精品解析：四川省成都市2024届高中毕业班第三次诊断性检测数学（文）试题

成都市2021级高中毕业班第三次诊断性检测 数 学（文科） 本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两集合中元素的特征，判断集合中的任意一个元素都是集合中的元素，从而可得答案. 【详解】集合中的元素是所有奇数， 集合中的元素是所有被4整除余1的数， 因为任意一个被4整除余1的数都是奇数， 即集合中的任意一个元素都是集合中的元素，所以，， A选项错误，D选项正确； 且，C选项错误； ，B选项错误. 故选：D. 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可． 【详解】由，则， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 已知 是两条不同的直线， 是平面，若 ，则 不可能（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 【答案】C 【解析】 【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案. 【详解】因为，，则与可能平行，异面和垂直， 若与相交，，则，所以， 即直线与平面有公共点，这与矛盾，故B不可能. 故选：C. 4. “数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（ ） A. “四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B. “四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C. “一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D. “一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 【答案】D 【解析】 【分析】由图表数据分析可判断A，B；由方差的意义可判断C；由极差的计算公式分析D. 【详解】对于A，“八九”、“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误； 对于B，“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 高”，故B错误； 对于C，由图表，“平均气温”的波动比“多年平均气温” 的波动大， 则“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误； 对于D，“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为：， “多年平均气温”的极差为， 则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确. 故选：D. 5. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件，利用数量积的运算律求得，再利用数量积的坐标表示计算即得. 【详解】由，得，则， 因此，所以. 故选：A 6. 设 ，双曲线 的方程为 ，则“ 的离心率为 ” ， 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得，再表示离心率，从而得到值，再根据包含关系得到条件即可. 【详解】由题意知，，双曲线的离心率为， 所以或，故是 “” 的必要不充分条件. 故选：B. 7. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出. 【详解】由可得：， 由可得：， 由回归方程 必过样本中心点，即过点， 所以，解得， 故选：C. 8. 已知 ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦、余弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由倍角公式，可得，所以. 故选：A. 9. 已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（ ） A. 1 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，半径，易知是等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为，则，解得， 所以或. 故选：A. 10. 将函数 的图象向左平移个单位后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，运算求解即可得结果. 【详解】将的图象向左平移个单位，得到， 则，所以，，又， 所以的最小值为3. 故选：C. 11. 已知函数，若实数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】探讨给定函数的对称性及单调性即可求解. 【详解】函数，， 而，因此， 又函数在上递增， 则函数在上递增，于是， 所以. 故选：B 12. 在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，得到⊥平面，由点到平面的距离和球的半径得到点的轨迹为以为半径的圆，从而求出点的轨迹长度. 【详解】以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 球心，取的中点，的中点，连接， 则，， ， 故，， 又，平面， 故⊥平面， 故当位于平面与内切球的交线上时，满足， 此时到平面的距离为 ， ，其中为平面截正方体内切球所得截面圆的半径， 故点的轨迹为以为半径的圆， 故点的轨迹长度为. 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 已知函数，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，判断并代入计算即得. 【详解】依题意，，而函数， 所以. 故答案为：4 14. 的内角的对边分别为，若且，则 的值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 由余弦定理得. 故答案为：. 15. 若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值得解. 【详解】当时，恒成立，当时，， 令，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 16. 设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据导数的几何意义求出过点作的切线的方程，即可求出两点的坐标，进而可得出答案. 【详解】由抛物线 ，得， 设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 由，得， 所以过点作的切线的斜率为， 故切线方程为，即， 令，则，令，则， 即， 则， 所以. 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 （1）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 【答案】（1）49； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布表估算平均数即可得解. （2）求出两个指定区间内的人数，利用列举法求出概率. 【小问1详解】 依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 ， 所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49． 【小问2详解】 抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人， 记内的2人为A，B，记内的4人为， 从这6人中随机选2人的基本事件有： ，共15种， 其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，共9种， 设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则． 18. 设为数列的前项和，已知. （1）证明: 数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 当时，，得， 由， 当时，， 两式相减得: ， 整理得: ， 所以 ，且， 是以2为首项，2为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）得， ， 19. 如图，在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，为中点，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在中，由余弦定理得． 由，得，而，，则， 又平面EDB，因此平面EDB，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）利用线面垂直的判定证得平面ABCD，再利用等体积转化求出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由F是EC中点，得． 由（1）知平面EDB，平面EDB，则， 而，平面ABCD，则平面ABCD， 因此．即， 所以三棱锥的体积为． 20. 已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． （1）求椭圆的方程； （2）当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式求解即得. 【小问1详解】 直线l过坐标原点O时，，， 由椭圆离心率为，得，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 假设存在定点，，设直线l：，， 由消去y得， ，，， 直线的斜率有 ， 则当时，为定值， 所以存在定点，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0. 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 21. 已知函数 . （1）当 时，求 的单调区间; （2）若 有两个零点，求 的取值范围. 【答案】（1）单增区间为 ，单减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）代入，对求导求单调性即可. （2）令 ，设函数，函数 有两个零点等价于函数 有两个零点，对求导，讨论和，研究单调性和最值情况，找到满足题意的即可. 【小问1详解】 当 时， ， 注意到函数 与 均在 单调递增， 在 上单调递增. 由 ，得 ， ，在 上单调递减; ， ，在 上单调递增; 综上， 的单增区间为 ，单减区间为 . 【小问2详解】 令 ，设函数 . 函数 有两个零点等价于函数 有两个零点. (1)当 时， ， 当 时， ; 当 时， ; 当 时， . 在 上只有一个零点，故 不合题意. (2)当 时， ，令 ， ，令 得 ， 在 上单调递减， 上单调递增， ，当时， ， 当 时， ， 由零点存在定理得存在 ，使得 ， 所以 时， 单调递减， 时， 单调递增.， 由 时， ，时， ，且 ， 故当 时，函数 有且仅有一个零点，不合题意. 当 时， ， 此时 在 上各有一个零点，满足题意. 由 在 上单调递增，且， 故当 时， ，不合题意. 当 时， ，满足题意. 综上， 的取值范围为 . 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 选修：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数). 以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于，两点，且为线段的三等分点，求实数的值. 【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为 （2）2或9 【解析】 【分析】（1）根据曲线的参数方程，消参得曲线的普通方程；根据直线的极坐标方程展开，代入，即得直线的直角坐标方程. （2）根据条件将直线方程转化为参数方程，与曲线方程联立得，利用韦达定理得两点参数，关于的关系式，因为为线段的三等分点，所以，联立解得. 【小问1详解】 由曲线的参数方程 (为参数)， 消去参数可得曲线的普通方程为. 由直线的极坐标方程得：. 因为，， 所以直线的直角坐标方程为. 【小问2详解】 根据（1），直线的倾斜角为，且经过点， 所以直线的参数方程为 (为参数). 因为为线段的三等分点，易得曲线开口向右，. 直线与曲线联立得：，. 设，两点对应的参数分别为，，则 ，. 因为为线段的三等分点，所以或, 若,则代人可得 ，. 代人，可得. 即，解得或均满足. 故的值为2或9. 同理可得当时也有的值为2或9. 综上, 的值为2或9. 选修：不等式选讲 23. 已知函数 . （1）求不等式的解集; （2）当时，函数的最小值为，若非零实数满足 ，证明:. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）求得函数的最小值为，得到，化简不等式，结合基本不等式，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，且不等式， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得，此时不等式的解为， 综上可得，不等式的解集为. 【小问2详解】 证明：由题意，当时，函数的最小值为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市2021级高中毕业班第三次诊断性检测 数 学（文科） 本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 是两条不同的直线， 是平面，若 ，则 不可能（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 4. “数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（ ） A. “四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B. “四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C. “一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D. “一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 5. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 设 ，双曲线 的方程为 ，则“ 的离心率为 ” ， 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知 ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 9. 已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（ ） A. 1 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 将函数 的图象向左平移个单位后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 11. 已知函数，若实数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 12. 在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 已知函数，则的值为______． 14. 的内角的对边分别为，若且，则 的值为________ 15. 若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为______． 16. 设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 （1）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 18. 设为数列的前项和，已知. （1）证明: 数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，为中点，求三棱锥的体积． 20. 已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． （1）求椭圆的方程； （2）当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数 . （1）当 时，求 的单调区间; （2）若 有两个零点，求 的取值范围. 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 选修：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数). 以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于，两点，且为线段的三等分点，求实数的值. 选修：不等式选讲 23. 已知函数 . （1）求不等式的解集; （2）当时，函数的最小值为，若非零实数满足 ，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $