春•高州市期中)下列多项式中,可以提取公因式的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】找出多项式有公因式的即可. 【解答】解:. 故选:. 【例5】 (2024•从江县校级二模)多项式分解因式为 . 【答案】. 【分析】提公因式即可. 【解答】解:, 故答案为:. 【例6】 (2024春•沅江市月考)如图,长宽分别为、的长方形周长为16,面积为12,则的值为 A.80 B.96 C.192 D.240 【答案】 【分析】根据题意得出,,然后将整式因式分解化简,整体代入求解即可 【解答】解:边长为,的长方形周长为16,面积为12, ,, . 故选:. 解题技巧: (1)多项式的公因式提取要彻底,当一个多项式提取公因式后,剩下的另一个因式中不能再有公因式. (2)提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样. (3)若多项式首项系数为负数时,通常要提出负因数. (4)公因式可以是一个单项式,也可以是一个多项式. (5)要善于发现隐蔽的公因式,如(a-b)与(b-a)是一对相反数,但它们可以变形为相同的因式. (6)提公因式时利用多项式除以公因式,所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式,即用公因式分别去除原多项式的每一项,求得剩下的另一个因式. 探究3 用平方差公式分解因式 平方差公式的等号两边互换位置,得. 语言叙述:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【例7】 (2024春•新华区期末)等式“ ”中的“ ”表示的数是 A.4 B. C.16 D. 【答案】 【分析】利用平方差公式因式分解即可. 【解答】解: , 即“ ”表示的数是, 故选:. 【例8】 (2024•邱县一模)对于任何整数,多项式都能 A.被9整除 B.被整除 C.被整除 D.被整除 【答案】 【分析】多项式利用平方差公式分解,即可做出判断. 【解答】解:原式, 则对于任何整数,多项式都能被整除. 故选:. 【例9】 (2024春•铁西区期末)下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是 A. B. C. D. 【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反进行分析即可. 【解答】解:、不能利用平方差公式进行分解,故此选项错误; 、不能利用平方差公式进行分解,故此选项错误; 、不能利用平方差公式进行分解,故此选项错误; 、能利用平方差公式进行分解,故此选项正确; 故选:. 1.用平方差公式分解因式的特点: (1)等号左边是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反; (2)等号右边是两个数的和与这两个数的差的积. 2.只有符合平方差公式特点的二项式,才可以运用平方差公式分解因式. 3.运用平方差公式分解因式的步骤: ①判:判断是否为平方差,若负平方项在前面,利用加法的交换律把负平方项交换放在后面; ②定:确定公式中的a和b,若a或b是多项式,则必须用括号括起来,表示一个整体; ③套:套用平方差公式. 探究4 用完全平方公式分解因式 完全平方公式的等号两边互换位置,得,. 语言叙述:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 【例10】 (2024春•包头期末)关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式,则的值是 A. B. C.12 D. 【答案】 【分析】根据完全平方公式,第一个数为,第二个数为6,中间应加上或减去这两个数积的两倍. 【解答】解:依题意,得, 解得:. 故选:. 【例11】 (2024春•青白江区期末)下列可以用完全平方公式因式分解的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】利用完全平方公式判断即可. 【解答】解:不能用完全平方公式分解因式,故错误; 不能用完全平方公式分解因式,故错误; ,能用完全平方公式分解因式,故正确; 不能用完全平方公式分解因式,故错误. 故选:. 【例12】 (2024春•石景山区期末)把分解因式,结果正确的是 A. B. C. D. 【分析】先添加带负号的括号,再利用完全平方公式进行因式分解. 【解答】解:, , . 故选:. 1.用完全平方公式分解因式的特点: (1)等号左边是三项式,其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方,且这两项的符号相同,中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍,符号正负均可. (2)等号右边是这两个数(或两个式子)的和(或差)的平方.当中间的乘积项与首末两项符号相同时,是和的平方;当中间的乘积项与首末两项的符号相反时,是差的平方. 2.公式法的定义: 如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法. 探究5 十字相乘法分解因式 一个二次三项式,若可以分解,则一定可以写成的形式,它的系数可以写成,十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数,其实就是分解系数使得: ,,, 注意:若不是一个平方数,则二次三项式就不能在有理数范围内分解. 【例13】 (2024春•裕华区期末)若,则,的值分别是 A.4, B.,4 C.,18 D.4,7 【答案】 【分析】将等式右边展开,即可得出,,从而求出、的值. 【解答】解:, , ,, ,, 故选:. 【例14】 (2024春•双流区期末)把多项式分解因式,结果是,则,的值为 A., B., C., D., 【答案】 【分析】根据多项式乘法的计算方法可得,再利用因式分解的意义求出的值即可. 【解答】解:因为, 所以, 当时, , 因此, 故选:. 【例15】 (2024春•沙坪坝区校级月考)计算结果为的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据十字相乘法进行因式分解. 【解答】解:由十字相乘法,得. 故选:. 十字相乘法分解因式的适用范围一般情况是二次三项式的分解因式.利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax+b)(cx+d)乘法法则.它的一般规律是: (1)对于二次项系数为1的二次三项式,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积,并且a+b为一次项系数p,那么它就可以运用公式分解因式,这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2)对于二次项系数不是1的二次三项式(a,b,c都是整数且a≠0)来说,如果存在四个整数,使,,且,那么,它的特征是“拆两头,凑中间”.这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定. 牛刀小试 1.(2024春•新津区校级月考)下列等式从左到右的变形,是因式分解的是 A. B. C. D. 2.(2024春•大东区期末)多项式的公因式是 A. B. C. D. 3.(2024春•富平县期末)下列代数式中,不能用提公因式因式分解的是 A. B. C. D. 4.(2024•河北模拟)将多项式“?”因式分解,结果为,则“?”是 A. B. C. D. 5.(2024春•历城区期末)若,那么的值是 A.5 B. C.10 D. 6.(2024春•和平区期末)下列因式分解不正确的是 A. B. C. D. 7.(2024春•鄞州区期末)若等式对任意实数都成立,那么,的值分别是 A., B., C., D., 8.(2024春•海安市期末)已知实数,,满足,,则代数式的最小值为 A.3 B.4 C. D. 9.(2024•淮北三模)分解因式: . 10.(2024春•遂川县期末)对多项式进行因式分解时,有时可把多项式分成若干组,先分别分解,然后整体分解,其中合理分组是实现完全分解的关键.请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解: (1); (2). 参考答案 1.【答案】 【分析】根据因式分解的定义,逐项判断即可. 【解答】解:、,不是因式分解,故本选项不符合题意; 、,不是因式分解,故本选项不符合题意; 、,不是因式分解,故本选项不符合题意; 、,是因式分解,故本选项符合题意; 故选:. 2.【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案. 【解答】解:多项式的公因式是:. 故选:. 3.【答案】 【分析】将各式因式分解后进行判断即可. 【解答】解:,则不符合题意; ,则不符合题意; 无法因式分解,则符合题意; ,则不符合题意; 故选:. 4.【答案】 【分析】利用平方差公式计算,根据对应项相等即可求出答案. 【解答】解:, “?”是. 故选:. 5.【答案】 【分析】先计算完全平方式,即可求出的值. 【解答】解:, , , 故选:. 6.【答案】 【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论. 【解答】解:,故选项分解正确; ,故选项分解正确; ,故选项分解正确; ,故选项分解错误. 故选:. 7.【答案】 【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而得出,的值. 【解答】解:, , ,, 故选:. 8.【答案】 【分析】将两个等式联立,作差消去,可得,并且;再对代数式进行整理化简,即可求得最小值. 【解答】解:,, 两式联立,作差消去,得,即; , 因为, 所以, 则,即. 故选:. 9.【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可. 【解答】解: . 故答案为:. 10.【答案】(1);(2). 【分析】(1)先提取公因式,再分组分解,后利用提公因式即可求解; (2)先分组,再提取公因式,再次分组分解,即可求解. 【解答】解:(1) ; (2) . 学科网(北京)股份有限公司 $$