精品解析：福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试题

福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试题 (满分:150分 考试时间:120分钟) 注意事项: 1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2. 答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. [0,3] 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，，再结合集合的运算，即可求解． 【详解】由题意可知，，， 则，故,． 故选：B． 2. 若复数 满足，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简 ，即可求出，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 则， 所以复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解. 【详解】若，则函数单调递增，所以，充分性成立； 当时，，满足，但，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知向量. 若在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量，即可得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，， 所以在上的投影向量为， 又在上的投影向量为，所以，解得. 故选：C 5. 已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用球的体积公式，计算出球半径，然后根据球的表面积公式与圆锥的侧面积公式，列式算出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，利用锥体的体积公式算出答案． 【详解】设球的半径为 ，则球体积，解得， 所以球的表面面积， 设圆锥的母线长为，底面圆半径为 ， 则，即，解得， 因此该圆锥的高， 可得圆锥的体积． 故选：B． 6. 声音的等级 (单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB. 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（ ） A. 120dB B. 100dB C. 80dB D. 60dB 【答案】D 【解析】 【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出和，算出，可计算出. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以， 所以一般说话时声音的等级约为60dB. 故选：D 7. 已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交轴于点，则点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两圆相交求得，求出点P的横坐标，构造函数，利用导数求出值域即可得解. 【详解】根据题意，曲线即，是以为圆心，半径为3的圆， 曲线即，是以为圆心，半径为3的圆， 由两圆相交得，解得，又，所以， 两圆相减得直线AB方程，令得， 令，则，所以 在单调递增， 所以. 所以点的横坐标的取值范围为. 故选：D 8. 已知函数为 的零点，为 图象的对称轴，且 在上有且仅有1个零点，则的最大值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性可得，即可分别取和，代入求解 ，进而整体法验证是否符合一个零点求解. 【详解】 为 的零点,为 图象的对称轴 ， 又 当时， , ， 当时，，故 有2个零点，不符合，舍去. 当时， , 当时，，此时 有且仅有1个零点，符合 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是 的零点 C. 的极小值为 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】借助导数的正负来分析原函数的单调性，从而解决问题，对于奇偶性判断，首先看定义域，再验证恒等式是否成立，就可作出判断. 【详解】对于A，，当时，，， 所以，故 在上递减，故A是错误的； 对于B，当时，，故B是正确的； 对于C，当时，， ，，所以， 故 在上递增，又由 在上递减，所以 的极小值为，故C是正确的； 对于D，由于 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，故D是错误的； 故选：BC． 10. 在中，内角所对的边分别为且，则（ ） A. B. 若，则 C. 若 ，则面积的最大值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合余弦定理检验选项A；结合正弦定理检验选项B；结合基本不等式及三角形面积公式检验选项C；结合正弦定理及和差角公式检验选项D． 【详解】因为，由余弦定理得，， 由为三角形内角得，，A正确； 若，则，， 由正弦定理得，， 所以，代入，得，B错误； 若 ，则，当且仅当时取等号， 所以，此时，C正确； 因为，所以， 因为 ，所以，D正确． 故选：ACD． 11. 已知抛物线 与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 的最小值为18 C. 为钝角 D. 点与点的横坐标相同时，最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线与圆的方程可得，代入抛物线方程可得 ，即可根据向量的坐标关系求解坐标，由斜率公式即可求解A，根据焦点弦的性质，结合基本不等式即可求解B，联立直线与抛物线方程，根据数量积即可求解C，根据焦半径公式以及点点距离公式可得，即可结合不等式求解D. 【详解】因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即， 所以，，即抛物线方程为 ，焦点为. 设 ， 对A，由得， 则，又因为，解得， 所以直线l的斜率为，故A错误； 对B，由抛物线定义得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，故B正确； 对C，如图，不妨设在第一象限， 设 ，设直线 ，联立抛物线的方程消， 得，又， 所以， ， ，为钝角，故C正确； 对D，，，设，则， 由抛物线的定义可得， ， 又， 则， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为____________. 【答案】5 【解析】 【分析】展开，即可得出. 【详解】， 展开式中系数为. 故答案为：5. 13. 互不相等的4个正整数从小到大排序为，若它们的平均数为4，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的中位数为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平均数、极差和中位数的定义求解． 【详解】由题意可知，，， 所以，所以， 所以， 又因为，，，是互不相等的4个正整数从小到大排序的， 所以，， 或，，， 所以这4个数据的中位数为． 故答案为：． 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入 得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. （1）求数列的通项公式; （2）设，记数列的前项和为，证明:. 【答案】（1）， （2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则， . 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，代入到中即可求解， （2）利用裂项求和即可求解. 【小问1详解】 由得，， 点在函数的图象上， 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形， 平面ABCD. （1）证明：； （2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角 的余弦值. 【答案】（1） 在四棱台中，延长后必交于一点， 故四点共面，因为平面，平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故 ， 平面，故平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系（如图）， 设 ，则 ，由于 ，故 ， 则 ， ， 则 ， ， ， 记平面的法向量为 ， 则，即，令， 则 ，即 ， 平面的法向量可取为， 则. 所以二面角 的余弦值为. 17. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 3 . （ii） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率. （2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； （ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可. 【小问1详解】 由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. 【小问2详解】 （i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，， 单调递增，，， 单调递减， 所以当时， 取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 18. 已知动圆与圆： 和圆： 都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点处的切线方程为： .试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记 ， 的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1） ； （2）（i）证明：设，，， 由题意中的性质可得，切线方程为 ， 切线方程为 ， 因为两条切线都经过点，所以 ， ， 故直线的方程为： ，可得直线的斜率为： 而直线的斜率为：， 因为 ，所以; （ii） . 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程； （2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而算出斜率，再去判断与另一直线是否垂直； （ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出直线与轴的交点的坐标，再用垂直关系又去设出直线的方程与椭圆的方程联立，再用坐标去表示出 ，最后可由基本不等式得出结果. 【小问1详解】 设动圆的半径为 ，由题意得圆和圆的半径分别为7，1， 因为与，都内切， 所以 ， ， 所以 ， 又，，故 ， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的方程为：， 则 ， ，所以 ， 故的方程为： 【小问2详解】 （i）略 （ii）由直线的方程为： ，可改设直线的方程为：， 联立，整理得 ， 由韦达定理得， 又，所以直线的方程为， 令得， ， 所以直线经过定点，又， 再由，可设直线的方程为：， 再联立，整理得 ， 设，，则由韦达定理得， 因为 ，所以 ， 所以，当且仅当时，即时取等号. 又因为，所以 . 【点睛】方法点睛： （1）利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程； （2）利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程. 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 【答案】（1） 设函数为恒切函数，则有， 使 且，即， 解得 ，故函数是恒切函数. （2）（i）； （ii）当时， ， 函数为恒切函数.又， 所以存在，使得，即. 令，则， 当时，递减；当时，递增. 所以当时， ，， 故在上存在唯一， 使得，即. 又由， 得， 由得，所以. 又，所以当时，有唯一零点， 故由得，即. . 【解析】 【分析】（1）对 求导，利用恒切函数的定义求出，即可判断； （2）（i）根据恒切函数的定义解方程，用表示，再利用导数即可求解的取值范围； （ii）由的值可得的值，从而可得的解析式，利用新定义，可得，令，求出的取值范围，由，从而可得的取值范围，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由函数为恒切函数可知， 存在，使得且， 即解得，， 设，， 当 时，递增；当时，递减. ，即实数的取值范围是. （ii）略 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着很好的效果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试题 (满分:150分 考试时间:120分钟) 注意事项: 1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2. 答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. [0,3] 2. 若复数 满足，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量. 若在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 声音的等级 (单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB. 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（ ） A. 120dB B. 100dB C. 80dB D. 60dB 7. 已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交轴于点，则点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为 的零点，为 图象的对称轴，且 在上有且仅有1个零点，则的最大值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是 的零点 C. 的极小值为 D. 是奇函数 10. 在中，内角所对的边分别为且，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则面积的最大值为 D. 若，则 11. 已知抛物线 与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 的最小值为18 C. 为钝角 D. 点与点的横坐标相同时，最小 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为____________. 13. 互不相等的4个正整数从小到大排序为，若它们的平均数为4，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的中位数为____________. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. （1）求数列的通项公式; （2）设，记数列的前项和为，证明:. 16. 如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形， 平面ABCD. （1）证明：； （2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角 的余弦值. 17. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 18. 已知动圆与圆： 和圆： 都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点处的切线方程为： .试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记 ， 的面积分别为，，求的取值范围. 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $