精品解析：山东省名校考试联盟2023-2024学年高二下学期5月期中检测数学试题

山东名校考试联盟 2023-2024学年高二年级下学期期中检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 2. 个位数大于十位数的两位数共有（ ）个 A. 36 B. 40 C. 42 D. 56 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 6 B. 20 C. 21 D. 26 6. 书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线过点的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0或 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（ ） A. 共有种不同的排法 B. 若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C. 若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D. 若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 10. 若奇函数在上可导，当时，满足，，则（ ） A B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 11 设函数与直线交于两点，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处取得极值，则的值为__________. 13. 在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有_______种（用数字表示）. 14. 若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若，，判断零点个数； （2）若，讨论单调性. 16. 设.求下列各式的值. （1）； （2）. 17. 有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米.现要将一批钢管从通道水平抬至通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）. （1）求长度与的函数关系式； （2）问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由. 18 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求取值范围. 19. 组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一.其定义如下：对于序列，，，…，定义为序列，，，…的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合.我们用即1代表小球不参与，代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是. （1）假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有个小球的所有组合个数，试写出，，，，的一个与问题对应的母函数； （2）已知，其中.现有一序列，，，…，的母函数，其中，求； （3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取位的所有组合个数；分别写出，，，…，和，，，…，的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东名校考试联盟 2023-2024学年高二年级下学期期中检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的极限定义计算可得. 【详解】由导数的定义可知，. 故选：D. 2. 个位数大于十位数的两位数共有（ ）个 A. 36 B. 40 C. 42 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】根据个位数大于十位数得到两位数个位数不能为0，然后从1-9中选两个数字即可. 【详解】个位数大于十位数的两位数个位数显然不能为0，故只需在1-9九个数字中选两个，大的在个位，小的在十位即可，故共有种可能. 故选：A 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，再根据导函数的大小确定函数变化的快慢，即可得到结论. 【详解】由导函数图象可知原函数应是先增后减再增的，故在B、C中选择，随着的增大，导函数越来越大，故原函数增长越来越快，应选C. 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用常用函数的求导公式及导数的运算法则计算即可. 【详解】易知， 将代入可得，解得. 故选：B. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 6 B. 20 C. 21 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有，则，， 则中含的项为， 则的系数为. 故选：D. 6. 书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合插空法，即可求解． 【详解】人物传记有种放法，这样五本书之间有个空， 将两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻，共有种方法， 故选：D． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先借助排列数的定义与指数定义得到与的关系后，借助组合数定义结合放缩可比较与的关系，即可得解. 【详解】，， 均由20个数相乘组成，其中前两项和最后一项比较， 其他项，直到，故， ， 其中里面前四项大于中的后五项， 即， 其他项均要对应大于或等于剩余中的每一项，故. 故选：C. 8. 已知曲线过点的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0或 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，分类讨论和时，方程只有一个解求解即可. 【详解】设切线与曲线的切点为， 函数的导函数为，故， 解得，所以，故切线方程为， 当时，，显然成立， 当时，与联立，， 其中，解得， 综上所述，的值为0或1. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（ ） A. 共有种不同的排法 B. 若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C. 若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D. 若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列计数问题，结合相邻与不相邻、定序逐项分析列式即可. 【详解】对于A，7个人全排列，共有种不同的排法，A正确； 对于B，先排男生，再把女生插入空隙，有种，B正确； 对于C，分别把男生、女生视为一个整体排列，共有种，C错误； 对于D，7个人全排列，而男生的排列方法只占，共有种，D正确. 答案：ABD 10. 若奇函数在上可导，当时，满足，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，令，解出即可；对于B、C、D，构造函数，由题意求导研究函数性质即可. 【详解】对于A，令，则，所以， 所以选项A错误； 对于B，构造函数，则当时，， 所以在单调递增；所以， 所以，所以选项B正确； 对于C，构造函数，由时，， 所以，由， 又由选项B可知在单调递增，所以当时，， 即当，，所以在上单调递增， 所以选项C正确； 对于D，构造函数，当时，由选项B可知在单调递增， 又知，所以当，，在，； 即当时，在为负，在为正； 由为奇函数，所以当时， 在为负，在为正， 所以不等式的解集为：，所以选项D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：构造函数，由在的正负，进而研究在的正负；再根据函数的奇偶性由图形的对称性得出的正负. 11. 设函数与直线交于两点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出的单调区间，利用单调性结合可判断；由的单调性可知，从而可判断；构造，利用导数判断函数单调性可判断；构造和，利用导数判断函数单调性可判断； 【详解】函数定义域为 对于A：，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，故A正确； 对于B：由A得，故错误； 对于C：由，可令，， 假设，即， 由的单调性可知，只需， ，即， 设， 则， 可得在上单调递增， 则有， 即，即， 故成立，故C正确； 对于D：因为，所以， 令，所以， 即证， 设， 所以，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨令，即证，即证， 令， 因为， 因为，所以， 所以，则在上单调递减， 则，所以得证，故D正确. 故选：. 【点睛】方法点睛： 破解双变量不等式的方法： ①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； ②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值； ③回归双变量不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处取得极值，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由导数可求出，再检验即可. 【详解】由题， 因为在处取得极值，所以，所以， 此时，为增函数， 令，所以当时，；当时，， 所以函数在处取得极值，故. 故答案为：. 13. 在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有_______种（用数字表示）. 【答案】12 【解析】 【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案； （2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案. 综上：共有12种分配方案. 故答案为：12 14. 若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法将题给不等式转化为，构造函数，并利用导数研究其单调性，可得不等式成立，再构造函数，利用导数求得其最大值，进而求得的最大值. 【详解】存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 令，则， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 上述问题存在正实数，使得不等式成立， 因为，结合在单调递增， 易得存在正实数使得成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存正实数，使得不等式成立， 存正实数，使得不等式成立， 令，则， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以，所以，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若，，判断零点个数； （2）若，讨论的单调性. 【答案】（1）只有一个零点. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数得出单调性，进而确定零点个数； （2）求导，讨论与0的关系，利用导数得出单调性. 【小问1详解】 当，时，则， 所以，解得或， ，解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以只有一个零点. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 由 解得， 当时，恒成立. 当时，， 所以由，解得或. 由，解得 当时，，所以，解得或. 由，解得 综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 16. 设.求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，通过赋值，，，即可求出结果； （2）对两边同时求导，得，再令，即可求出结果. 【小问1详解】 令，可得， 令，得， 令得， 两式相加得， 所以. 【小问2详解】 对两边同时求导得， ， 令可得. 17. 有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米.现要将一批钢管从通道水平抬至通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）. （1）求长度与的函数关系式； （2）问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由. 【答案】（1），； （2）不能将9米的钢管抬过去，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意利用锐角三角函数表示出、，即可得解； （2）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即可判断. 【小问1详解】 依题意可得，， 所以，即，； 【小问2详解】 法一：因为， 又，令，解得，所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以不能将米的钢管抬过去． 法二： ， 又， 令，解得，所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以不能将米的钢管抬过去． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，由点斜式方程即可求解， （2）方法一：对求导，可得单调性，进而得最小值求解， 方法二：分别利用导数求证和，即可由不等式的性质求解， （3）分离参数将问题转化为，令，即可利用导数求解单调性得最值求解，或者由分离讨论得时，，进而构造，，由导数确定单调性求解. 【小问1详解】 由得， 故，， 所以切线方程为，即． 小问2详解】 方法1：，定义域为，， 由于函数均为单调递增函数，所以在上单调递增， ，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取最小值． 因此； 方法2：，定义域为， 令，， 当时，，在上单调递增，， 所以当时，． 令，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减． 所以，所以． 因此． 【小问3详解】 方法1：因为 恒成立，所以 令 ，则 ， 因为 在 上单调递减，且 ， 所以当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减． 所以 ． 因此 ． 方法2：定义域为，， 当时，，单调递减，，，此时不成立； 当时，均上单调递增，所以在上单调递增，，；，， 所以存在，使得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增． 所以 因为函数在上单调递减， 所以由得， 因为，所以令， 则，所以在上单调递减， 所以，即． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 19. 组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一.其定义如下：对于序列，，，…，定义为序列，，，…的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合.我们用即1代表小球不参与，代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是. （1）假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有个小球的所有组合个数，试写出，，，，的一个与问题对应的母函数； （2）已知，其中.现有一序列，，，…，的母函数，其中，求； （3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取位的所有组合个数；分别写出，，，…，和，，，…，的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数. 【答案】（1） （2） （3），，3328 【解析】 【分析】（1）根据母函数的定义写母函数； （2）根据母函数和得到，然后根据组合数的性质计算； （3）根据母函数的定义写和，然后求总的组合数. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ∵， 故展开式中的系数为 ， ∵ 故的系数为 . 【小问3详解】 显然， ，，，，， 故， 同样，，，， 故， 令 中的系数为符合要求的个人组成的小组的数目， 所有组合个数为 . 【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于组合数性质的运用；（3）的解题关键在于题目中母函数的定义，根据组合和母函数的定义得到和，然后求总的组合数即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$