精品解析：浙江省舟山市第一初级中学2022-2023学年九年级上学期开学考数学试题

2022-2023学年浙江省舟山第一初级中学九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知a满足，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2021 D. 2022 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是( ) A. 92 B. 91.5 C. 91 D. 90 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D、E、F分别为边、、的中点，分别连结、、、，点O是与的交点，下列结论中，正确的个数是（ ） ①的周长是周长的一半；②与互相平分；③如果，那么点O到四边形四个顶点的距离相等；④如果，那么点O到四边形四条边的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时，或6s 9. 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则▱OABC的面积是 ( )． A. 5 B. 4 C. 2 D. 不确定 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 函数中自变量x的取值范围是________． 12. 已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式______． 13. 一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是_______． 14. 如图，已知在中，分别是、的中点，分别是、的中点，且，则的长度是_____． 15. 如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______． 16. 如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 某中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“防疫宣传”演讲比赛，其预赛成绩（单位：分）如图所示： 根据以上信息，解答下列问题 （1）求出表中的a、b、c、d 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 b 8.5 d 乙班 a 8 c 1.6 （2）请你任选一组统计量描述两个班的成绩水平 （3）乙班小明说：“我的成绩在我们班是中等水平”，你知道他是几号选手吗? 19. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点， （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若∠ABC=75°，，，求平行四边形ABCD的周长. 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； （2）与关于原点O成中心对称，画出． 21. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：△GEF是等腰三角形 （2）求△GEF面积的最大值． 22. 在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． （1）求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价； （2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点C的坐标； （3）为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 24. 在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点. （1）如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式； （2）如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4 ①求点F的坐标； ②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年浙江省舟山第一初级中学九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知a满足，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2021 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意知：，解得：， ∴， ∵， ∴，得：， ∴，即． 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：． 3. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是( ) A. 92 B. 91.5 C. 91 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，91分别乘以它们的百分比，再求和即可． 【详解】解：根据题意得 即小强这学期的体育成绩是 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键． 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 5. 如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则． 【详解】解：在中，，，， ． 又为中线， ． 为中点，即点是的中点， 是的中位线，则． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键． 6. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出． 【详解】解：依题意得， 整理得：， 则， 方程两边同时除以， ， （负值已经舍去）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题． 7. 如图，在中，点D、E、F分别为边、、的中点，分别连结、、、，点O是与的交点，下列结论中，正确的个数是（ ） ①的周长是周长的一半；②与互相平分；③如果，那么点O到四边形四个顶点的距离相等；④如果，那么点O到四边形四条边的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据中位线的性质，即可判断；②根据中位线的性质、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、平行四边形的对角线互相平分，即可判断；③根据矩形的判定和性质，即可判断；④根据菱形的判定和性质，即可判断． 【详解】解：①∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴DE、EF、DF是的中位线， ∴， ∴， 即的周长是周长的一半， 故①正确，符合题意； ②∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴与互相平分， 故②正确，符合题意； ③由②得四边形ADEF是平行四边形， 当时，如图1， ∴四边形ADEF是矩形， ∴， ∴， ∴点O到四边形四个顶点的距离相等， 故③正确，符合题意； ④由①得， 当时，如图2， ∴， 由②得四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴点O到四边形四条边的距离相等， 故④正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质． 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时，或6s 【答案】D 【解析】 【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D． 【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°， A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意； B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意； 作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴BC=AE=8 cm， ∴DE=2 cm， 当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E， ∴四边形CEFM是矩形， ∴FM=CE； ∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL）， ∴PF=DE=2，EF=CM=8-t， ∴AP=10-4-(8-t)=10-t， 解得t=6 s； 当PM=CD，且PM∥CD时， ∴四边形CDPM是平行四边形， ∴DP=CM， ∴t=8-t， 解得t=4 s； 综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值． 9. 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则▱OABC的面积是 ( )． A. 5 B. 4 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得． 【详解】解：如图，作轴于点，延长交轴于点， ▱OABC为平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据反比例函数系数k的几何意义，，， ▱OABC的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义． 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，结合③可判断④；从而可得出答案． 【详解】解：由图象开口向下，可知a＜0， 与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0， 又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0， ∴abc＞0，故①正确； 由图象可知当x＝3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②错误； 由图象可知OA＜1， ∵OA＝OC， ∴OC＜1，即﹣c＜1， ∴c＞﹣1，故③正确； 假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0， 整理可得ac﹣b+1＝0， 两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0， 即方程有一个根为x＝﹣c， 由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根， ∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确； 综上可知正确的结论有三个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12. 已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，根据根与系数的关系可得出、，代入即可求出结论． 【详解】解：， ， 、是一元二次方程的两实数根， 、， 原式， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是将原式合理变形并灵活运用根与系数的关系，． 13. 一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是_______． 【答案】17 【解析】 【详解】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：∵数据18，22，15，13，x，7的中位数为16， ∴＝16， ∴x＝17， 故答案为：17． 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 14. 如图，已知在中，分别是、的中点，分别是、的中点，且，则的长度是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求得． 【详解】解：如图，∵中，分别是、的中点， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为8 【点睛】考核知识点：三角形中位线定理.活用三角形中位线定理是关键. 15. 如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是根据证明，把问题转化为求的最小值．过作于，证明，可得，，即得是等腰直角三角形，，故当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为，由，即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为， ，， ， 最小值为， 故答案为：2． 16. 如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值． 【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2 ∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值 由题意可得：CD=,AE= ∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和 ∴当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 ∴ 当y=0时，x=． 故填． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先进行化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 或， 所以，． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 18. 某中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“防疫宣传”演讲比赛，其预赛成绩（单位：分）如图所示： 根据以上信息，解答下列问题 （1）求出表中的a、b、c、d 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 b 8.5 d 乙班 a 8 c 1.6 （2）请你任选一组统计量描述两个班的成绩水平 （3）乙班小明说：“我的成绩在我们班是中等水平”，你知道他是几号选手吗? 【答案】（1）8.5，8.5，10，0.7 （2）甲班的成绩更稳定 （3）小明是5号选手 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数、方差的定义分别进行解答即可； （2）从平均数、中位数、众数、方差任选一组进行分析即可； （3）根据中位数的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：乙班成绩的平均数． 把甲班的成绩从小到大排列，最中间的数是8.5，则中位数b是8.5． 乙班成绩中10分出现次数最多，则乙班成绩的众数c是10． 甲班成绩的方差． 【小问2详解】 从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定． 【小问3详解】 因为乙班的成绩的中位数是8，所以小明的成绩是8分，则小明是5号选手． 【点睛】本题考查了方差、平均数、众数和中位数，正确掌握相关定义是解题关键． 19. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点， （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若∠ABC=75°，，，求平行四边形ABCD的周长. 【答案】（1）见解析 （2）平行四边形ABCD的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意和平行四边形的性质得，，，用SAS即可证明； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，则，，根据角之间的关系得，根据得，根据直角三角形的性质的AD=6，即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴，，， 在和中， ∴（SAS）． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD的周长为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； （2）与关于原点O成中心对称，画出． 【答案】（1） 如图所示：△A1B1C1 即为所求； （2） 如图所示：△A2B2C2 即为所求. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，，描点连线即可得； （2）根据题意得，，，，描点连线即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握这些知识点. 21. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：△GEF是等腰三角形 （2）求△GEF面积的最大值． 【答案】（1） 证明：∵在长方形ABCD中， ∴∠GEF=∠EFC， ∵根据折叠的性质有∠EFC=∠GFE， ∴∠GEF=∠GFE， ∴GE=GF， ∴△GEF是等腰三角形； （2）7.5 【解析】 【分析】（1）在长方形ABCD中，即有∠GEF=∠EFC，根据折叠的性质有∠EFC=∠GFE，则结论即可得证； （2）先判断出当点G与点A重合时，面积最大，再根据折叠的性质可得GF=FC，∠AFE=∠EFC，根据勾股定理可求出AF=5，结合（1）的结论，可得AE=AF=5，即可求出△GEF的面积最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， ∵在长方形ABCD中，， ∴， ∴△GEF的面积为：， ∵CD=AB=3， ∴△GEF的面积的大小取决于GE的大小， ∵根据折叠的性质有，，， ∴， 即随着G点往A点移动，可知DE在逐渐增大， ∴当点G与点A重合时，DE最大，此时GE也最大， ∴△GEF的面积也最大， 如下图， 当点G与点A重合时，面积最大， 由折叠的性质可知，GF=FC，∠AFE=∠EFC， 在Rt△ABF中，， ∴， 解得：AF=5， 根据（1）中的结论可知：△AEF是等腰三角形，AE=AF， ∴AE=AF=5， ∵在长方形ABCD中，， ∴， ∴△GEF的面积最大值为：， 即△GEF的面积最大值为7.5． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及矩形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是找到面积最大时的位置，灵活运用矩形的性质． 22. 在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． （1）求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价； （2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 【答案】（1）甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元 （2）当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元 【解析】 【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解． 【小问1详解】 解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得： ， 解得：， 经检验：x=30是原方程的解， ∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元）， 答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元． 【小问2详解】 解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得： 整理得：， 解得：， 答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系． 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点C的坐标； （3）为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值是，最小值是4 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答； （2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答； （3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， 把点、代入中可得：， 解得：舍去或， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 把代入中可得：， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 设的解析式为：， 把点、代入中可得：， 解得：， ∴的解析式为：， ∵点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴， ∴当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 设，， ∴， 当时，的最大值为：， ∴的最大值是，最小值是4． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点. （1）如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式； （2）如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4 ①求点F的坐标； ②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标． 【答案】（1）； （2）①点F的坐标为（4，2）；②点M的横坐标为或； 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出点C的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式； （2）①由矩形的性质，得到EF∥x轴，设点E的坐标为（，），则点F为（，），然后求出x的值，即可求出点F的坐标； ②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点N落在直线AB上时；当点P落在直线AB上时；利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质，分别求出每一种情况的答案即可． 【小问1详解】 解：根据题意， ∵直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，则；令，则； ∴点A为（，0）；点B为（0，2）； ∵点B是AC的中点.， ∴点C的坐标为（2，4）； ∵点C在反比例函数图像上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵四边形FEHG是矩形， ∴EF∥x轴， 设点E的坐标为（，），则点F为（，）， ∵EF=4， ∴， 解得：或， ∵顶点F在点C右侧的反比例函数上， ∴，解得， ∴， ∴点F的坐标为（4，2）； ②根据题意，∵点F的坐标为（4，2）； ∴点G为（4，0）； 当点N落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点N作NE⊥DM，交DM延长线于点E； ∵四边形GMNP是正方形，则MG=MN，∠NMG=90°， ∵∠E=∠D=90°， ∴∠EMN+∠GMD=∠GMD+∠DGM=90°， ∴∠EMN=∠DGM， ∴△EMN≌△DGM（AAS）， ∴EN=DM，EM=DG； ∵点M在的图像上，点N在直线上，且点M在点F的左侧， 设点M为（m，）（），点N为（n，）， ∵点G为（4，0）， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴点M的横坐标为； 当点P落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点P作PE⊥FG，交FG延长线于点E； 与①同理，可证△DMG≌△EGP， ∴EG=DM，EP=DG； 设点M为（m，）（），点P为（p，）， ∵点G为（4，0）， ∴，，，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴点M的横坐标为； 综合上述，点M的横坐标为：或； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形，以及解方程组，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助，运用数形结合的思想进行分析题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $